数值分析作业答案

1、第 2 章 插值法1、当 x=1， -1， 2 时， f(x)=0 ，-3，4，求 f(x) 的二次插值多项式。（ 1）用单项式基底。（ 2）用 Lagrange 插值基底。（ 3）用 Newton 基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（ 1）用单项式基底设多项式为 : P( x)a0a1x a2x2 ，1xx211100所以：A1xx211 16111xx212422f (x0 ) x0x021 x0x0201 11 1 1147a0f (x ) x x21 x x231 11 1 11111163f (x ) x x21 x x242 41 2 4222221 f (x0) x21

2、 x x21 0 11 1 10009 3a 1 f (x ) x21 x x213 11 1 111111621 f (x) x21 x x21 4 41 2 422221 x0f (x0 )1 x0x021 101 1 15 5a21 xf (x )1 x x21 1 31 1 11111661 xf (x)1 x x21 241 2 42222所以 f(x) 的二次插值多项式为： P(x)73 x5 x2326（ 2）用 Lagrange插值基底l0 ( x)( x x1 )( x x2 )( x1)(x 2)(x0x1 )( x0x2 )(11)(12)l1( x)(xx0 )(xx2

3、)(x1)(x2)(x1x0 )(x1x2 )(11)(12)l 2( x)(xx0 )(xx1 )(x1)(x1)(x2x0 )(x2x1)(21)(21)Lagrange 插值多项式为：L2 (x)f (x0 )l0 (x) f (x1)l1 (x)f ( x2 )l 2 (x)0 ( 3)1 (x 1)( x 2) 41( x 1)(x1)635 x23 x7623所以 f(x) 的二次插值多项式为： L2 (x)73 x5 x2326(3) 用 Newton 基底 :均差表如下：xkf(x k) 一阶均差二阶均差10-1-33/2247/35/6Newton 插值多项式为：N2 (x)

4、f (x0 ) f x0 , x1 ( x x0 )f x0 ,x1 ,x2 ( x x0)( x x1)03 (x1)5 ( x 1)(x1)265x23x7623所以 f(x) 的二次插值多项式为：N2 ( x)73x5x2326由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。6、在4 x 4上给出 f (x)ex 的等距节点函数表，若用二次插值求x 的近似e值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？解：以 xi-1 ,xi,xi+1 为插值节点多项式的截断误差，则有R2 (x)1 f( )(xxi1 )(xxi )(x xi1),(xi 1, xi 1 )3!式中 x

5、i 1,.x h xi 1x hR2( x)1 e4max(xxi1 )(x xi )(xxi 1 )1 e421 h3e4h36xi 1 x xi 1633934令 eh310 6 得 h0.006589 3插值点个数4( 4)121711216.8N1是奇数，故实际可采用的函数值表步长4( 4)8h0.006579N112168、 f ( x)x 7x43x1 ，求 f 20 ,21 ,27 及 f 20 ,21 , ,28 。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：f x0 , x1 , xn f(n ) () a,bn!,所以有： f 20 ,21 ,27 f (7 ) ( )7!

6、17!7!f 20 ,21,28 f ( 8) ( )008!8!15、证明两点三次Hermite 插值余项是R3 (x)f (4) ( )( xxk ) 2 ( xxk 1 )2 / 4!,( xk , xk 1 )并由此求出分段三次 Hermite插值的误差限。证明：利用 x k， xk+1上两点三次 Hermite 插值条件H 3 (xk )f ( xk ), H 3 ( xk 1 )f (xk 1 )H 3 (xk )f (xk ), H 3 ( xk 1 )f ( xk 1 )知 R3 ( x) f ( x) H 3 (x) 有二重零点 xk 和 k+1。设R3 ( x) k (x)

7、( x xk )2 (x xk 1 ) 2确定函数 k(x):当 xxk 或 xk+1 时 k(x) 取任何有限值均可；当 xxk , xk 1 时， x (xk , xk 1 ) ，构造关于变量 t 的函数g(t )f (t ) H 3 (t ) k( x)( x xk )2 ( x xk 1 ) 2显然有g( xk )0, g( x) 0, g (xk 1 )0g (xk ) 0, g ( xk 1 ) 0在 x k,xx,x k+1上对 g(x) 使用 Rolle 定理，存在 1( xk , x) 及 2(x, xk 1 ) 使得g ( 1 )0, g (2 )0在 (xk ,1 ) ，

8、 ( 1 , 2 ) ， (2 , xk 1 ) 上对 g ( x) 使用 Rolle 定理，存在k1( xk ,1 ) ，k 2( 1 , 2 ) 和 k3 (2 , xk 1 ) 使得g ( k1 )g ( k 2 )g ( k3 ) 0再依次对 g(t ) 和 g(t) 使用 Rolle 定理，知至少存在(xk , xk 1 ) 使得g ( 4) ()0而g(4)()f( 4)( )k( 4 ) (t)4!，将 代入，得到ttk (t )1 f (4 ) ( ),( xk , xk 1 )4!推导过程表明依赖于 xk , xk 1 及 x综合以上过程有： R3 ( x)f ( 4) ()

9、( xxk ) 2 ( xxk1 ) 2 / 4!确定误差限：记 I h ( x)为 f(x) 在 a,b 上基 于等 距 节点 的分 段三 次 Hermite插 值函 数 。xkakh, (k0,1, n), hb an在区间 x k，k+1 上有x1f (x)I h (x)f (4 ) ()( xxk ) 2 ( xxk1 )2/ 4!max f ( 4) (x) max (xxk ) 2 (xxk 1 ) 24!ax bxk x xl1而最值max (x2( xxk 1 )222h414 , (x xk)xk )max s (s 1)hshxk xxl10 s116进而得误差估计：f (

10、 x)I h (x)1h4maxf ( 4) ( x)384a x b16 、求一个次数 不高 于 4次 的多 项式 p(x) ，使 它满 足 p(0)p (0) 0 ，p(1) p (1) 0 ， p(2) 1 。解 ： 满 足 H 3 (0)H 3 (0) 0, H 3 (1)H 3 (1)1 的 Hermite插 值 多 项 式 为( x00, x11)1H 3 ( x)H 3 (x j )a j ( x) H 3 ( x j ) j (x)j0221 2 x 1 x 0( x 1) x 01010102x 2x3设 P(x)H 3 ( x)Ax 2 ( x 1)2 ，令 P(2)1得

11、A14于是P( x) 2x 2x3 1 x 2 ( x 1)21 x2 (x 3)244第 3 章 曲线拟合的最小二乘法16、观测物体的直线运动，得出以下数据：i012345时间 t/s00.91.93.03.95.0距离 s/m010305080110求运动方程。解：经描图发现 t 和 s 近似服从线性规律。 故做线性模型 sabt,span1,t ，计算离散内积有：1,15126 ， 1,t5t j0 0.91.93.03.9 5.014.7j0j05t,tt 2j020.92 1.923.023.925.0253.63j051, ssj0 10305080110280j05t, st j

12、 sj000.9101.9303.0 503.9 805.01101078j0求解方程组得：614.7a28014.753.63b1078a7.855048， b22.253761运动方程为： s7.855048 22.253761t522sj s(t j )2.1 102平方误差：j 017、已知实验数据如下：i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如yabx2 的经验公式，并计算均方差。解：span1,x2，计算离散内积有：441,1125， 1, x2x2j1922523123824425327j0j0x2 , x24x4j1942

13、543143844447277699j 041, yyj19.032.349.073.397.8271.4j04x2 , yx2j y j19219.0 252 32.331249.0382 73.3 442 97.8 369321.5j 0求解方程组得：55327a271.453277277699b369321.5a 0.972579， b0.05035所求公式为： y 0.9725790.05035x21422均方误差：y(x j)y j0.1226j0第 4 章 数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的

14、代数精度：（1）hf (x)dx A 1 f ( h) A0 f (0) A1 f (h) ；h（2）2hf (x)dxA 1 f (h) A0 f (0)A1 f (h) ；2h1（3） f ( x)dx f ( 1)2 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) / 3；1（4）hh f (0)f (h) / 2ah2 f (0) f (h) 。f ( x)dx0h解：（1） f (x)dx A 1 f ( h) A0 f(0) A1 f ( h) ；h将 f ( x)1,x, x2 分别代入公式两端并令其左右相等，得hA 1A0A11dx 2hhhA 10 A0hA1h0xdxh2 A 1

15、A0 0 h2 A1h2 h3x2dxhh3解得。所求公式至少具有 2 次代数精确度。又由于hf ( x)dxhf ( h)4h f (0)h f ( h) 具有 3 次代数精确度。故h333（ 2）2 hf ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0) A1 f (h)2hf ( x)1, x, x2 分别代入公式两端并令其左右相等，得2 hA 1A0A11dx4h2hhA 10 A0hA12hxdx02h( h)2 A 1 A0 0 h2 A12hx2dx1 x32 h16 h32 h32h3解得： A 1 A18h , A04h令 f (x)338h ( h)38h h30x3 ，得

16、x3dx 02 h2h33x52 h64h58h (h)48h h416h5令 f (x)x4 ，得x4 dx2 h2h52 h5333故求积分公式具有3 次精确度。1（ 3）f ( x)dx f ( 1)2 f ( x1)3 f ( x2 ) / 31当 f (x)1 时，易知有1f (x)dx f ( 1) 2 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) / 31令求积分公式对 f (x)x, x2 准确成立，即1xdx012x13x2112dx212x123x221x33则解得x10.2898979或x10.6898979x20.5265986x20.1265986将 f (x)x3代入已确

17、定的积分公式，则1f (x)dx f ( 1) 2 f ( x1 ) 3 f (x2 ) / 31故所求积分式具有2 次代数精确度。（ 4）hh f (0)f (h) / 2 ah 2 f (0) f (h)f ( x)dx0当 f (x)1, x 时，有hh11 / 2ah2 001dx0hh0h / 2 ah211xdx0故令 f ( x)x2 时求积公式准确成立，即h2dx h0 h2 / 2 ah2 0 2hx0解得 a1 。12将 f (x)x3 , x4 代入上述确定的求积分公式，有hx4h1 h2 0h3 / 23h2 h0x3 dx04012hx5h1 h2 0h4 / 24h

18、4 h0x4dx00512故所求积公式具有3 次代数精确度。2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：1x（ 1）x2 dx, n8;0 49xdx, n 4;（ 2）164 sin 2d , n 6（ 3）01解（ 1）复化梯形公式， h8h7T8f (0)2f ( xk )f (1)0.11140242k1复化辛普森公式，h18h77S8f (0)4f ( xk1 )4f ( xk )f (1)0.11157186k02k1（ 2） h2 ， T4h f (1)32f (xk )f (9)17.30600052k1h33S4f (1)4f ( x1 )4f (xk )f (9)16.72

19、375056k0k2k1（ 3） hh536， T6f (0)2f (xk )f ()1.03568412k16Shf (0)45f ( x)45f (x)f ()1.03576391k66k0kk1625、推导下列三种矩形求积公式：f ( x)dx(ba) f ( a)f() (bba2f ( x)dx(ba) f ( a)f) (b(ba2a bf ( )b(b)f (x)dxa) f (a224a) 2 ；a) 2 ；(ba) 3 。解：（ 1）左矩形公式，将f(x) 在 a 处展开，得f ( x)f (a)f ( )( xa),(a, x)两边在 a,b上积分，得bbbf ( )( x

20、 a)dxf ( x)dxf (a)dxaaa(ba) f (a)ba)dxf ( )( xa由于 x-a 在 a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有(a,b)bbf ( x)dx (b a) f (a)f ( ) ( x a)dxaa从而有ba) f (a)1f ()(ba)2 ,( a, b)f ( x)dx (ba2（ 2）右矩形公式，同（1），将 f （x）在 b 点处展开并积分，得ba) f (a)1 f ()(ba)2 ,( a, b)f ( x)dx (ba2（ 3）中矩形分式，将 f (x) 在 ab 处展开，得2f ( x)a bf (ababfab 2,(a,b)f ()

21、2)( x2)( )( x)22两边积分并用积分中值定理，得ba b)(ba)a bb( xa b1 bf ( )( xa b 2dxf (x)f (2f (2)dx2 a)aa22f ( ab )(ba)f( )(xa2dxbb )2a2f ( ab )(ba)1f()(ba) 3,(a,b)224、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I1xdx，问区间 0,160e应分多少等份才能使截断误差不超过110 5 。2解：由于 f (x) exf ( x)f (4) ( x),ba1由复合梯形公式的余项有：b a h2 f ( )1121Rn fe10 51212n2解得 n212.8

22、5 可取 n213由辛普森公公式的余项有：Rn fb a h4 f (4) ()1 ( 1 )4110 528802880 n2解得 n3.707 可取 n48、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10 5（ 1） 2exdx ；10（ 2）2xsin xdx ；0（ 3）3x 1x2 dx 。0hn 1Tf ( x )f ( x ) 2f (x) , k 0n20ni解：（ 1） Tk ( k )i 14kT2n ( k 1)Tn( k 1)1,2,3,L4k1,kkTn( k)T0(k )T1( k )T2 ( k)T3( k)0(0)hn 10.7717433Tnf (x0 )f

23、(xn )2f ( xi )2i11(1)4T2n(0)Tn(0)0.72806990.7135121Tn412Tn(2)42 T2n(1)Tn(1)0.71698280.71328700.713272042133(2)(2)0.71420020.71327260.71327170.7132717Tn(3)4 T2 n3Tn41(2)kT0(k )T1( k )03.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-21(3)18、用三点公式求 f ( x)1在 x1.0,1.1,1.2 处的导数值，并估计误差。的(1x)2值由下表给出：x1.01.11.2f

24、( x)0.25000.22680.2066解：三点求导公式为f (x0 )13 f (x0 ) 4 f ( x1 )f ( x2 )h2f (0 )2h3f (x1)1f (x0 ) f (x1)h21)2hf (6f (x2 )1f ( x0 ) 4 f ( x1) 3 f (x2 )h22hf ( 2 )3i(x0 , x2 ), i0,1,2取表中 x1.0,1.1,1.2 ，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。4!4!由于 f ( i )max f ( x)max51.0 x 1.21.0 x 1.2 1x从而可求得误差上限与导数值如下：250.75X1.0三点公式-0.247误差0.0025理论解-0.25数值积分法 ,令 (x)f ( x) ，由f ( xk 1 ) f ( xk )对积分采用梯形公式，得1.11.2-0.217-0.1870.001250.0025-0.2159594-0.1878287xk 1( x)dxxkxk 1xk(xk )( xk 1)( xk