格点与面积习题讲解

1、格点与面积习题讲解1如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。任意格点

2、多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数2-1所以

3、格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数2-1。皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。【解析】：图是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图的面积为：4+102-1=8；图是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图的面积为：2+82-1=5；图是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图的面积为：4+62-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。图是个六边形，周界上有8

4、个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图的面积为：9+82-1=12。这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。【解析】：这个礼盒平面图是由3个独立的格点多边形组成的。左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+42-1=5；右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+62-1=4；下面长方形长为6、宽为3，可以直接用长方形面积公式算出面积：63=18；所以上图总面积为：5+4+18=27。你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？【解析】：这里所说的图形既包括凸多边形，也包括凹多边形。图中有8个三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,

5、EBD,EBC,DBC；有3个四边形：ADBC,ABDC,ABCD。可以用皮克公式算出每个图形的面积，例如四边形ADBC的面积为：21+82-1=24。其它图形的面积：（略）。同学们，既然我们要讨论的是格点与面积，那么我们首先得知道什么是格点.在纸平面上，先画一系列的水平直线和一系列的竖(垂)直直线，使得任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位，这样就在纸平面上建立了一个方格网.方格网中的每个交点就叫一个格点.如图141就是一个方格网.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点，那么此多边形叫格点多边形(如图141中的多边形ABCD

6、E)格点网中的一个封闭图形所含的格点数与图形的面积之间有许多我们还不知道的奇妙的联系.计算格点网中的图形所含的格点数与面积是一个十分有趣的课题.而且有时还能够通过这种计算去解决许多的实际问题.但是要一般地研究这一问题需要较多的知识RE_0104_0且非常困难.本节我们只研究格点多边形面积的计算及格点多边形中所含格点数与其面积的关系.图142是一个方格网.网中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个.试利用方格网计算它们的面积.分析 要计算图中四个图形的面积，只需要分别数出它们各自占多少个小格就可以了.解（1）因为图142中长方形含有24= 8个小方格，故它的面积为8.（2）由（1）的求解易知，

7、水平放置的整点长方形所占的方格全是整格，故容易数得.现图中的三角形所占的不全是整格，给计算带来了困难.这时我们易产生一个想法：能否把此三角形转化成一个或几个平置的长方形再去计算呢？通过观察试验，可用两种方法实现这一转化：方法1 由中间把三角形分成两层.对上一层把1割下来正好补到2的位置上；对下层把3割下来补到4的位置上，这样就得到了一个正方形和一个平置的长方形.它们共占4格，故原三角形面积为4.方法2 按图中虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，易见长方形的面积正好是三角形的2倍.因此三角形的面积为82=4.以上我们利用割、补和扩展两种方法把三角形的面积转化成了平置的长方形去求.同样我们可用这

8、两种方法去求图中的平行四边形和梯形的面积.（3）求梯形面积解法1 把原梯形按虚线扩展一个完全相同的梯形即得一个长方形.故面积=（2+4）22=6.解法2 把6割下来，补到5的位置上即得一长方形，其面积为（2+1）2=6.（4）求平行四边形面积同样可用这两种方法（略）.计算图143中三角形的面积.分析 通过求解问题14.1我们已经会求方格网中至少有一边水平放置或竖直放置的简单图形的面积了.然而图143中的三角形在方格网中是斜放着的.同样，自然会想到：能否通过割补或扩展将这一新问题转化成有一边平置（或竖置）的图形呢？通过试画亦易得到两种解法。解法1 沿虚线AB割开就变成了上、下两个三角形，它们都有一边是平置的，故可仿问题14.1解（2）去求（略）.解法2 按图中外圈虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，面积为 45= 20；长方形内有四个三角形：一个是需求面积的三角形，其它三个三角形、均有一边是水平放置的，故由求解问题14.1给出的方法易求得它们的面积分别为4、3、5.故三角形的面积=20-（4+3+5）=8.做到这里，再回头来看一下解决上面两个问题的思路：先把求平置的长方形的面积视为基本的.对求至少有一边平置的简单图形（如三角形、平行四边形、梯