材料力学 杆件的变形计算[专业技术]

1、第一节第一节 拉（压）杆的轴向变形拉（压）杆的轴向变形 第四章第四章 杆件的变形计算杆件的变形计算 1 1、杆的纵向总变形：、杆的纵向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变： L LL L L 1 d 2 2、线应变：、线应变： 单位长度的线变形单位长度的线变形 LLL 1 d ab cd x L P P d a c b xxd L1 1高级教学 4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变： x x x d lim 0 6 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变： 5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形： accaac ac ac 2高级教学 二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律 A

2、 PL L d EA NL EA PL Ld 1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律 2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律 )( d)( )d( xEA xxN x LL xEA xxN xL )( d)( )d(d n i ii ii AE LN L 1 d内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时 “EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。 PP N（x） x d x N(x) dx x 3高级教学 1 )( )(1)d( ExA xN Edx x 3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1 : E 即 4 4、泊松比（或横向

3、变形系数）、泊松比（或横向变形系数） :或 )1 (2 E G 4高级教学 EA lF l N l xEA xF l )( d N n i i ii EA lF l 1 N 5高级教学 是谁首先提出弹性定律是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般 认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于 力和变形成正比关系的记载。 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力， 有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”

4、(图) 6高级教学 “ ” 胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之 是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。 7高级教学 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。 必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。 其中 ” “两萧 就是指弓的两端。 一条 “ 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500中就记录下

5、这种正比关系，的确了不起， 和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般 地加以描述的知识王国”。 1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在 8高级教学 9高级教学 BCAB lll AB ABAB AB EA lF l N 80010200 4001040 3 3 1 . 0 mm167. 0 24010200 4001020 3 3 N BC BCBC BC EA lF l 067mm. 0167. 01 . 0 BCAB lll 10高级教学 例题4-2:

6、 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，拧紧后，l 0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 (b) 螺栓的横向变形d 11高级教学 解：1) 求求横截面正应力横截面正应力 4- 10.417 54 04. 0 l l MPa 2 .1481041. 710200 43 E 2) 螺栓横向变形螺栓横向变形 4 1022. 2 mm 00340 i .dd 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mm l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E200 GPa， = 0.3， l 0.04 mm 12高级教学 13高级教学 14

7、高级教学 030sinFFAC80kN2FFAC 030cos ACBC FFkN340 BC F 15高级教学 11 1 AE lF CCl ACAC AC 96010200 cos30/10001080 3 3 481mm. 0 22 2 AE lF CCl BCBC BC mm277. 0 500021001 100010304 3 3 16高级教学 0.277mm 2 CCCx 44mm. 1 cot30sin30/ 21 CCCCC y 47mm. 1 22 xy CCC 0.278mm x C 44mm. 1 y C 17高级教学 第二节第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转

8、变形及相对扭转角 x GI M p x dd p x GI M x d d p GI p GI 18高级教学 p x GI M x d d l p x x GI M 0 d p x GI M p x GI lM n i pi ixi GI lM 1 19高级教学 20高级教学 pAB xAB AB GI M 32 0.06 1080 1400 4 9 m/01375rad. 0 pBC xBC BC GI M 32 0.04 1080 800 4 9 m/03978rad. 0 21高级教学 22高级教学 CBDCDB p CBxCB p DCxDC GI lM GI lM 180 1 3 1

9、80 GIp Ma a GIp M 540 23高级教学 a GIp M 540 pp I Md I d M 2 3 2 max max pp I Md I d M 2 3 2 max max 4001080 1080403 540 2 3 3 a GI I d p p 81MPa.69 24高级教学 p BABA p CBCB AC GI lM GI lM 180 p GI Ma7 180 33. 2 3 7 DB 25高级教学 第三节第三节 梁的变形梁的变形 26高级教学 27高级教学 xfyxfw 11 )(或 )( 2 xf 第三节第三节 梁的变形梁的变形 28高级教学 29高级教学

10、v坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并 规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴 代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。 v挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 v转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； v顺时针转向的转角为负。 30高级教学 x y w d d tan tan tan d d x y w 31高级教学 z EI xM x )( )( 1 z EI M 1 2/32 )1 ()( 1 w w x 1)1 ( 2 w z EI xM w )( w x )( 1 32高级教学 z EI xM w )( z EI xM w )( 33高级教学 用积分法求梁的弯曲变形用积分法

11、求梁的弯曲变形 z EI xM w )( CxxMwEIEId)( z DCxxxxMwEI d)d)( z 34高级教学 v边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 这样的已知条件称为边界条件。 v连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的 曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同 的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 v积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： v积分常数2n个=2n个 边界条件+连续条件 35高级教学 v积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义 v物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 v即坐标原点处梁的转角，它

12、的EI倍就是积分常数C； 坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 v几何意义：C转角 v D挠度 36高级教学 CxxMEId)( z DCxxxxMwEI d)d)( z 0 x0| 0 x w0| 0 x 0 x 0| 0 x w0| 0 x lx 0| lx w0| lx 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 37高级教学 CxxMEId)( z DCxxxxMwEI d)d)( z 021 | xax ww 021 | xax 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 38高级教学 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。由梁的位移边界条件

13、和光滑连续条件确定。 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 0 A w 0 A w 0 A A w 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 ARAL ww ARAL ARAL ww 弹簧变形弹簧变形 39高级教学 v利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步骤： v建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端）， 求支座反力，分段列弯矩方程； v分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次； v利用边界条件，连续条件确定积分常数； v建立转角方程和挠曲线方程； v计算指定截面的转角和挠度值，特

14、别注意和及其 所在截面。 40高级教学 B B w 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 41高级教学 )()(lxFxM )()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI 2 )( 2 1 d)( DCxlxFDxCxlxFwEI 32 )( 6 1 d)( 2 1 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 42高级教学 ClxFCxlxFwEIEI 2 )( 2 1 d)( DCxlxFDxCxlxFwEI 32 )( 6 1 d)( 2 1 0 x0 A 0 A w 0 2 1 2 CFl0 6 1 3 DFl 2 2 1 FlC 3 6 1 FlD EI Fl EI

15、lxF 22 )( 22 EI Fl EI xFl EI lxF w 626 )( 323 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 43高级教学 lx EI Fx EI Fl EI lxF 2 222 )( 22 xl EI Fx EI Fl EI xFl EI lxF w 3 6 626 )( 2 323 EI Fl B 2 2 EI Fl wB 3 3 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 44高级教学 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 45高级教学 l Fb FA l Fa FB 11 x l Fb M )0( 1 ax )( 222 axFx l Fb M)(

16、 2 lxa 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 46高级教学 11 x l Fb wEI 1 2 11 2 Cx l Fb EI 111 3 11 6 DxCx l Fb EIw )( 222 axFx l Fb wEI 2 2 2 2 22 )( 22 Cax F x l Fb EI 222 3 2 3 22 )( 66 DxCax F x l Fb EIw 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 47高级教学 1 2 11 2 Cx l Fb EI 111 3 11 6 DxCx l Fb EIw 2 2 2 2 22 )( 22 Cax F x l Fb EI 222

17、3 2 3 22 )( 66 DxCax F x l Fb EIw 0 1 x0 A wlx 0 B w axax 21 | 21 axax ww 21 | 21 0 21 DD )( 6 22 21 bl l Fb CC 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 48高级教学 )3( 6 222 11 lbx l Fb EI 1 223 11 )( 6 xlbx l Fb wEI 2 2 222 22 )( 3 )3( 6 ax b l lbx l Fb EI 3 22 222 22 )()( 6 ax b l xlbx l Fb wEI lx 2 EIl alFab B 6 )( ba

18、 EI blFb wl 48 )43( 22 2 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 49高级教学 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 50高级教学 一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 )()()()( 221121nnn PPPPPP )()()()( 221121nnn PfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 51高级教学 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 =+ PL1L2 ABC B C PL2 f1 f2 等价 等价 x f x f 21 fff

19、f PL1L2 ABC 刚化刚化AC段段 PL1L2 ABC 刚化刚化BC段段 P L1L2 ABCM x f 52高级教学 lxaax EI Fa w axxa EI Fx w 3 6 03 6 2 2 EI Fa B 2 2 al EI Fa wB3 6 2 xlxl EIl Mx w2 6 EI Ml EI Ml B A 6 3 EI Ml w l x EI Ml w l lx l 16 , 2 39 , 3 2 2 2 max 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 53高级教学 2/ 2 qlM 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 54高级教学 CMCqC www EI Ml 16 2 CM w EI ql