复数乘法教学设计教案

1、 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 第四课时 题课 复数的乘法 教学目标 一、教学知识点 理解并掌握复数乘法的运算法则.1. n 是周期出现的的运算律，i.2.理解并掌握虚数单位i 232? =1,+1=0.,的运算性质：=3.掌握1的立方虚根 22zz =z=.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：z 二、能力训练要求 .1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目 n .i的运算性质解题和1的立方虚根2.会运用 22zz 灵活运用复数的模与共轭的关系式3.z.=解题，并深化它的应用=z 三、德育渗透目标 培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力，培养学生实际动手操作1.

2、（运算、画图）能力. 培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们2.（包括数学素培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质的优良的解题方法， 质）. 培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.3. 教学重点n的性质是本节课教的立方虚根的周期性变化、1复数的代数形式、乘法运算法则、i. 乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁学的重点内容, 教学难点n. 的性质是教学的难点的周期性规律、复数的代数形式的乘法运算法则的规定、i 教学方法在学生掌握两个多项式的乘法.建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法2b”+运算

3、法则，“a问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复 22zzz和复数乘法运算所满足z=继续让学生建构数的代数形式的乘法运算法则.的交换律、结合律和分配律. 教具准备 实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）. 教学过程 .课题导入 我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同 学们都说可以把加法运算看作是关于i的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数 的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使 学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极

4、性，为积极主动建构新知识而作好准备 ). 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 .讲授新课 ( 一)知识建构 22是)(c+、dd)化简吗（a、b师初中学习了多项式乘以多项式，你们能把(a+、bc 有理数）？积还是无理数吗？ 即开生按多项式乘法运算法则展2222222 ad+bdbc).可.(a+b )(c+=(dac)=+acad+2+bdbc)+(+ bc都是有理数.、dQ,ac,2bd,ad,、a、bc 2 而是无理数，ac+2bdQ,ad+bcQ. 22 )是无理数（a+db.）(c+ 2”换为“i”，其中i是虚数单位，能化简吗?（a、师若将b“、c、d都是实数） 22=-1,才能合并

5、i) ad+bc)i.(bci+bdi=(ac-bd)+(ac生可以.(a+bi)(c+di)=+adi+a、b、c、dR， ac-bdR,ad+bcR. (ac-bd)+(ad+bc)i是复数. 师这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z=a+bi,z=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积21(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2换成-1i，并且把实部其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 师实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？

6、生实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z、z、zC, 321有(1)zz=zz, 1212(2)(zz)z=z（zz）, 311322(3)z(z+z)=zz+zz. 3322111师完全正确，你们能证明吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z=a+b111i,z=a+bi,z=a+bi(a、a、a、b、b、bR). 323221233213生甲zz=(a+bi)(a+bi) 211212=(aa-bb)+(ba+ab)i, 22112112zz=(a+bi)(a+bi) 111222=(aa-bb)+(ba+ab)i, 12221121

7、又aa-bb=aa-bb,ba+ab=ba+ab, 1221222111221121zz=zz. 1221生乙(zz)z=(a+bi)(a+bi)(a+bi) 312211233=(aa-bb)+(bb+ab)i(a+bi) 3121221132=(aa-bb)a-(ba+ab)b+(ba+ab)a+(aa-bb)bi 33211231112221122312=(aaa-bba-bab-abb)+(baa+abb+aab-bbb)i, 321213312233132311122321同理可证z(zz)=(aaa-bba-bab-abb)+(baa+aba+aab-bbb)i, 31112312

8、3212312321231233123 ).z(z=z)zz(z 321321 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 bi)a+bi)+(a+生丙z(z+z)=(a+bi)( 331121322 b)ia+a)+(b+=(a+bi)( 312231 )ia(b+bb)+b(a+a)+=a(aa)-b(b+ 321222133311 b)i,+ab+a+bb-bb)+(baba=(aa+aa- 3212121311321131 bi)+bi)(a+=(a+bi)(a+bi)+(azz+zz 312111322113 b)iba+aab)i+(aa-bb)+(b=(aa-bb)+(a+ 32131

9、23132112111 )iab+abb)+(ba+ab+=(aa-bb+aa-b 3112123132111123 )i,b+ab)+(ba+ba+a=(aa+aa-bb-bb 3222111211133311 .)=zz+zzz(z+z 3231112 )(学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究 同学们，这三位同学证明的是否正确？师 （众生齐声回答）正确！生 z z.i(a、bR),求师若复数z=a+b 2222222zzz zb=+0i=aa+b. .+a-bi)=ab-(-b)+a(-b)+bai=a+生=a-bi,bzi)(=(a+b 22z ,=a你们能想到什么？师由+z

10、b 222z .z=a+bz是z的模的平方，可以得到生a 22 z.=z生b 222222222z .=az+ba=(+bi)=a,-b+2abi,而z生c不对.z 22 2222b?azzzz =z=az+b,.生d也是=的模是的模的平方，即z,z 22在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有+对于实数a、b,ab生e22 是虚数单位.a-bi)，其中ai+ba=(+bi)( 两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.生f 同学们联想的这些内容都是对的.师 z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，一般地，两个互为共轭复数z、 22zz 即z=z.= zzz.这个公式很重要，在复

11、数的计算、=通常也可以写成z=证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握. 对于上述命题的逆命题是否成立呢？ 22z.b i)=z-=(a+bi)(g生成立.因为ab+a 生h不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例2=-2(-1)=20.但z和zz如，z=i,z=-2i,z=i(-2i)=-2i不是共轭复数. 212211师由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？ mnm+nmnmnmmm.在复数集C中，对任何zb) a实数集中，有i生a=aa;()=a;(ab=a、z、z21数系的扩充与复数的引入 备课

12、人：焦阳 mnm+nmnmnmmm. )=z=zC,都有zzz=z,(z,(zz2112*.N m、nn生j上述推广中幂指数m、必须满足 师这三条的证明思想是什么？ 生k根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证. 生i也可以使用数学归纳法进行证明. 师这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略. 123456789101112分别为什么？,i,i我们知道i,i=i,i,i=-1,请问i,i,i,i,i ,i 生m分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1. 师从这些数中你能总结出什么规律？ n*4n4n+14n+24n+3 =-i.N=i,i,我们有i=-1,i生n数列i=

13、1,i是周期数列，最小周期是4,即如果n 师如果n是整数0时，是否成立？ （片刻，学生开始讨论） 4n04n+114n+224n+33=-i,=i=-1,i=i,i 生o成立.因为i=i=i=i=1,i 是负整数时，上述结论还成立吗？师如果n -1 .没有定义,不成立.因为i所以无法推广生P 则mN),.取n=-m(生Q成立 11m4n-4 =i=1,=i m41iii+1mn+1-4 =i,=i4=i m41i2i?1+24n+2-4m =i=i=-1, m4i13i?i+34n+3-4m=i=i=-i. m4i1n的结论也成立. 所以n是负整数时，关于i 4n4n+14n+24n+3=-i

14、都成立=i,i.,知对一切nZ,i=-1,i=1,i 师由上面讨论 zzz?z,前面我们证明过：由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？ +=师 2121生r可以类比，对于乘法有 zzzz.= 2121事实上，设z=a+bi,z 2111=a+bi(a、a、b、bR)， 221122zz=(a+bi)(a+bi) 221121=(aa-bb)+(ab+ba)i. 21111222 zz(aa?bb)?(ab?ba)i =2122111212=(aa-bb)-(ab+ba)i. 21112212 zz=(a-bi)(a-bi) 又 211221=aa-(-b)(-b)+a(-b)+(-b)ai

15、21212121 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 )i-ba=(aa-bb)+(-ab 21222111 a)i,a=(a-bb)-(ab+b 22111221 zzzz=. 2112 师这个公式能否推广呢？ zz?z?.?zz,z 则=C,生z.s可以.z,z nn1212n12 师z、zR,zz与zz有何关系？为什么？ 211221 （讨论一会儿，开始写写画画） R), b、bi(a+ba、a、zz生tz=zz.设=a+bi,z=21211122121122 )i.+baa-bb)+(abzz=(a 211212122122)ba)(?ab?(aa?bb =zz 2122211211

16、22222222baaab?a?bb? =. 111212222222bb?a?a =又zz2121212222)?bb(a?)(a =211222222222bab?aabb?a? =, 12211122z,zzz,zzz.本结论也可以推广到一般形式：z,zC,则zz=n112121232n z.=zz n12nn=z z=z.,即z的乘方的模等于模的乘方特殊情况：z=z=z时， n12 课本例题(二) 例2（课本P）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 206 生解：原式=(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i.(3+8)+(4-6)

17、i 31 求证：=-+i,设例3 2232 =1.=0；(2)1（）1+ )(这题的教法是找两位同学到黑板上板演 2 (1)证明：1+生u33112 i)+i)+(- +=1+(- 22223331112 i+(i)i+(-+=)-2 22222233131=0. +i+-i- 224243133=(-证明： 生i)+v(2) 22 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 3331112323 +(i+3(-)()+3(-)i)=(-i) 222222331339?i?i?= 8888133339(?(1?)i?)=. 888833-1=0即可.2）小题，也可以这样做，要证 =1,只要证生x对于

18、第（ 32+1)=(-1)0=0,利用第（1）题的结论. 1)(由-1=( 师(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立. （2）复数的混合运算顺序也是先乘方、再乘除、最后加减，有括号要先算括号里面的. (三)精选例题 231997+1997i;计算：(1)i+2i +3i例1 3?4i1?i1997?().(2) i?i14?3(1)解法一：原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i +1996)+1997i=499(2-2i)+1997i=998+999i. 231997+1997i,设S=i+2i+3i 解法二：

19、234199719986i+199.则iS=i+1997i+2i +3i 21998?iii?i219981998219971998+i=1997+i.-1997i-1997i=i-1997i=两式相减，得(1-i)S=i+i - i?1i?1 1997?i(1997?i)(1?i)? =998+999i.S= 2i1?2)i(1?4?3i)?i(1997? (2)解：原式= 4?3i(1?i)(1?i)1997=-2i. =-i+(-i) 解题回顾：要注意复数a+bi(a、bR)与b-ai之间的联系：b-ai=-i(a+bi),题（2）中的第一个公式就利用了这种关系，简化了运算. 432+8

20、z+5,求f(-1+2i)+4z的值+8z. 例2已知f(z)=z 222+2z+5=0,因而可考虑充分利用此式将f(z)=-4,即z分析：当z=-1+2i时，(z+1)=(2i)的次数 降低，使计算简便. 2=-4.(z+1) 解：z=-1+2i, 2+2z+5=0. z 22+2z+5)+10,(*) +2z-1)(z(z)=(z又f f(-1+2i)=10. 22+2z+5的结果，此除以zf本例充分利用了z+2z+5=0的条件，(*)式的得来是(z)解题回顾：题若将z=-1+2i直接代入计算，将会十分繁杂. .课堂练习 补充练习 备课人：焦阳 数系的扩充与复数的引入 |z=sin+i,求 z|的最大值和最小值年上海高考题1.(2003)已知复数z=cos-i,z. 2112 |=|1+sincos+(cos-sin)i|z|z解: 2122?)?(1?sin?cos(cos)sin =22?cossin2? =12?2sin?2. =432的最大值为z最小值为|. 故,|z 21 2120062x+ 的值+x2.若x+. =-1,求1+x x12 +1=0.x=-1可知+x解法一:由x+ x32 =1.xx=或x 原式=0.能被3整除,由知,连续x的三个方幂之和为0,而原式共2007项 2007x?1200720072 x+