[工学]信号与系统复习第6章.ppt

1、第六章 Z变换与离散系统的频域分析 6.1 Z变换的定义变换的定义 6.2 Z变换收敛区及典型序列变换收敛区及典型序列Z变换变换 6.3 Z变换的性质定理变换的性质定理 6.1 Z变换的定义变换的定义 Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理 想抽样信号为 n Ts nTtnTxttxtx)()()()()( T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到 ( )( )( )d() ()d () ()ed ()e stst sss st n snT n XSL x tx t etx nTtnT et x nTtnTt x nT 令z=esT或 ，引入新的复变量 nz T s1 1 n n

2、 s znTxsX)()( 双边双边Z变换的定义变换的定义 212 )2() 1 ()0() 1()2( )()( zxzxxzxzx znxzX n n 如果如果x(n)是因果序列，则是因果序列，则 12 0 ( )( )(0)(1)(2) n n X zx n zxxzxz 一收敛域的定义一收敛域的定义 收敛的所有收敛的所有z 值之集合为值之集合为收敛域收敛域。 ( )( ) n n X zx n z ( ) ROC n n x n z 即满足的区域（） 对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n) ，能使，能使 不同的不同的x(n)的的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相变换，由于收敛域

3、不同，可能对应于相 同的同的z 变换，故在确定变换，故在确定 z 变换时，变换时，必须指明收敛域必须指明收敛域。 6.2 Z变换收敛区变换收敛区(ROC: Region of convergence) 及典型序列及典型序列Z变换变换 例例6.2-1 已知序列 0 00 )(, 00 0 )( 21 na n nx n na nx n n 分别求它们的Z变换及收敛区。 解解 1 0 1 0 1 11 -1 |az|1)( )() ( 1 ()1 lim RO 11 C| | nnn nn n n Xza z az aza az a z z z z a 才能求出结必果须满足 为 1 2 1 1 0

4、 1 1 1 11 ( )()() 1() 1 ()1 1 lim1 11 | 1 | | nnn nn n n n n Xzaz a z a a z a z az z a za z z za X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆外， 而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。 不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。 双边双边Z变换除了要给出变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明的表示式外，还必须标明X(z)的的 收敛区。收敛区。 任意序列Z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即 n n znx|)(| 1. 有限长序列有限长序列 12

5、( ) ( ) 0 x nnnn x n 其它 2 1 )()( n nn n znxzXZ变换为 如果如果n10，X(z)只有只有z的负幂项，收敛区为的负幂项，收敛区为0|z|； 若若n20，X(z)只有只有z的正幂项，收敛区为的正幂项，收敛区为0|z| 特别的，特别的，x(n)=(n) X(z)=1，0|z|，收敛区为全，收敛区为全z平面。平面。 例例6.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解解 1 )1(21 1 0 1 1 1)( z z zzzzzX N N N n n 收敛域为0|z| 2. 右边序列右边序列 n2，右边序列的Z变换为 1 )()( nn n znx

6、zX 当n10时，将右边序列的X(z)分为两部分 11 1 0 | ( )| ( )| ( )| nnn n nn nn x n zx n zx n z 有限长序列的收敛域有限长序列的收敛域0|z|0时，将左边序列的X(z)分为两部分 22 1 0 | ( )| ( )| ( )| n nn n n n nn xx n zx n zn z 左边序列的Z变换为 项只有项只有z的正幂项的正幂项项是有限长序列项是有限长序列 例例6.2-4 已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。 解解 1 1 1 1 0 1 ( ) 1 () 11 lim 1 , :0 | | 1 | nnnn nn

7、n nn n n X zb zbz b z bz b z z zb RO z Czb b 4. 双边序列双边序列 (n1-，n2) 其Z变换为 n n znxzX)()( 将双边序列的X(z)分为两部分 0 1 )()()( n n n n znxznxzX 例例6.2-5 已知双边序列x(n)=c|n|，cR，求X(z)。 0 0 )( | nc nc cnx n n n 1 | | 12 0 ( )( )( )( ) nnnnnn nnn X zc zczc x n zXzXz 1 1 1 1 :| 1| | | 1 () ( )lim 11 n nnnn n nn czcz Xzczc

8、zcz ROCczz c c czz 或 解解 |1| 1 1 )()( 1 1 0 2 zccz cz z cz znxczX n nn 或 X(z)的ROC是X1(z)和X2(z)的ROC的交集 1 :|:| | zzzzc c |c|1时时X(z)的双边的双边Z变换不存在。变换不存在。 6.2.2 典型序列的典型序列的Z变换变换 在离散系统分析中除了因果序列， 非因果序列也有 一定的应用， 所以典型序列中除了单边序列外， 还有双边序列。 1.单位样值序列单位样值序列(n) 1)( 1)()( 0 n znnZ n n 2.单位阶跃序列单位阶跃序列 u(n) 1| 1 1| 1 1 )(

9、1 1 0 z z z z z znuZ n n 3. 斜变序列斜变序列nu(n) n n n nzzznzznuZ 21 0 2)( |z-1|1 同理 1cos2 )sin 2 1 )()( 2 1 )()sin( 0 2 0 0 00 00 zz zs ez z ez z j nuee j nun jj njnj |z|1 6. 双边指数序列双边指数序列 | 1 | )(1 ( )1 ( )( 1|)( 2 | a za azaz az zX aanx n 6.3 Z变换的性质定理变换的性质定理 1. 线性线性 若 YY XX RzRzYny RzRzXnx |)()( |)()( 则

10、ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z) R-|z|0） 若序列x(n)的双边Z变换为 )()( )()( zXzmnx zXnx m XX XX RzR RzR | | 1 1 2 ( )( )( )1,0 |,. (1)(1)( ), 0 | (1)(1)( ), 0 | x nnX zzz x nnXzzz x nnXzzz 全 平面 3. 单边单边Z变换的位移性变换的位移性 (1) 若序列x(n)的单边Z变换为 )()()(zXnunx 则序列左移后单边Z变换为 0)()()()( 1 0 mzkxzXznumnx m k km )()()()( 1 mk km zkxzXznu

11、mnx (3) 若x(n)为因果序列， )()()(zXnunx, 则 0)()()()( 0)()()( 1 0 mzkxzXznumnx mzXznumnx m k km m 4. 指数序列加权指数序列加权 则若,|),()( XX RzRzXnx XX n RzaRzaXnxa|)()( 11 5. x(n)线性加权或线性加权或z域微分性域微分性 则若,|),()( XX RzRzXnx XX RzaR dz zdX znnx| )( )( 1 6. 初值定理初值定理 对因果序列x(n)，有 (0)lim( ) z xX z 7. 终值定理终值定理 若x(n)是因果序列, 除单位圆上可有一个z=1的一阶极点 外， 其余极点均在单位圆内, 则 zXznx zn 1limlim 1 8. 时域卷积定理时域卷积定理 若w(n)=x(n)*y(n)，则 RzRzYzXzW|)()()( 式中 ,max,max YXYX