大学数学竞赛5课件

1、上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 1 2.1 导数与微分导数与微分 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 2 例例1 1 设设 解解 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x )100()2)(1(lim 0 xxx x !100 一、用导数定义求导数一、用导数定义求导数 ( )(1)(2)(100),(0).f xx xxx f 求求 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 3 解解 , 2),2( 20),2( 0),2( )( 2 2 2 xxx xxx xxx xf 0,x 当当时时, 0)0()0(

2、 ff; 0)0( f 02,x 当当时时 ;43)( 2 xxxf 20,xx 当当或或时时 ;43)( 2 xxxf 二、分段函数在分段点处的可导性二、分段函数在分段点处的可导性 例例1 设设( )(2) ,( ).f xx x xfx 求求 先去掉绝对值先去掉绝对值 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 4 2,x 当当时时 2 )2()( lim)2( 2 x fxf f x 2 )2( lim 2 2 x xx x . 4 2 )2()( lim)2( 2 x fxf f x 2 )2( lim 2 2 x xx x . 4 ),2()2( ff( )2.f

3、xx 在在处处不不可可导导 , 20 ,43 , 0, 0 0, 2,43 )( 2 2 xxx x xxxx xf 或或 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 5 例例2 设函数设函数 2 ,1 ( ) ,1 xx f x axbx 试确定试确定a、b的值，使的值，使f(x)在点在点x=1处可导。处可导。 解解 可导一定连续，可导一定连续，f(x)在在x=1处也是连续的。处也是连续的。由 由 2 11 (10)lim( )lim1 xx ff xx 11 (10)lim( )lim(). xx ff xaxbab 要使要使f(x)在点在点x=1处连续，必须有处连续，必

4、须有 a+b=1. 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 6 又又 1 ( )(1) (1)lim 1 x f xf f x 2 1 1 lim 1 x x x 1 lim(1)2 x x 1 ( )(1) (1)lim 1 x f xf f x 1 1 lim 1 x axb x 1 (1) lim 1 x a x a x a+b=1. 要使要使f(x)在点在点x=1处可导，必须处可导，必须 (1)(1).ff 即即 a=2. 故当故当a=2, b=- -1时时, f(x)在点在点x=1处可导处可导. 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 7

5、三、运用各种运算法则求导数或微分三、运用各种运算法则求导数或微分 ( ) (ln ), f x yfxe例例1 设设f(x)可微，可微， 求求dy. 解解 ()() (ln )(ln ) f xf x dyfx deedfx ( ) ( )(ln ) f x fx efx dx () 1 (ln ) f x fx edx x ( ) 1 ( ) (ln )(ln ) f x efx fxfx dx x (要求要求非常熟练非常熟练地运用地运用) 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 8 例例2 2 2 2 1111 arctan 1ln,. 24 11 x yxy x 设

6、设求求 解解 2 1,ux设设 111 arctanln, 241 u yu u 则则 ) 1 1 1 1 ( 4 1 )1(2 1 2 uuu yu 4 1 1 u , 2 1 42 xx )1( 2 xux, 1 2 x x . 1)2( 1 23 xxx yx 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 9 例例3 0 2 2 ,. 54 t xtt dy dx ytt t 设设求求 解解分析分析: : 0,tt 当当时时导导数数不不存存在在 0, dx dy t dtdt 当当时时不不存存在在 不能用公式求导不能用公式求导. . tt ttt x y tx 2 4)(

7、5 limlim 2 00 )sgn(2 )sgn(45 lim 0 t tt t . 0 0 0. t dy dx 故故 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 10 cos (sin ),. x yxx y 设设求求例例4 解解)(ln yyy )sinlncos(ln xxxy ) sin cos sinlnsin 1 ()(sin 2 cos x x xx x xx x 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 11 四、求切线方程和法线方程四、求切线方程和法线方程 解解 由已知条件可知由已知条件可知 (0)0,f 2 (arctan) 02

8、(0)1. 1 x x e f x 故所求切线方程为故所求切线方程为 .yx 2 lim( ) n nf n 2 ( )(0) lim2 2n ff n n 2(0)2 f 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 12 解解 曲线的参数方程为曲线的参数方程为 2 (1cos )coscoscos, (1cos )sinsinsin cos . x y 66 dy dy d dx dx d 22 6 coscossin sin2cos sin 1. 因此因此 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 13 故切线方程故切线方程 1333 1 (). 24

9、24 yx 即即 35 30. 44 xy 法线方程法线方程 1333 (), 2424 yx 即即 11 30. 44 xy 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 14 解解 由题设可知由题设可知 (6)(1),ff (6)(1).ff 故切线方程为故切线方程为 (1)(1)(6).yffx 由由f(x)连续性连续性 0 lim(1sin)3(1sin)2(1). x fxfxf 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 15 由所给条件可知由所给条件可知 0 lim(1sin)3(1sin)2(1). x fxfxf 2 (1)0,f (1)0.

10、f 即即 再由条件可知再由条件可知 0 (1sin )3 (1sin ) lim sin x fxfx x 0 8( ) lim()8 sinsin x xx xx 令令 sin,xt 0 (1)3 (1) lim8. t ftft t 可得可得 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 16 0 (1)3 (1) lim8. t ftft t (1)0.f 又又 0 (1)3 (1) lim t ftft t 00 (1)(1)(1)(1) lim3lim () tt ftfftf tt (1)3(1)ff 4(1) f . 8 则则 (1)2. f 所求切线方程为所求切

11、线方程为 02(6),yx 即即 2120.xy 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 17 1、求二阶导数求二阶导数 五、高阶导数五、高阶导数 66 sinc1os.yxx y 例例，求求 2323 (sin)(cos)yxx 4224 sinsincoscosxxxx 222 (sincos)xx 2 3 1sin 2 4 x 3 8 y 2 4 33 ab ()ab 22 ()aabb 53 cos4 88 x cos(4)x 2 1cos2 sin 2 22 3sincosxx 解解 6cos4 . x 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文

12、强 18 例例2 解解 3 3 cos . sin xat yat 求求由由方方程程表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数 dt dx dt dy dx dy )sin(cos3 cossin3 2 2 tta tta ttan )( 2 2 dx dy dx d dx yd )cos( )tan( 3 ta t tta t sincos3 sec 2 2 ta t sin3 sec 4 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 19 d d y x ( )t ft ( )ft , t 2 2 d d y x ( )ft 解解 ( ),xft ( )0,ft 2 2 d

13、. d y x ( )( ).ytftf t 且且 例例3 设设 求求 1 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 20 例例4 4 解解 0 0 2 0 0 0 , , cos , 1 sin, 2 (1); (2). v xv t yv tgt t t 不不计计空空气气的的阻阻力力 以以初初速速度度发发射射角角 发发射射炮炮弹弹 其其运运动动方方程程为为 求求炮炮弹弹在在时时刻刻 的的运运动动方方向向 炮炮弹弹在在时时刻刻 的的速速度度大大小小 x y o v x v y v 0 v 00 (1),tt在在 时时刻刻的的运运动动方方向向即即轨轨迹迹在在 时时刻刻的的切

14、切线线方方向向 .可可由由切切线线的的斜斜率率来来反反映映 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 21 )cos( ) 2 1 sin( 0 2 0 tv gttv dx dy cos sin 0 0 v gtv . cos sin 0 00 0 v gtv dx dy tt 0 (2),tx y炮炮弹弹在在时时刻刻沿沿轴轴方方向向的的分分速速度度为为 00 )cos( 0ttttx tv dt dx v cos 0 v 00 ) 2 1 sin( 2 0tttty gttv dt dy v 00 singtv 0 t在在 时时刻刻炮炮弹弹的的速速度度为为 22 yx

15、vvv 2 0 2 00 2 0 sin2tggtvv 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 22 例例5 5 44 1,(0,1).xxyy y 设设求求在在点点处处的的值值 解解x方方程程两两边边对对 求求导导得得 )1(044 33 yyyxyx 0,1xy 代代入入得得; 4 1 1 0 y x y (1)x将将方方程程两两边边再再对对 求求导导得得 04)(12212 3222 yyyyyxyx 0 1 1 4 x y y 得得0,1,xy 代代入入. 16 1 1 0 y x y 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 23 2. n阶

16、导数阶导数 ,uvn设设函函数数 和和 具具有有 阶阶导导数数 则则 )()()( )()1( nnn vuvu )()( )()2( nn CuCu )()( 0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( ! 2 )1( )()3( kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 24 2 2 ( )(0,0) ,. y x yf xyx xy d y dx 设设函函数数由由方方程程 所所确确定定 求求 例例6 解解两边取对数两边取对数,

17、ln 1 ln 1 x y y x lnln ,yyxx 即即 , 1ln)ln1( xyy, ln1 1ln y x y 2 )ln1( 1 )1(ln)1(ln 1 y y y xy x y 3 22 )1(ln )1(ln)1(ln yxy xxyy 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 25 常用高阶导数公式常用高阶导数公式 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x n x )!1( )1()(ln)5( 1)( ) 2 sin()(sin)2( )( nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxnxxnx ee )( )( 1 )( ! )1() 1 ( n nn x n x 上一页上一页下一页下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 26 2 ( ) 2 41 ,. 1 n x yy x 设设求求 例例1 解解 1 344 1 14 2 2 2 2 x x x x y) 1 1 1 1 ( 2 3 4 xx , )1( !)1( ) 1 1 ( 1 )( n n n x n x , )1( !)1( ) 1 1 (