第2章多元函数的微分

1、1 第七章 多元函数微分学 7.1 空间解析几何的基本知识 7.2 二元函数的概念 7.3 二元函数的极限与连续 7.4 二元函数的偏导数与全微分 7.5 二元复合函数的求导法则 7.6 二元函数的极值 7.7 最小二乘法 2 x横轴 y纵轴 z竖轴 ? 定点 O 空间直角坐标系, 三条坐标轴的 点O叫做坐标原点 正方向符合右手规则： 即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指 从正向x轴以 2 ? 角度 转向正向y 轴时, 大 拇指的指向就是z轴 的正向. 1.空间直角坐标系 Oxyz称 坐标系 7.1 空间解析几何的基本知识 3 x y z O 空间直角坐标系共有 八个卦限 面xOy 面yO

2、z 面zOx 4 过此点向三条坐标轴分别作 设空间中任意点 ,M 垂直的平面， ,zyx 交于坐标轴上的点分别记为 ,P,Q,R O x y z R )(z Q )(y P )(x ? M 设 ,P ,Q R在各自所在坐标轴上的坐标分别为 的坐标记为则点M),(zyxM 横坐标 纵坐标 竖坐标 ),(zyx 空间的点 有序数组 ),(zyx? ? 11 5 特殊点的表示: )0 , 0 , 0(O 坐标轴上的点： ,P,Q,R 坐标面上的点： ,A,B,C O x y z B), 0(zyR), 0 , 0(z A)0 ,(yx Q )0 , 0(y P)0 , 0 ,(x ? ),(zyxM

3、 注意：坐标面和坐标轴上的点的特征 6 ? P ? 21 ?MMd ? 2 1P M 、设),( 1111 zyxM),( 2222 zyxM为空间两点. ? 2 PN 2 2 NM? 2 d 在直角三角形 21 NMM?和 PNM 1 ? 中, 用勾股定理 , 121 xxPM?, 12 yyPN? 122 zzNM? 2.空间两点间点的距离 2 2 22 1 NMPNPMd? x y z O 2 M ? ? 1 M ? R Q ? N ? d 7 若两点分别为 ,),(zyxM )0 , 0 , 0(O OM d ? 222 zyx? 特殊地 ? 2 12 2 12 2 1221 zzyy

4、xxMM? 空间两点间距离公式 空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间 是平面两点间距离公式 距离公式有类似的表达形式， 的推广. 8 解 设P点坐标为 )0 , 0 ,(x ? 1 PP 222 3)2(?x11 2 ?x ? 2 PP 222 1)1(?x2 2 ?x ? 1 PP? 2 2PP 11 2 ?x22 2 ?x 1?x 所求点为 ),0 , 0 , 1( )0 , 0 , 1 (? 例 )3 , 2 , 0 (, 1 PxP它到点轴上在设的距离为到 )1, 1 , 0( 2 ?P点的距离的两倍, 求点P的坐标. 9 解 设满足条件的点为 ),(zyxM ? 1 MM 22

5、2 )1()1()1(?zyx ? 2 MM 222 )1()1()2(?zyx ? 1 MM? 2 MM03442?zyx易得 例 求到两定点 )1, 1 , 2()1 , 1, 1( 21 ?MM与 的点的轨迹方程. 距离相等 此即为所求点的轨迹方程 . 平面方程 三元一次方程 10 0?DCzByAx 平面的一般方程 任意一个形如上式 的x、y、z的三元一次 方程都是平面方程 . x轴上截距y轴上截距z轴上截距 1? c z b y a x 平面的截距式方程 11 解 RMM ? | | 0 ? 2 0 2 0 2 0 )()()(zzyyxx 22 0 2 0 2 0 )()()(Rz

6、zyyxx? 所求方程为 .),( 0000 的点的轨迹方程距离为求与点RzyxM .球面方程 例 ),(zyxM设是所求轨迹上任一点 , R 12 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 . 曲面方程的定义 (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程 ; (2) 不在曲面S上的点的坐标都 不满足方程; 如果曲面S 0),(?zyxF有下述关系: 那么, 0),(?zyxF方程就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形 . 与三元方程 x y z O S 3.曲面与方程 0 ) , , ( ? z y x F 13 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 这条定曲线C 称为柱面的 动直线L称为柱面

7、的 准线, 母线. 所形成的曲面称为 移动的直线L 柱面. L C 准线 母 线 4.几种特殊的曲面 1）柱面 15 例 讨论方程 的图形. 222 Ryx? 在xOy面上, 222 Ryx? 解 表一个圆C. 在空间, 222 Ryx?就是圆柱面方程. x y z O ? 1 M ?M ? ? ? ? ? 该方程的图形是以 xOy面上圆为准线, 母线平行于z轴的柱面. L 截痕法: 用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为 圆！ 16 2222 4xyz? 2222 42 .xy? 截痕法 去截一个曲面， 用平面 这个平面叫截平面， 所得曲线叫截曲线. xOy 即 坐标面， 截痕只有一个点.

8、截痕法是研究空间曲面的一种常用方法 . 从几何背景上看， c z ? 截痕为该平面上的一条曲线， 分析不同截平面所得的截曲线 可知曲面的性状. 例 用截痕法研究曲面 截平面为 截曲线为大圆； 截平面为 截曲线为圆 , 2?z 截平面为 , 44?zz或 , 0 ?z 17 其大小随平面位置的 变化而变化. 与各坐标面平行的截平面 椭圆. 所得的截痕均为 z x y O 2）二次曲面 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x )0, 0, 0(?cba x y z O 椭球面 18 单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x 特点是: 平方项有一个取负号 ,

9、另两个取正号. O x y z x y z O 椭圆 双曲线 19 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x 或 特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号. 它分成上、下两个曲面 . 注 x y z O 双叶双曲面双叶双曲面 椭圆 抛物线 双曲线 20 z x y o x y z o z b y a x ? 2 2 2 2 z b y a x ? 2 2 2 2 椭圆抛物面椭圆抛物面 椭圆 抛物线 21 z b y a x ? 2 2 2 2 截痕 双曲抛物面（马鞍面） x y z o 双曲线 抛物线 24 邻域 设P 0

10、(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 )()(),( ),( 2 0 2 00 ?yyxxyxPU , 0 邻域的点?P 令 , 0? ).( 0 PU有时简记为 称之为 将邻域去掉中心, 注 称之为称之为 去心邻域. ),( 0 ?PU ? 二元函数的定义域： 25 曲线称为边界线， 区域 不包含边界线的区域称为 开区域. 整个xOy平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的 一部分平面， 称为一个平面区域， 围成这个区域的 包含 边界线的区域称为 闭区域， O x y O x y 有界开区域 有界闭区域 26 例例 把下面图中的阴影所示的区域表示出来把

11、下面图中的阴影所示的区域表示出来 . . o R -R y x O x y 0? ? y x 0),( ?yxyxD 0? ? y x ),( 222 RyxyxD? 222 Ryx? 有界闭区域 无界开区域 27 例 求下面函数的定义域 解解 O x y 无界闭区域 xy z ? . 1 和 ? ? ? ? ? 0 0 y x ? ? ? ? ? 0 0 y x 即定义域为 , 0?xy 28 ? 1 解 O x y 1 2 . 2 22 22 ? ? ? yx yxx z 1)1( 22 ?yx定义域是 1 22 ? ? y x且 有界半开半闭区域 29 2. 二元函数的表示法： ),(y

12、xf z? D M? x y P 通常为曲面 图像法、表格法、解析式法 二元函数的图像 x y z O 30 ( ,)sinf x yxy? 22 22zxy? ? -1 0 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -5 0 5 -2 -1 0 1 2 例例 用数学软件Mathematica作出的二元函数 和 的图像. ( ,)sinf x yxy? 22 22zxy? ? Plot3DSin x y , x , 1,1 , y , 1,1Plot3D 2 x2 2 y2, x , 2,2, y , 2, 2 31 设二元函数 的常数A ， ),(yxf z

13、? 7.3 二元函数的极限与连续 定义1 1 在点 ),( 00 yx的空心 邻域内有定义， 如果点 ),(yx 以任何方式趋于 ),( 00 yx 时， ),(yxf 对应的函数值 都趋于一个确定 记作 Ayxf yxyx ? ? ),(lim ),(),( 00 ),(yxfzA?为则称 的极限. 时当),(),( 00 yxyx? (x, y)趋向于 (x0, y 0)的 路径也是多种多样的 . 注 方向有任意多个, ),(lim 0 0 yxf yy xx ? ? 32 相同点 二元函数的极限与一元函数的极限的 一元函数在某点的极限存在的充要 定义相同. 差异为 必需是点P在定义域内以

14、任何方式和途径趋 而二元函数 于P 0时, 相同点和差异是什么 条件是左右极限都存在且相等 ; 函数都有极限, 且相等. 33 设函数 讨论 当P(x, y)沿x轴的方向 当P(x, y)沿y轴的方向 )0 ,(lim 0 xf x? ), 0(lim 0 yf y? 也有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 解： 22 0 0 0 lim ? ? ? ? x x x 00lim 0 ? ?x 22 0 0 0 lim y y y ? ? ? ? 00lim 0 ? ?y 函数的极限是否存在 . ,00 ）点处，在（

15、无限接近点(0,0)时, 同样, 无限接近点(0,0)时, 例 34 函数的极限存在且相等 . 当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向 22 0 0 lim yx xy y x ? ? ? 222 2 0 lim xkx kx kxy x ? ? ? ? 2 1k k ? ? 其值随k的不同而变化. 所以,极限不存在 说明函数取上面两个 无限接近 于点(0,0)时, 事实上, 无限接近点(0,0)时, 特殊方向特殊方向 能否做结论极限存在极限存在 35 设二元函数 则称函数 定义2 2 ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx ? ? 如果 连续. ),()

16、,( 000 yxPyxf在点 如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的 每一点连续, 则称函数 在D内连续, ),(yxf 或称函数 ),(yxf是 D内的连续函数. ),(yxf z ? 二元函数的连续性 36 称为多元初等函数 , 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的 . 同一元函数一样, 二元连续函数的和、差、 每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合 , 由一个式子表达的函数 连续的. 在其定义区域内亦是 37 22 ( , ) xy f x y xy ? ? ( , )( 1,3) lim( , ) x y f x y

17、? ( , )(0,0)x y ? ( , )( 1,3) lim( , )( 1,3)0.3 x y f x yf ? ? ? 讨论二元函数 是否连续，并求 这个函数是二元初等函数， 的区域有定义， . 因此连续. 例例 解： 在 所以 38 有界闭区域 上连续的二元函数的性质 一定有最大值和最小值 介于这两个值之间的任何值 (1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理 在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上 在有界闭区域D上的二元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值 , 则它可以在D上取得 二元函数的极限、连续的定义及相关性质都 可以推广到多元函数上去 . 注 39 1、偏导数定

18、义 ),(yxf z ? 设函数 , 0 yy固定为将 ?),( 00 yxf x 处在点),(),( 00 yxyxf z ? 的某邻域在点),( 00 yx 有定义， ,),( 0 的一元函数是这时xyxf z ? 若此函数 则称这个导数为函数 x yxfyxxf x ? ? ? ),(),( lim 0000 0 记为 对x的偏导数, 7.4 二元函数的偏导数与全微分 , 0的导数存在 在x , 0 0 yy xx x z ? ? ? ? , 0 0 yy xx x f ? ? ? ? , 0 0 yy xx x z ? ? 或 ).,( 00 yxf x 即 40 同理, 可定义函数

19、处在点),(),( 00 yxyxf z ? 即 ?),( 00 yxf y y yxfyyxf y ? ? ? ),(),( lim 0000 0 记为 , 0 0 yy xx y z ? ? ? ? , 0 0 yy xx y f ? ? ? ? , 0 0 yy xx y z ? ?或 ).,( 00 yxf y 对y的偏导数, )( 0 xx固定为将 41 那么这个偏导数 仍是 yx、的二元函数, 它就称为函数 如果函数 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数), 记作 , x z ? ? , x f ? ? x z或 ).,(yxf x 同理, 可定义函数 ),(yxf z ? 对自变量

20、y的 偏导函数, 记作 , y z ? ? , y f ? ? y z 或 ).,(yxf y 在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在, ) , ( y x f z ? ) , ( y x f z ? 42 偏导数的概念可以 推广到二元以上函数 . 求多元函数的偏导数 利用一元函数 ),(yxf x 如求只需将y 的求导法对x求导即可. 看作常量, 并不需要新的方法 , 43 例 求 的偏导数. )0(?xxz y 解 , 1? ? ? ? y yx x z xx y z y ln? ? ? 例 求 在点(1,0)处的两个偏导数. yyxzsin 2 ? 解 ,2xy x z ?

21、? ? ,cos 2 yx y z ? ? ? , 0 )0 ,1( ? ? ? x z . 2 )0, 1( ? ? ? y z 44 证 ? V RT p; 2 V RT V p ? ? ? ? p RT V; p R T V ? ? ? ? R pV T; R V p T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p T T V V p 2 V RT ? p R ? R V ? . 1? pV RT ? 1:? ? ? ? ? ? ? ? ? p T T V V p 求证 ,为常数为温度为体积为压强RTVp 例 其中 程 已知理想气体的状态方 , RT pV ? 45 2、偏导数的

22、几何意义 ),(yxf z ? 设二元函数 ),(,( 00000 yxfyxM设曲面上点 在点 ),( 000 yxM有 如图, 偏导数. 0 M ),(yxf z ? y x z O 过点 0 M作平面 , 0 y y? 此平面 与曲面相交得一曲线 , 曲线的 方程为 ? ? ?),(yxf z ? . 0 y y? ),( 0 yxf z ? 由于 ?),( 00 yxf x 为一元函数的导数， ),( 0 yxf ?, 0 x x? 0 x 0 y 易知: 46 0 x y T x T 0 y ),(yxf z ? y x z O ),( 0 yxf z ? 0 M 偏导数 ),( 0

23、0 yxf x 在几何上表示 曲线 处在点 0 M 的切线对 x轴的斜率. ? ? ?),(yxf z ? 0 y y? ),( 0 yxf z ? 二元函数 ),(yxf z ? 00 (,) x fx y 00 (,) y fx y 偏导数 是在曲面上点 处，彼此正交（沿X轴和Y轴方向）的两个切痕上，两条 00 (,)x y 切线的斜率. 同理知 的几何意义. ),( 00 yxf y 简单地说， 47 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ).0 , 0(),(0 ),0 , 0(),( ),( 22 yx yx yx xy yxf 当 当 解 例 .00 ）的两个偏导数存在，在点（ 按定

24、义得 证明函数 ?)0 , 0( x f 0 0 lim 0 ? ? ? x x ?)0 , 0( y f0 0 lim 0 ? ? ? y y ? ? ? ? x fxf x )0 , 0()0 ,0( lim 0 ? ? ? ? y fyf y )0 , 0()0 , 0( lim 0 二元函数在一点的两个偏导数存在，不能保证函数在该点 连续. . 48 偏微分. 处的在点),(yx是函数 3、全微分、全微分 设函数 的两个偏导数都是连续的 , ,dx x z ? ? 称 dy y z ? ? 是函数关于 的yx, 称 y y z x x z dd ? ? ? ? ? 全微分. 记作 ,d

25、dfz或即 全微分的意义与一元函数的微分相近， .dddy y z x x z z ? ? ? ? ? ? 它是函数增量 ),(),(yxfyyxxfz?的近似值， )()( 22 yxodzz? ) , ( y x f z ? 49 解 ,2 xy yex x z ? ? ? , xy xe y z ? ? ? y y z x x z z y x y x ddd 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 计算函数 xy exz? 2 在点 )2 , 1(的全微分. 所以 .d)d1 (2 22 yexe? 如果函数在某点的全微分存在 , 则称在这点 可微. 可微 由定义知，

26、 偏导数连续 50 ? ? ? ? ? ? ? ? x z ),(yxf yy ? ),(yxf xy ? ),(yxf yx ? 函数),(yxf z ? 的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 定义 x? ? 2 2 x z ? ? ?),(yxf xx ? 2 2 y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y z y? ? yx z ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? x z y? ? xy z ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? y z x? ? 4、高阶偏导数 高阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为 51 例 xyyxz? 23 求 的四个二阶偏导数 .

27、解 ? ? ? x z ,3 22 yyx? ,2 3 xyx? ? ? ? 2 2 x z ,6 2 xy ? ? ? 2 2 y z ,2 3 x? ? ? xy z 2 . 1 6 2 ?yx ? ? ? yx z 2 ; 16 2 ?yx ? ? ? y z 52 多元函数的高阶混合偏导数如果连 一般地, 续就与求导次序无关. 如果函数 的两个二阶混合偏 ),(yxf yx 与),(yxf xy 在区域D内 定理 连续， 那么在 导数 该区域内 两个混合二阶偏导数 与求导变量的次序有关 . ).,(yxf yx ?),(yxf xy 相等与否的判断有下述的定理 : ) , ( y x

28、f z ? 53 ? 22 lnyxz , 22 yx x x z ? ? ? ? . 0 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? y z x z 例 验证函数 满足方程: 22 lnyxz? 证 因 ? ? ? ? ? ? 222 22 2 2 )( 2)( yx xxyx x z , )( 222 22 yx xy ? ? 由x, y在函数表达式中的对称性 , ),ln( 2 1 22 yx ? 立即可写出 , 22 yx y y z ? ? ? ? , )( 222 22 2 2 yx yx y z ? ? ? ? ? 即证. 54 7.5 二元复合函数的求导法则二元复合函数的求导法则

29、),(),(),(yxvyxuvufz? ).,(),( yxyxfz?复合函数为 , x v v z x u u z x z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ),(),(),(yxyxvyxu都在点及如果? ,的偏导数和具有对yx在对且函数),(vuf z ? ),(vu应点则复合函数则复合函数 ),(),( yxyxfz? 的两个在对应点),(yx 偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量 具有连续偏导数, 1. 的情形. , y v v z y u u z y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 55 u v x z

30、 y ? ? ? x z ? ? ? u z x u ? ? ? ? ? ? v z x v ? ? ? ? ? y z ? ? ? u z y u ? ? ? ? ? ? v z y v ? ? 变量树图 u v ) , ( ), , ( y x y x f z ? ? ? 56 解 ? ? ? x z ? ? ? u z x u ? ? ? ? ? ? v z x v ? ? 1cossin?veyve uu ).cos()sin(yxyxye xy ? ? ? ? y z ? ? ? u z y u ? ? ? ? ? ? v z y v ? ? 1cossin?vexve uu ).c

31、os()sin(yxyxxe xy ? 例 ,sinyxvxyuvez u ?设. y z x z ? ? ? ? 和求 57 2. 中间变量为 一元函数 )(),(),(tvtuvufz?的情形. 定理 ,)()(可导都在点及如果函数ttvtu? ),(),(vuvufz在对应点函数 ? ,)(),(可导在对应点则复合函数tttfz? 且 其导数可用下列公式计算 : ? t z d d 具有连续偏导数, ? ? ? t u u z d d . d d t v v z ? ? 导数 t z d d 称为 全导数. . 58 复合函数的中间变量多于两个 的情况. 定理推广定理推广 ? t z d

32、 d u v w t z 变量树图 三个中间变量 ),(wvuf z ? 如 )(),(),(twwtvvtuu? u z ? ? v z ? ? ? t u d d ? w z ? ? ? t v d d ? t w d d ? 59 例 设 求 x y d d 这是幂指函数的导数 , 但用全导数公式较简便. 法二 ? x y d d y u v x ,)(cos sin x x y ? 解 法一 ,cos x u ? 令 )(cosln)sin( 1 xuuxvu vv ? ? tancosln)(cos 2sin1 xxx x ? ? v u y? 则 可用取对数求导法计算. ,sin

33、x v ? ? ? ? x u u y d d x v v y d d ? ? 60 例 设 ., y z x z ? ? ? ? 求 变量树图 z r s x y x s s f x r r f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或记 s f yr f y ? ? ? ? ? ? 1 ),( y x xyf z ? 解 ),(srf 对抽象函数在求偏导数时 , 设中间变量. sr ? ? ? x z 21 1 f y f y? 同理 ? ? ? y z 2 2 1 f y x fx? , 1 f r f ? ? ? ? 2 f s f ? ? ? ? 61 ,),(),(均连续可微设gfx

34、yxgvxyxfu? x v x u ? ? ? ? ? 求 )1()(ygfyf x v x u xyx ? ? ? ? ? ? 答案： 62 3、二元隐函数求导法 设方程 ),(xf y ? 0),(?yxF 隐函数的求导公式 确定函数 恒等式 两边关于x求导, 由全导数公式,得 ),(yxF x ),(yxF y ? x y d d ?0? ),(xF)(xf0 ? 将其代入得 时，当0),(?yxF y ),( ),( d d yxF yxF x y y x ? 或简写: . d d y x F F x y ? 63 例 设 ., 0 dx dy eexy yx 求求? 记 ,),(

35、yx eexyyxF? x x eyyxF?),( y y exyxF?),( y x F F x y ? d d . y x ex ey ? ? ? 时当0? y F 则 解 64 解 令 则 ,arctanln),( 22 x y yxyxF? ,),( 22 yx yx yxF x ? ? ?,),( 22 yx xy yxF y ? ? ? y x F F x y ? d d . xy yx ? ? ? 例 . d d ,arctanln 22 x y x y yx求已知? 时当0? y F 65 1.极大值和极小值的定义 定义 为函数的极大值点. 类似可定义极小值点和极小值 . 若对

36、于该邻域内一切异于 ),(),( 00 yxfyxf? 为极大值. 则称 ),( 00 yxf 7.6 二元函数的极值 设函数 内的某邻域在点),( 00 yx 有定义， 的点),( 00 yx ),(yx有 ),( 00 yx点 ) , ( y x f z ? 66 注 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 二元函数的极值也是 局部的, 一般来说:极大值未必是函数的最大值 . 极小值未必是函数的最小值 . 有时, 极值. 极值点. 的邻域内的值比较 . 是与点(x0 ，y0) 极小值可能比极大值还大 . 67 x y z O x y z O 例 22 43y

37、xz? 例 22 yxz? 例 xy z ? 在(0,0)点取极小值. 在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 在(0,0)点无极值. 椭圆抛物面 下半个圆锥面 马鞍面 函数 函数 (也是最小值). 函数 ? ? x y z O ? 68 2. .极值的必要条件极值的必要条件 定理7.1 (必要条件) ) ),(),( 00 yxyxfz在点设函数 ? 具有处且在点),( 00 yx则它在该 点的偏导数必然为零 : , 0 ),( 00 ?yxf x . 0 ),( 00 ?yxf y ,偏导数,有极值 均称为函数的 驻点 极值点 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 驻点.

38、如, 的是函数点xy z? )0 , 0(驻点, 但不是极值点. 注 如何判定一个驻点是否为极值点 69 3. .极值的充分条件极值的充分条件 定理7.2 (充分条件) ),(),( 00 yxyxfz在点设函数 ? 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数 , , 0 ),( 00 ?yxf x 又, 0),( 00 ?yxf y ,),( 00 Ayxf xx ?令 ,),( 00 Cyxf yy ?,),( 00 Byxf xy ? ),(),( 00 yxyxf在点则 处是否取得极值的条件如下 : (1) 时0 2 ? ? B AC有极值, 时当0?A有极大值, 时当0?A有极小值;

39、(2) 时0 2 ? ? B AC没有极值; (3) 时0 2 ? ? B AC可能有极值, 也可能无极值. 70 求函数 极值的一般步骤: ),(yxf z? 第一步 解方程组 ? ? ? ? ? 0),( 0),( yxf yxf y x 求出实数解, 得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx 求出二阶偏导数的值 .CBA、 第三步 定出 2 BAC ?的符号, 再判定是否是极值 . 71 22 ( , )f x yxy? ? ( , )20 ( , )20, x y f x yx fx yy ? ? ? ? ? (0,0) ( , )2 ,( , )0 ,( , )2 xxxyyy fx yfx yfx y? ? (0,0) 2 40ACB? ?(0,0) 例例 讨论双曲抛物面 解：解： 再求出二阶偏导数 在点 处， ，所以函数在 处不存在极值. 有无极值点. 解方程组 是驻点，是驻点， 72 例 解 又 在点(0,0)处, 在点(a,a)处, )0(3),( 33 ?ayxaxyyxf求函数 ? ? ? ? ? ? ? 033 033 2 2 yaxf xayf y x ?).,(),0 , 0(aa驻点 ? xx f? xy f? yy f 22 9aBAC? 故 ),(yxf 22 27aBAC?aA6?