平方根与立方根及实数(综合提高)

1、平方根与立方根知识点小结及练习一、知识要点1、平方根 ：、定义：如果x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“a ”（ a 称为被开方数） 。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a”。2、立方根 ：、定义：如果x3=a，则x 叫做a 的立方根，记作“3a”（a 称为被开方数） 。、性质：正数有一个正的立方根；0 的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方） ：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0

2、 和 1；立方根是其本身的数是0 和 1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、 a 本身为非负数，即a 0； a 有意义的条件是 a 0。4、公式： ( a )2=a（ a 0）； 3a =3 a （ a 取任何数） 。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握） 。例 1 求下列各数的平方根和算术平方根（ 1） 64 ；（ 2） ( 3) 2； （ 3） 1 15； 1； （5） 100； （ 6） 25（ 7） 0.2549( 3) 2121例 2

3、求下列各式的值（ 1）81 ； （ 2）16 ； （3）9 ； （ 4） ( 4) 2 .25（ 5）1.44 ，（ 6）36 ，（ 7）25 （ 8） ( 25)249例 3、求下列各数的立方根： 343； 2 10； 0.729；（ 4） 343；（ 5）8；（ 6） -0.0064 ；（ 7） -72927216二、巧用被开方数的非负性求值.当 a 0 时， a 的平方根是a ，即 a 是非负数 .例 4、若2xx2y6, 求 yx 的立方根 .练习： 1、已知 y12x2x12, 求 x y 的值 .2、已知x3y3(z2)20 ，求 xyz 的值。3、已知互为相反数，求a， b 的值

4、。三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当 a0 时， a 的平方根是a ，而 (a )(a )0.例 5、已知：一个正数的平方根是2a-1 与 2-a ，求 a 的平方的相反数的立方根.练习：若 2a3 和 a12 是数 m 的平方根，求m 的值 .四、巧解方程例 6、解方程（ 1）（ x+1） 2=36（ 2） 27(x+1) 3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.a0 , 即a=0 时其值最小, 换句话说a的最小值是零.例 4、已知：y=a23(b1), 当a、b 取不同的值时，y 也有不同的值. 当 y最小时, 求ba 的非算术平方根.六、实数1、实数 ：有理数和无理数统称为实数我

5、们一般用下列两种情况将实数进行分类：按属性分类：按符号分类2 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用在实数范围内，不仅可以进行加减乘除乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算3实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如、等思考：（ 1） a2 一定是负数吗？a 一定是正数吗？（ 2）是一个无理数，那么 1 在哪两个整数之间？(3)15 的整数部分为 a,小数部分为 b,则 a=_, b=_(4)实数

6、包括 _或 _；33 ，22 其中无理数有（(5)下列各数：3 5 ， ， 0.28，0， 4 ， 3.14159， 0.121121112L，）7个七、实数大小比较的方法一、平方法比较 3 和3 的大小2二、移动因式法比较 23 和 32 的大小三、求差法比较51 和 1 的大小2四、求商法比较 45 和11 的大小3练习 ：比较下列各组数的大小：2 和3 ； 3 和 32 ；15 和 3 4 ；5 7 和 2.45。八、解答题1、当 a1时，化简 1 4a 4a 2| 2a 1 |22、已知实数a 、 b 在数轴上表示的点如上图，化简ab +( ab1) 2-1a 01b3、已知 a,b

7、是实数，且有a31(b2) 20 ，求 a, b 的值 .4、已知 a, b为有理数，且(32 3) 2ab 3 ，求 ab 的平方根【课堂练习】1无限小数包括无限循环小数和，其中是有理数，是无理数 .2如果 x 210，则 x 是一个数， x 的整数部分是.364 的平方根是，立方根是.4 15的相反数是，绝对值是.5若 x6则 x.6当 x _ 时，2x3 有意义；7当 x _ 时，1有意义；1x8若一个正数的平方根是2a1和a2，则 a _ ，这个正数是；9当 0x1 时，化简x2x1_;10 a, b 的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（） .aobA 、a bB、abC、abD、

8、b a11全体小数所在的集合是（） .A、分数集合B、有理数集合C、无理数集合D、实数集合12等式x1x1x21 成立的条件是（）.或A、x1B、x1C、1x 1D、x1113若 (3x2) 3161，则 x 等于（）.64A、 1B、 1C、1D、9244414、 0.25的平方根是； 125 的立方根是；15计算：2 1 =； 33 3 =； 1.42 的绝对值等于4816若 x 的算术平方根是4，则 x=；若 3 x =1，则 x=；17若 ( x1) 2 -9=0 ，则 x=；若 27 x3 +125=0，则 x=；18当 x时，代数式2x+6 的值没有平方根；19 125227123

9、 8 =；3936420若x1| y 2 | 0 ，则 x+y=；21若 x264 ，则 3x .22立方根是 8 的数是，64 的立方根是。23如果 x、 y 满足x y| x2 | =0，则 x=，y=；24、如果 a 的算术平方根和立方根相等，则a 等于；25、如果式子x 1有意义，则 x 的取值范围为。26、7 在整数和整数之间，5 在整数和整数之间。27、 121 的算术平方根是是， 16 的算术平方根是。8128、的算术平方根是它本身。的平方根是它本身。29、已知一个正数的平方根是 3x-2和 5x+6，则这个数是。30、已知一个正数的平方根是2a-1和 a-5,a的值是。二、计算：1、（ 1） 2551（ 2）103104（ 3） 23 2423（ 4）11132 2 50284(5)(813)(813 )(6)(53)2(13)(38)(7)( 4) 232826213252(8)(32) 2 (526)2若x4xy50 ，求 xy 的值 .3设 a、 b 是有理数，且满足 a b 2122 ，求 ab 的值4、