高数 无穷小与无穷大

1、2.2.3 无穷小与无穷大 。时的无穷小量或无穷小 是则称函数如果定义 0 )(, 0)(lim: 0 xxxfxf xx ? ? 0lim 0 ? ? ? x x 是无穷小时，称当xx ? ? 0 0 1 lim? ? x x 是无穷小时，称当 x x 1 ? 在自变量的某一趋势过程中函数的极限为零，则 称此函数在此变化过程中为一无穷小量。 穷小量。无穷小是变量，也称无 小的数并非无穷小。是无穷小，但绝对值极0 A. 无穷小（量） ?x? x 时的无穷小。为， 0 )()()()(lim 0 xxxxAxfAxf xx ? ? ? ）证明：必要性（ ? ，0?，0?时，当? ?|0 0 xx

2、 ?|)(|Axf有 ，令Axfx?)()(? ，则有? ? | ) (|x0)(lim? ? x ax ?即 ）充分性（ ? )()(xAxf?即 时的无穷小是由于 0 )(xxx? ；? ? | ) (|x ?|)(|Axf即 Axf xx ? ? )(lim 0 定理5（基本极限定理） Axf xx ? ? )(lim 0 ? 时的无穷小）是（ 0 )()(xxxAxf? 时的无穷小）是（ 0 )()(xxxAxf? ，0?，0? 时，当?|0 0 xx 基本极限定理的意义基本极限定理的意义 ).(,)( )(2 0 xAxf xxf ?误差为达式 附近的近似表在）给出了函数（ ? （无

3、穷小）； 为特殊极限问题）将一般极限问题转化（1 x x 1 lim 0? 考虑 0 x y x xf 1 )(? ? 定义 ? ? ? ? )(lim )(,| )(| |000 )( 0 0 0 0 xf xxxfMxf xxM xxf xx 记为 时的无穷大（量）为则称函数 时，必有，使得当，都存在 ，如果对任意的某去心邻域内有定义在设函数 ? 。时，当，MxfXxXM?| )(|00 （正无穷大）；，则若?)()(xfMxf ? ? )(limxf x 试一试 （负无穷大）。，则若?)()(xfMxf B. 无穷大（量） 注意： （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ; （3）无穷大

4、是一种特殊的无界变量 ,但是无 界变量未必是无穷大 . .)(lim2 0 认为极限存在）切勿将（? ? xf xx MxfxMxf?| )(|, 0)( 00 使无界： xx y 1 sin 1 ? ., 1 sin 1 ,0, 但不是无穷大是一个无界变量 时当例如 xx yx? ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 2 1 )1(? ? ? ?k k x k 取 , 2 2)( ? ?kxy k .)(,Mxyk k ?充分大时当 ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 1 )2(? ? ? ? ? k k xk取 ,? ?k xk 充分大时当 ? ? ? ? ? ? kkxy k 2s

5、in2)(但.0M?不是无穷大 无界. 1 x 1 1 )( ? ? x xf y 0 。证明例? ? ? 1 1 lim 1 x x ? ? ? ? ? ? ? 1 1 lim | 1 1 |1|0 , 1 0 1 x M x x M M x 即 时，必有使得当 ，取 ? ? 解： MM x M x M 1 , 1 |1| | 1 1 |0 ? ? ? ? ?取只 要 ， 要 使 分析： 定义 。的铅直渐近线 为曲线，则称直线如果)()(limxfyaxxf ax ? ? 。例? ? ? 1 1 lim 1 x x 。的铅直渐近线为曲线直线 1 1 1 ? ? x yx 1 x 1 1 )(

6、 ? ? x xf y 0 x 1?x C. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒 不为零的无穷小的倒数为无穷大 . 证 .)(lim 0 ? ? xf xx 设 , 1 )( 0, 0, 0 0 ? ? ? xf xx 恒有 时使得当 . )( 1 ? xf 即 . )( 1 , 0 为无穷小时当 xf x x ? ? . 0)(, 0)(lim, 0 ? ? xfxf xx 且设反之 , 1 )( 0, 0, 0 0 M xf xxM ? ? 恒有 时使得当 . )( 1 M xf ?从而 . )( 1 , 0 为无穷大时当 xf x x ?

7、? , 0 )(?xf由于 意义 ： 关于无穷大的讨论 ,都可归结为关于无穷小 的讨论. 是无穷大。是有界量，则函数 是无穷大，函数的某趋限过程中，若）在（ )()()( )(1 xgxfxg xfx ? 是无穷大。则 是某一正常数，其中满足函数 是无穷大，数的某趋限过程中，若函）在（ )()( | )(|)( )(2 xgxf MMxgxg xfx ? 其他性质其他性质 若0)(?xf，且Axf x ? ? )(lim， 问：能否保证有0?A的结论？试举例说明 . 解： 不能保证. 例 x xf 1 )(?, 0? ? x 有 0 1 )(? x xf ? ? )(limxf x . 0 1

8、 lim? ? A x x 思考题思考题 一、填空题: 1、 凡无穷小量皆以 _ 为极限. .)( ,_2 的水平渐近线 是函数直线条件下、在 xfy cy ? ? .)0lim( ,)(_)(lim3 0 0 ? ? ? ? ? ? xx xx AxfAxf 其中 、 ._ ,)(,4 是无穷小则 是无穷大若、在同一过程中xf 练习题练习题 0 Cxf x x ? ? ? )(lim ? )( 1 xf .10, 21 ,0: 4 ? ? ? yx x x yx 能使应满足什么条件问是无穷大 函数时当二、根据定义证明 4 4 10| 210 1 0? ? ?yx时，当 M x x M? ? ? 21 ,0分析：要使 ,2 1 2 1 M xx ?只要 2 1