谈三个特殊式子的关系及应用

1、谈三个特殊式子的关系及应用文/张留杰大家知道sin 9 + cos 9、sin 9 cos9、sin 9cos 9三个式子中，已知其中一个式子的 值可求其余二式的值，这是因为其间隐含着平方关系：sin 2 9+ cos2 9 = 1;另外，还可以根据sin 9 cos 9的值来求式子tg 9+ ctg 9、tg 9、ctg 9的值。这不仅使同学们进一步熟 练掌握同角三角函数的基本关系，而且对判断角所在象限、解三角方程和三角不等式均能提供很大的帮助.首先我们来探讨一下它们之间的关系，t = sin 9 cos 9,2 . 2p +q =2,设戸=sin 9 + cos 9,q= sin 9 co

2、s 9,q $ =1 2t,2则P =1 + 2t,所以p21-cos 92q=2p2tg 9+ ctgsin+coscossin2 cos2tg 9 + ctg可得方程=tgLtg2P2 1sinsin cossin cos又由关系：ctg 9 =21) tg 292 tg 9 +可得tg 9的值.进而求出tg(P 21)=Octg 9的值.解此关于tg 9的一元二次方程，由此可见，只要给出p,q或t的值，可以不求sin 9和cos 9,便能得出tg 9和ctg当然欲求sin 9和cos 9也比较方便.1已知 sin 9+ cos 9= (Ov9vn) ,5求： (1) sin 9 cos

3、9;(2) tg 9.11sin 9 + cos 9= 一得 1 + 2= sin 9 cos 9=,52512cos 9=v259,例1.解:(1)由/ sin 9O 9角在第二或四象限.又 Ov9Vn, sin 9O,cos 9vOV9Vn,2sin 9 cos 9O二 sin 9 cos9 =一 2 (sincos )22 Q2(2)错解：由 si n9-cos 9=12上可得sin .cos.2 2sin cos25tgtg 2 11212tg 2 + 25tg 9 + 12 = 0解之可得:tg 9=-1口剖析虽然 tg 00,且 sin 00, cos 0|3cos 0|,所以 |

4、tg 0| 1,又 tg 00, 故 tg 0= _ 为所求。4例2.若1Sin a cos a=8(4 *a02所以排除B、C，然后根据q=12t = 12X3，得q =三，故选(A)。42例 3 .若 sin 0 cos ，贝U tg 0 + ctg B 的值为(A)2(B)2(C)2(D)【分析】例4.【分析】:由tg 0 + ctg 0=，可知答案为(B). 若 sin a + cos a=1,贝U tg a + ctg a 的值为(A)1(B)1(C)0(D):由 sin a + cos a = 1得 1 + 2 sin a cos a=1,)不存在所以 sin a = 0 或 CO

5、Sa = 0,此时ctg a或tg a的值不存在，故选(D)。2例 5.已知 sin a + cos a=,则3tgatga+ _ctga_ ctgasin asin a+ coSa 等于().cosa(A)2(B)0(C)2【分析】：由sin a + cos a=知角a为第二或四象限角， =-2 , 故选(A).(D)所以原式=4-1-1+1-1 = -2 或= -1-1-1 + 11例 6 .已知 sin a COSa= ，求 sin a + cos a5sin 3 a cos a3 ctg a1【分析】：由已知=sin a COS a= -，可得0q1,所以角a在一或三象限且终边落5si

6、 na + cos a的值应有两个(一正一负)； 因为sin a23a + sin a cosa+ COS a)=q(1 + t) ，所以 sin a 12在一、三象限角平分线上方区域，3cos a=( sin a cosa) (sin373cos a =；据角a所在象限可知的tg a值应有两个且均为正，由Sin a coSa= 得12525羊社=咚，解得tga= 4或3。tga 12534例7 .函数y= sin 2x+ cosx sin x的最小值是()A. 、2 1 B. -. 2 1C.3、2 D. 1 解：设 cos x sin x=t，则 t 属于 V 2,sin 2x = 2 c