平方根与立方根一对一辅导讲义

1、教学目标重点、难点考点及考试要求1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4. 理解开立方与立方的关系。重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。难点：算术平方根与平方根的区别与联系。以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理课前检测1、求下列各数的算术平方根： 100 49 17 0.0001 06492、求下列各式的值：（1）4（2）49（3）2（ ）281( 11)463、算术平方根等于本身的数有。4、求下列各数的算

2、术平方根.0.0025， 121，42 ，(1)2 ， 192165、已知a1b10, 求 a2b 的值 .知识梳理一 . 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。当 a 0 时， a 的算术平方根记为 a ，读作“根号 a ”， a 叫做被开方数。2.平方根的概念及其性质（1）平方根的定义22a ，那如果一个数的平方等于 a ，即 x a ，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根。即如果 x么 x 叫做 a 的平方根。（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负数没有平方根。

3、当 a0 时，a 的平方根表示为a 。（3）求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。3.用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值） 。二.立方根：1.立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。 即如果 x3a ，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 3 a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。2.开立方的概念求一个数的立方根的运算， 叫做开立方。 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无

4、限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。第二课时平方根与立方根典型例题典型例题知识点一：算术平方根例 1.下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。（1）81；（ 2）16 ；（3）0；（4） 25 ；（ 5） ( 2) 2 ；（ ） ( 2) 3。46思路分析： 根据“正数和0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（ 1）、（3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（ 6）没有算术平方根。解答过程 ：（ 1）因为 81 是正数，所以它有算术平方根。又因为9281，所以 81 的算术平方根是9；（2）因为16是负数，所以它没有算术平方根；（3）0 有

5、算术平方根，就是0；（4）因为 25 是正数，所以它有算术平方根。又因为 (5) 225 ，所以 25 的算术平方根是5 ；442442；（5）因为 (2) 2是正数，所以它有算术平方根。又因为224 ，所以 ( 2) 2 的算术平方根是2（6） ( 2)38 ，是负数，所以 ( 2)3 没有算术平方根。解题后的思考 ：要判断一个数有没有算术平方根， 要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？例 2. 已知 ( x2) 2| y3 |z40 ，求 x, y, z 的值。思路分析： 考虑 ( x2) 2 、

6、 | y3| 、 z 4 都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。解答过程 ：Q ( x2)2| y3 |z4 0又 Q ( x2) 20,| y3|0,z40( x2) 20,| y3 |0,z40x20, y30, z40解得 x2, y3,z4 。解题后的思考 ：一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。这是解决这类问题的出发点。小结：1. 只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；2. 一个非负数的算术平方根是一个非负数。知识点二：平方根的概念及其性质例 3.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）3600；（2） 111 ；（

7、3）0.0001 ；（4） ( 7) 2 。25思路分析：因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。解答过程 ：（1）因为 (60)23600 ，所以 3600 的平方根是 60，即360060 。3600 的算术平方根是60，即 3600 60 。（2）因为 11136 ， (6)236 ，所以 111 的平方根是6 ，即1116 。2525525255255111 的算术平方根是 6，即 1116 。255255（3）因为 ( 0.01)20.0001，所以 0.0001的平方根为0.01，即0.0001 0.01 。0.0001

8、 的算术平方根为0.01 ，即0.0001 0.01 。（4）因为 ( 7) 249 ， (7) 249，所以 ( 7) 2 的平方根为 7 ，即 ( 7)27 。( 7) 2 的算术平方根为 7，即 (7)27 。解题后的思考 ：运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。例 4. 求下列各式中的 x 。（1） x2196 ；（2） (x 1)29；（3） x2169 0 ；（4） (4 x)216 。思路分析：

9、把上面各式化成 x2m 的形式，求出 m 的平方根，就可以求出 x 的值。解答过程 ：（1）因为 x2196 ，所以 x 14 ；（2）因为（3）因为(x1)29 ，所以 x 13 ，所以 x2 或 x4 ；x21690 ，所以 x2169 ，所以 x13 ；（4）因为 (4 x)216 ，所以 4x 4 ，所以 x1。解题后的思考 ：虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。例 5. 若一个正数 a 的两个平方根分别为 x 1和 x 3 ，求 a 2008 的值。思路分析： 由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因

10、而可构造方程，求出 x 的值，而 a(x1) 2 或 a ( x 3) 2 ，据此可求出 a 的值。解答过程 ：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以 ( x 1) ( x3)0 ，解得 x 2 。从而 a (x1)2( 21)21 （或 a (x 3) 2( 2 3) 21)所以 a20081 。解题后的思考 ：本题利用平方根的性质， 构造一元一次方程， 先求出其平方根， 再进一步求出 a 。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。例 6.若 x, y,m 适合关系式3 x5 y3m2x3 ymx2005y2005xy ，试求 m 的值。思路分析： 从已知关系式看似乎无从下手，但

11、关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。3x5 y3m0 (1)2x 3 y m 0(2)解答过程 ：由已知，得2005y0(3)x2005 xy0(4)由（ 3）（4）式可知， xy2005所以，原式即为3x5y3m2x 3 y m 0因为， 3 x 5 y3m02 x 3 ym 0所以， 3 x 5 y3m02 x 3 ym0又因为， x所以，解得y2005m2008。解题后的思考 ：a 的非负性包括两层含义：一是被开方数a 必须非负，即 a0 ；二是 a 的算术平方根必须非负，即a0 。小结： 负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 0知

12、识点三：平方根的估算例 7.已知 x 为172 的整数部分，y1 是 9 的平方根，且 | xy |yx ，求 xy 的值。思路分析： 此题涉及17 的估值问题，由 161725 ，即 4175 可解。还涉及y 的取值的取舍问题，求出的 y 值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。解答过程 ：因为 4175 ，所以 21723 ，即 x2因为 y1是 9 的平方根，所以y13 ，即 y4 或 y2又因为 | xy |yx ，所以 yx所以 x2, y4 ，故 xy6 。解题后的思考 ：若m 的整数部分为a ，则其小数部分为ma 。小结： 若一个非负数a 介于另外两个非负数a1 , a

13、2 ( a1a2 ) 之间，即 0a1aa2 时，它的算术平方根也介于a1 ,a2 之间，即 0a1aa2 。利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。知识点四：立方根的概念及其性质例 8.已知 x1是 8 的立方根，求 x 。思路分析： 此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。解答过程 ：Q x1是 8 的立方根( x1)38x12 ， x3解题后的思考 ：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。小结： 立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，

14、0 的平方根为 0，正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。知识点五：平方根与立方根的综合运用例 9. （ 1）已知 0.001045 0.03230 ，则10.45_；（2）已知 3 0.498 0.7926 ，则 37.926。思路分析： 一个正数扩大（或缩小） 100 倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10 倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动 2 位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左）移动 1 位。一个正数扩大（或缩小） 1000 倍，则它的立方根扩大（或缩小） 10 倍。从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移

15、动 3 位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动 1 位。解答过程 ：（1）因为 10.450.001045 10000所以10.453.23（ 2）因为 7.926 0.7926 10所以 7.9263 0.498 10003 498解题后的思考 ：同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆：一个正数扩大 10 倍，则它的平方扩大100 倍，立方扩大 1000 倍；反之，一个正数缩小 100 倍，它的算术平方根缩小 10 倍；一个正数缩小 1000 倍，它的立方根缩小 10 倍。例 10. 已知 Mmn1 m3是 m3 的算术平方根， N2 m 4 n 3 n2 是 n2的立方

16、根，试求 M N 的值。思路分析： 由 mn 1 m3是 m3 的算术平方根可知 mn 12 ，由 2m4 n 3 n 2 是 n2 的立方根可知2m 4n 3 3，由此可得方程组，解得 m, n 的值，从而求得 M , N 的值，最后求出 MN 的值。解答过程 ：由题意可知mn122m4n33解方程组得m6n3所以， M633 ， N3 3 21所以， MN312 。解题后的思考 ：明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。例 11. 若 3 12x与 3 3y2 互为相反数，求代数式 2 x1 的值。y思路分析： 由立方根的定义和性质可知，若3 1 2x与 3 3 y2 互为相反数，则有被开

17、方数互为相反数。由此求出 x, y 的关系式，然后代入求值。解答过程 ：由题意得 12 x3y 20所以， y2 x13则 2x 1 3 。 y解题后的思考 ：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。师生小结被开方数正数0负数11名称算术平方根1 个（正数）0无1无平方根2 个（一正一0无1无负）立方根1 个（正数）01 个（负11数）第三课时平方根与立方根课堂检测课堂检测一、选择题：1. 327 的绝对值是（）A. 3B.3C. 1D.12. 下列说法中正确的是（33）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数

18、的立方根与这个数同号3. 与 3 最接近的数是（）A. 0B. 2C. 4D. 54.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（）A. 1B. 1C. 0 或 1D. 1或 05.计算a2（）A. aB.aC.1D. 0二、填空题：6. （1）21_；（2） 3125_；4（3） 38_；（4） 3825 _；27（5）381631_；277. 3 64的平方根是；_8. 1710 的小数部分为 _；9. 下列说法中正确的是 _（将序号填写在横线上）4 的平方根是 2；4 的算术平方根是 2；2 是 4 的平方根；16的平方根是4 ；0.3 是 0.09 的平方根；0.4 的算术平方根是0.2 。10.如果 3 2 x 13 5x8 ，那么 x2_。三、解答题：11. 求下列各数的平方根和算术平方根121（ 1） 49（2）0.008142（ 3）( 5)（ 4） 1412. 求下列各数的立方根（ 1）0.001（ 2） 2163（ 3）38（ 4） 313. 求下列各式中的 xx2（ ）x1)225（ 1）9256 02 4(214. 已知： (1 2a) 2 b20，求 ab 的值15. 若 3x 16 的立方根是 4，求 2x4 的算术平方根16.已知 3 1a21a 2 ，求 a 的值。17