第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).

1、第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一) 一、定积分的微元法 由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点： 1、量A是分布在区间a,b上的整体量，即A与区间a,b有关，在a,b上 连续分布。 n 2、 量A具有可加性，即整体量等与部分量的和：A A ； i1 3、量A在区间a,b上的分布是非均匀的。 现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。 复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。 设f(x)在区间a,b上连续，且f(x) 0，求以曲线y f(x )为曲边的a,b上 的曲边梯形的面积A .把这个面积A表示为定积分A abf (x)dx，求面积

2、A的思 路是“分割、取近似、求和、取极限”即： 1、分割 将a,b分成n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形， n 其面积记作A(i 1,2, , n),则A A ； i1 2、取近似 计算每个小区间上面积Ai的近似值A f(jxi (xi 1 xn ) ； n 3、求和 求和得A的近似值A f( i) xi ; i1 nb i1 4、取极限取极限得 A lim f( i ) xi f (x)dx 为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A，区间 为a,b, 1、无限细分，化整为零 细分区间a,b，从中任取一小区间x,x dx x x x dx (dx x)，并求出相

3、应于这个小区间的部分量 a o A的近似值 A f x dx ; 2、连续求和，积零为整 在dx 0时，将A从a到b连续求和，则有：A f (x)dx . y 鉄 由于A与区间a,b有关，且在a,b上连续分布, x 上限函数的定义则有：A x a x dx，从而， x 有积分 a b x x dA dA x d f x dx f x dx， A a bbb dA dA x f x dx ； aaa 由此不难看出，f x dx实际上就是量A在点x出的微分，将dA f x dx称 为量A的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。 二、定积分在几何中的应用 (一)平面图形的面积 1、直角坐标系下

4、面积的计算 1、当平面图形是由曲线f (x)及直线x b、y 0所围成时; b f x dx ； 般地, y 当 f(x) 0时，A f x dx ；当 f (x) 0 时, a b c d A f x dxf x dx f a a c o x b x dx f x dx . d 2、当平面图形是由曲线y1 f1 x y2 f2 x及直线x a、x b所围成时; .y 4 o x a b 若yi y2时，则有：A f2 x bb f1 x dxf2 x dxf1 x dx aa d b x dxf2 x f1 x dxf1 x f2 x dx c d X2 f2 y及直线y c、y d所围成时

5、; 一般地， bc A f2 x fi x dxf1 x aa 3、当平面图形是由曲线x1 f1 y d 则：A 2 y 1 y dy. c yf ox 例1、计算由两条抛物线y2 x和y x 例2、计算抛物线y2 2x与圆x2 y2 8所围平面图形的面积。 例3、计算抛物线y2 2x与直线x y 4所围平面图形的面积 2、曲线方程为参数方程的平面图形面积的计算 xt 设曲线的参数方程为：t ,，则: y t t t dt. 例4、计算摆线 sin t cost 的一拱与x轴围成的平面图形的面积 0围成的平面图形的面积 例5、求椭圆x acost a 0,b x bsint ;求由曲线r r

6、及射线 第六讲 5.2定积分在几何中的应用（二） 3；、极坐标下面积的计算 设曲线的极坐标方程为：r r ， 围成的曲边扇形的面积。 用微元法先求出曲边扇形面积的微元 细分区间，从中任取一小区间 该区间上对应的小曲边扇形近似的看作圆弧扇形, 从而可得面积的微元： dA 1r2 d . 2 于是：A 1r2 d - r2d . 2 2 例1、求心形线 r a 1 cos a 0围成图形的面积 解：由图形的对称性, 其面积等于极轴上方面积 于是，A 2A12 1r2d o2 a2 1 0 cos 2d 3 a2. 4 例2、 求圆r 2acos 的面积。 例3、 求双纽线r2 a2cos2 a 0

7、围成图形的面积 4倍。 a2sin2 R a2. 解：令r 0可得， -，由图形的对称性, 4 其面积等于位于第一象限部分面积的 4 2 a2 cos2 d 0 二、旋转体的体积 由连续曲线y f(x) ,x轴及直线x a,x b所围成的曲边梯形绕x轴旋转 周所形成的几何体称为旋转体。求此旋转体的体积V . y f x 先求几何体的体积微元。 细分区间a,b，从中任取一小区间x,x dx，在此小区间上，将所对应的 小旋转体近似的看作以y f(x)为底半径，dx为高的 小圆柱体，从而可得：dV f2 x dx. b 于是：V dV a b f2 x dx a b y2dx. p a xdx b 1 / 1 1 ： ill / 1 x 类似的可求出由连续曲线 x y、y轴及直线 y d围成的曲边梯形绕 图5 10绕x轴求体积 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V . dV 2 y dy ； dd V dV