专题椭圆的离心率解法大全

1、文档来源为:从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .专题：椭圆的离心率2，利用定义求椭圆的离心率（ e c 或 e2 1 b ）aa1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率 e2，椭圆y 1 的离心率为 1 ，则 m m2 解析 当焦点在 x 轴上时，4 m 1223；当焦点在 y 轴上时，16m，3综上 m 或 3 33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是24，已知 m,n,m+n 成等差数列，m， n， mn成等比数列，则椭圆y1的离心率为n2n2m n 解析 由2 n2 mnm2，22椭圆 x y1的离心率为2n4mn2mn015，已

2、知21(m 0.n0)则当2 x mn 取得最小值时，椭圆 x 22 y21 的的离心率为 3mnm2n2F1 到 l 1的x2 y26，设椭圆 2 2 =1（ a b 0）的右焦点为 F1，右准线为 l 1，若过 F1且垂直于 x轴的弦的长等于点ab1距离，则椭圆的离心率是 。2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率 e1，在 Rt ABC中， A 90， AB AC 1 ，如果一个椭圆过 A、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率e632， 如图所示 , 椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为,F 是左焦点 , 直线AB1与 BF 交于 D, 且 解析

3、 b （ b） ac 3，以椭圆的右焦点BDB15122a c ace2F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、椭圆的左焦点为F1，直线 MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是3 1O 并且与椭圆交于 M、 N 两点，如果变式（ 1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心MF=MO，则椭圆的离心率是312 2 xy4, 椭圆 a2 + b2 =1（ab 0） 的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则 椭圆的离心率 e？解： F1F2=2c BF1=c BF2= 3c c+3c=2ae=2 x 变式（ 1）：椭圆 2 ay

4、b2=1（ab 0） 的两焦点为 F1 、F2 ，点 P在椭圆上， 使 OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 , 则OF2=OF1=OP, F1PF2 =902 2 xy 变式（ 2） 椭圆 a2 + b2 =1（ab 0） 的两焦点为 F1 、 PF2 AB,求椭圆离心率？b2PF1=F2 F1=2c OB =b OA=aa5 e=5 将上题中的条件“ PF2 AB”变换为“ PO 2 2 xy解：22 a=5c变式 (3):图形如上图， e= 3-1F2 ，AB为椭圆的顶点， P是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，PF 2 AB PFF1F = ab F2 F1 aAB（ O

5、为坐标原点 ） ”相似题：椭圆 a2 + b2 =1（ab 0） ，A是左顶点， F 是右焦点， 解： AO=a OF =c BF=a AB= a2+b2a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a2B 是短轴的一个顶点，2+e-1=0 e=又 b= a -cABF=90，求 e?-1+2 5 e= -1-2 5(舍去)F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，求 ABF？变式(1): 椭圆xa2 +yb2 =1(ab 0) ，e=-1+2 5 , A 是左顶点，点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答

6、案：90引申：此类 e= 52-1 的椭圆为 优美椭圆。性质：（1） ABF=90（ 2）假设下端点为 B1 , 则 ABFB1 四点共圆。3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式 (2):22椭圆 x2 y2 1 （ a b 0）的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形 ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则 a2 b2椭圆的离心率 e =2提示：内切圆的圆心即原点， 半径等于 c，又等于直角三角形 AOB斜边上的高，由面积得： ab r a2 b2 ， 但 r cx2 y24，设椭圆 x2 y2 （1 a b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2 ，a2 b21 2的取值范围。如果椭圆上存

7、在点P，使F1PF290 ，求离心率 e解：设 P x,y ,F1 c,0 , F2 c,0法 1：利用椭圆范围。由 F1P F2P得 x2 y2 c2 ，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 x 2a2c2a2a2b2b22 2 2 a (c a ) 2。 e由椭圆的性质知 0 x 2a2 ，得 以 e2 22 ，1)1 类似）附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法法 2：判别式法。文档来源为 :从网络收集整理 由椭圆定义知 |PF1| |PF2| 2a |PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2| 4a2 ，又因为.word 版本可编辑 .欢迎下载支持 . F1PF2 9

8、0可得 |PF1 |22|PF2 |22 2 2 |F1F2|2 4c2 ，则| PF1 | PF2 | 2(a222c2) 2b2 ，PF1 ， PF2 是方程2z 2az22b2 0 的两个根，则224a2 8(a2c2)2c2a解法 3：正弦定理设记 PF1F2PF2F1，由正弦定理有|PF1 |F1F2 |PF1 | |PF2 |sinsinsin90sin sin|F1F2|又因为 |PF1 |PF22a，| F1F22c ，且90所以解法5：解法6：则 2 sin(21，12sin(4) 2e1利用基本不等式由椭圆定义，巧用图形的几何特性2a |PF1| |PF2|平方后得F1PF

9、2 90 ，知点 P在以 |F1F2|2c 为直径的圆上。又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点2 2xy变式 (1) ：圆 a2 + b2 =1(ab 0) 的两焦点为 点，且 PF1F2 =5 PF2F1 , 求椭圆的离心率P，故有 c bc2b2 a2c2F1 (-c ， 0)、F2 (c,0) ，P 是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。F1P解：由正弦定理：F1F2 sin F 1PF2sin F 1F2PPF2sin PF1F2根据和比性质： F1F2 =sin F 1PF2 =F1P+ PF2sinF 1F2P+sin PF 1F2

10、变形得：F1F2sin F 1PF2 PF1F2 =75 PF2F1 =15 e=sin90sin75 +sin15 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知PF2+F1P sin F 1F2P +sin PF 1F2=63sin F 1PF22c=e2ae=sin F 1F2P +sin PF 1F22 2xy变式 (2) ：椭圆 a2 + b2 =1(ab 0)椭圆离心率 e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。的两焦点为 F1 (-c，0)、F2 (c,0) ， P是椭圆上一点，且F1PF2 =60 ，求解：设 F1F2P=，则F2F1P=120sin F 1PF2sin60e

11、= =sin F 1F2P +sin PF 1F2 sin +sin(120 - )1 12sin( +30) 212eb 0) 的两焦点为 F12 则e10e 3-c ， 0)、 F2 (c,0)满足 MF1 MF2 =0 的点 M总在椭圆内部，则 e解： c2c20eb 0) 恰过 F2 点，求 e 的取值范围？ 分析：思路 1, 如图 F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找 思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求的两焦点为 F1-c ， 0)、F2 (c,0)a、b、解法一：b2 既 (2 bc ,y0 )2b22c -c,2a( c +c) (MF2 =-(，P为右准线c 的

12、不等关系。L：2x=a 上一点， F1P 的垂直平分线 cF1 (-c ，0) F 2 (c,0) P(2a则 PF1 =-( c +c, y c2 a c ,y 0 )M(e2 a-ccy02y20 )b22c -c)+0 )2aPF1MF2 =0(+c,c2y2 =0a2-3c 2 0y0 )33e123ceb 0) ，过左焦点 e的值F1 且倾斜角为 60的直线交椭圆与AB两点，若F1A =2 BF1 , 求解：设 BF1=m 则AF2 =2a-am BF2 =2a-m2 a c 2=m(2a-c)：2a-c12在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：2(a 2-c 2)=m(

13、2a+c)两 式相除2a+c=2e=32 2练习题：21，椭圆 x2a22 y b21(a b 0) 上有一点 M，F1, F2是椭圆的两个焦点，MF 1 MF2 2b2 ，求椭圆的离心率 .解析:由椭 圆的定 义，可得 MFMF22a 又 MFMF2 2b2 ，所以 MF 1, MF2 是方程x2 2ax 2b2 0 的两根，由 ( 2a)24 2b20 ， 可得 a22b2，即 a2 2(c2 a2)所以 e c 2 ， a2所以椭圆离心率的取值范围是 2 ,1)2若以 A， 4ABAC BC 3，已知 F1,F2为椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 , 若2，在 ABC中， A 90o，

14、 tanB 解析 AB 4k,AC 3k,BC 5k,e为 . 解析 3 1 三角形三边的比是 1: 3:2 22xy2 2 1( a b ab4，在平面直角坐标系中，椭圆作圆的两切线互相垂直，2 解析 a 2ac则离心率e=B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e2PF1F2 :PF2F1:F1PF2 1: 2:3, 则此椭圆的离心率0) 的焦距为2 a 2，以 O为圆心， a 为半径的圆，过点 ,0 c5， 在 ABC 中，A 300,| AB | 2, S ABC3 若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析

15、 SABC 1|AB| | AC |sin A 3， |AC|2226，已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 a2 b2则该椭圆的离心率的取值范围为 2 3，|BC| |AB|2 | AC|2 2|AB| | AC | cosA 2F1 c,0 ,F2 c,0 ，若椭圆上存在一点 P使 sin PF1F2 a， sin PF2F1 c 解析 在 PF1F2 中，由正弦定理得PF2PF1sin PF1F2 sinPF2F1 ，则由已知，得aPF2c，即 aPF1 cPF2 ，PF1PF1即 PF27，已知椭圆 M : x2a2c PF2 ，由椭圆的定义知 PF1 PF2 2

16、a ， c PF2 PF2 aa2 2a ，由解法三知 c ca22 by2 1(a bPF222a2a c 2 1 e 1 cab 0) 的左、右焦点分别为 F1 c,0 ,F2的最大值的取值范围是c2,3c22a，椭圆的离心率e 2 1,1 。uuur uuuurc,0 ，P为椭圆 M 上任意一点 ，且 PF1gPF2，其中 c a2 b2 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 ：设 P x0,y0uuur uuuur2 22，则 PF1gPF2c x0, y0gc x0, y0x02y02c2 ，而2 2 2 2x0y0 PO a ,uuur uuuur 2 2 PF1 gPF2 的最大值为 a2 c2