坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)

1、第 1 页 共 12 页1、在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线 l ：2sin( 4) 2 (0,0 2)(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0 ，)时，求直线l 与圆 O 的公共点的极坐标解： (1)2圆 O： cos sin ，即 cos sin ，故圆 O的直角坐标方程为x2y2x y0，直线 l： sin( )2，即 sin cos 1，42则直线 l 的直角坐标方程为xy 1 0.(2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程，x 2 y2x y0，将两方程联立得解得x y1 0，x 0，即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，y

2、1，将 (0,1)转化为极坐标为(1，2)即为所求2、已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为2，22 2 cos(4)2.(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解： (1)由 2 知 2 4，所以圆 O1 的直角坐标方程为x2 y24.因为 222cos(4)2，2所以 22(cos cos4 sin sin4)2，所以圆 O2 的直角坐标方程为x2 y22x2y2 0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1， 2即 sin(4 ) 2 .3、(2017 全国卷 )在

3、直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| |OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 (2，3)，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值解： (1)设 P 的极坐标为 (，)(0)， M 的极坐标为 (，1 )(1 0)由题设知 |OP| ，|OM | 14 .cos 由|OM| |OP|16，得 C2 的极坐标方程 4cos (0)因此 C2 的直角坐标方程为 (x2)2y24(x0)B ，B，

4、0)(2)设点 B 的极坐标为 ()(由题设知 |OA |2，B 4cos ，于是 OAB 的面积第 2 页 共 12 页1|()|S2|OA| Bsin AOB 4cos sin3 3 2|sin(23) 2 |2 3.当 12时， S 取得最大值 23.所以 OAB 面积的最大值为23.4、(2015 全国卷 )在直角坐标系xOy 中，直线 C 1：x 2，圆 C2： (x 1)2 (y2)21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1 ，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M， N，求 C2MN 的面积

5、解： (1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4代入 22cos 4sin 40，得 2324 0，解得 1 2 2， 22.故 2，即 |MN |2.12由于 C2 的半径为 1，1所以 C2MN 的面积为 2.xacos t，5(2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为(t 为参数， a0)在以坐标原点为极y1asin t点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；0 满足0 ，若曲

6、线1 与2 的公共点都在3 上，求(2)直线 C30，其中 tan2CCCa.的极坐标方程为 解： (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2 (y1)2a2，则 C1 是以 (0,1)为圆心， a 为半径的圆将 xcos ， ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 2 2sin 1 a2 0.(2)曲线 C1 ，C2 的公共点的极坐标满足方程组22sin 1a20，4cos .若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a2 0，由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0，从而 1a2 0，解得 a 1(舍去 )或 a1.当 a1 时

7、，极点也为 C1， C2 的公共点，且在 C3 上所以 a1.6(2018 洛阳模拟 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2(y2)24.以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2sin( )53，射 线 OM ：6与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线6段 PQ 的长第 3 页 共 12 页解： (1)将 x cos ，ysin 代入 x2(y 2)24，得圆 C 的极坐标方程为4sin . 4sin ，(2)设 P(， )，则由116，解得 1 2，16.设 Q(，)，则由222sin

8、(6)53，6 ，22，6.解得 513.2 所以 |PQ|7在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为 cos(3)1，M ，N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点(1)求 C 的直角坐标方程，并求M， N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解： (1)由 cos(133)1 得 (2cos 2 sin )1.13从而 C 的直角坐标方程为 2x2 y1，即 x 3y2.当 0 时， 2，所以 M (2,0)2 323 当 2时，3，所以 N( 3，2).(2)由(1)知 M 点的直角坐标为 (2,0)

9、，N 点的直角坐标为 (0，23 3).(323所以 P 点的直角坐标为1，3 )，则 P 点的极坐标为(3，6)，所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R) 8(2018 福建质检 )在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 的普通方程为 (x2)2 y24，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线 C3： 6(0)，A(2,0)(1)把 C1 的普通方程化为极坐标方程；(2)设 C3 分别交 C1 ，C2 于点 P，Q，求 APQ 的面积解： (1)因为 C1 的普通方程为 (x2)2y24，即 x2 y24x0，2 0，即 4cos.所以 C1 的极

10、坐标方程为 4cos(2)依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为 (1，6)，(2，6).1，将 6代入 4cos，得 232 ，将 6代入 2sin，得 1所以 |PQ| |12|231.依题意，点 A (2,0)到曲线 6(0)的距离d|OA|sin 6 1，第 4 页 共 12 页111所以 S APQ 2|PQ| d2(231)132.9(2018 贵州适应性考试 )在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C1 的极坐标方程为 4cos ，曲线 C 2 的极坐标方程为 cos2sin .(1)求曲线 C2 的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为 (6 4)的射线

11、 l 与曲线 C1，C2 分别相交于 A，B 两点 (A ，B 异于原点 )，求 |OA| |OB|的取值范围解： (1)由曲线 C 2 的极坐标方程为cos2sin ，两边同乘以 ，得 2cos2sin ，故曲线 C2 的直角坐标方程为x2 y.(2)射线 l 的极坐标方程为，6 4，把射线 l 的极坐标方程代入曲线C1 的极坐标方程得 |OA | 4cos ，sin 把射线 l 的极坐标方程代入曲线C2 的极坐标方程得 |OB |cos2，sin |OA| |OB|4cos cos24tan .64，|OA| |OB|的取值范围是 (433，4.(1)过点 M (x0 ，y0)，倾斜角为

12、的直线 l 的参数方程为xx0 tcos ，(t 为参数 )yy0tsin (2)圆心在点 M0 (x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为x x0rcos ，(为参数 )yy0rsin x2y2xacos ，(3)椭圆 a2b21(ab0)的参数方程为ybsin (为参数 )x2y2xa1，cos (为参数 )(4)双曲线 a2b2 1(a0，b0)的参数方程为ybtan x3cos ，(为参数 )，直线 l 的参数方程为10、(2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为ysin xa4t，(t 为参数 )y1t(1)若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标；(2

13、)若 C 上的点到 l 距离的最大值为17，求 a.x2解： (1)曲线 C 的普通方程为 9 y21.当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x4y3 0，x4y 3 0，x21x3，25，由 x2解得或2249 y 1y 0y25.第 5 页 共 12 页21 24从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0)，(25，25).(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点 (3cos ， sin )到 l 的距离为|3cos 4sin a4|d.17当 a4 时， d 的最大值为 a9 . 17由题设得 a917，解得 a8；17当 a 4 时， d 的最大值为a1.17由题设得

14、 a 117，解得 a16.17综上， a8 或 a 16.2结论要记根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长 l |t1t 2|；(2)弦 M 1M2 的中点 ? t1t20；(3)|M0M 1|M 0M2 | |t1t 2|.x3tcos ，11(2018 湖南五市十校联考 )在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，ytsin x1，cos 直线 l 与曲线 C：(为参数 )相交于不同的两点A，B.ytan (1)若 3，求线段AB

15、的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求 |PA| |PB|的值解： (1)由曲线 C：x，cos (为参数 )，可得曲线C 的普通方程是x2y2 1.y tan 1x32t，当 3时，直线 l 的参数方程为3(t 为参数 )，y2 t代入曲线 C 的普通方程，得 t26t160，t1 t2得 t1t 2 6，所以线段 AB 的中点对应的 t23，9 3 3故线段 AB 的中点的直角坐标为 (2， 2 ).(2)将直线 l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos2sin2)t2 6cos t80，8 8 1 tan2 则 |PA| |PB| |t1t

16、 2|cos2 sin2 | 1tan 2 |，40由已知得 tan 2，故 |PA| |PB | 3 .第 6页 共 12页12(2018 石家庄质检 )在平面直角坐标系x5 2cos t，(t 为参数 )，在以原点 OxOy 中，圆 C 的参数方程为y3 2sin t为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 cos(4 ) 2.(1)求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任意一点，求 A，B 两点的极坐标和 PAB 面积的最小值x 52cos t，解： (1)由消去参数t

17、，y32sin t，得 (x5)2(y3)2 2，所以圆 C 的普通方程为 (x5)2 (y3)2 2.由 cos( 4)2，得 cos sin 2，所以直线 l 的直角坐标方程为xy 2 0.(2)直线 l 与 x 轴， y 轴的交点分别为A( 2,0)， B(0,2)，化为极坐标为 A(2， )，B(2，2)，设点 P 的坐标为 (5 2cos t,3 2sin t)，则点 P 到直线 l 的距离为d|5 2cos t3 2sin t2|62cos(t4)|.22所以 dmin 4 2 2，又|AB |22.2所以 PAB 面积的最小值是S122 2 224.13、在平面直角坐标系xOy

18、中，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 P 的极坐标为 (23，6 )，x2cos ，曲线 C 的参数方程为(为参数 )y32sin (1)写出点 P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l ：cos 2sin 10 距离的最小值解： (1)由 x cos ，ysin ，可得点 P 的直角坐标为 (3，3)，x2cos ，由得 x2(y3)24，y32sin ，曲线 C 的直角坐标方程为x2 (y3)2 4.(2)直线 l 的普通方程为 x2y10，x2cos ，曲线 C 的参数方程为(为参数 )，y32si

19、n 设 Q(2cos ， 3 2sin )，3则 M (2cos ，sin )，故点 M 到直线 l 的距离第 7页 共 12 页31| | 5sin55|2cos 2sin2| 5251d12 22552 1(tan 2)，5点 M 到直线 l 的距离的最小值为2 1.x2t，14、 (2017 全国卷 )在直角坐标系xOy中，直线 l1的参数方程为(t 为参数 )，直线 l 2 的参数方程为yktx 2m，m (m 为参数 )设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.y k(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

20、设l 3： (cos sin )20，M 为 l 3 与 C 的交点，求 M的极径解： (1)消去参数 t，得 l1 的普通方程 l 1：yk(x2)，1消去参数 m，得 l2 的普通方程 l 2：yk(x 2)yk x2 ，设 P(x， y)，由题设得1yk x 2 .消去 k 得 x2y24(y 0)所以 C 的普通方程为 x2y2 4(y0)(2)C 的极坐标方程为2(cos2 sin2)4(0 2，)2 cos2 sin2 4，联立cos sin 20得 cos sin 2(cos sin )191故 tan 3，从而 cos210， sin210.222)42代入 (cossin得

21、5，所以交点 M 的极径为 5.xacos t，15(2018 武昌调研 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(t 为参数， a0) 以坐标原点为极点，y2sin tx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 cos(4) 22.(1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当a2 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；(2)若曲线 C 上的所有点均在直线l 的右下方，求 a 的取值范围解： (1)由 cos( 4)22，2得 2 (cos sin )22，2化成直角坐标方程，得2 (x y) 22，即直线 l 的方程为 xy40.依题意，设 P(2cos t,2

22、sin t)，则点 P 到直线 l 的距离d|2cos t2sin t4|22cos(t4)4|22第 8 页 共 12 页222cos(t4 ).当 cos(t4) 1时，dmin 2 22.故点 P 到直线 l 的距离的最小值为22 2.(2)曲线 C 上的所有点均在直线l 的右下方，对 ? t R，有 acos t2sin t40 恒成立，2即a24cos(t )4(其中 tan a)恒成立， a240， 0a0，即 a0，21 4at1t2.2， t1t2第 9 页 共 12 页根据参数方程的几何意义可知|PA| 2|t1|，|PB| 2|t2|，又 |PA|2|PB|可得 2|t1|

23、22|t2 |，即 t12t2 或 t 1 2t2 .t1 t23t2 2，当 t12t2 时，有t2t214a，t1222解得 a1，符合题意36t1 t2 t2 2，当 t1 2t2 时，有14a，t1t2 2t22 29解得 a4，符合题意综上，实数 a361或 a94.3x43cos t，18(2018 贵阳模拟 )在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为(t 为参数 )，以坐标原点O 为极点，y53sin tx 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；(2)若 A，B 分别为曲线C1，C2 上的动

24、点，求当AB 取最小值时AOB 的面积x43cos t，解： (1)由y5 3sin t(t 为参数 )得 C1 的普通方程为(x4)2(y 5)29，由 2sin ，得 2 2sin ，将 x2 y22，y sin 代入上式，得 C2 的直角坐标方程为 x2(y1)21.(2)如图，当 A，B，C1， C2 四点共线，且A，B 在线段 C1C2 上时， |AB|取得最小值，由 (1)得 C1(4,5)，C2(0,1)，51则 kC1C2401，直线 C1C2 的方程为 xy10，1 2点 O 到直线 C1C2 的距离 d 2 2 ，又|AB| |C1C2|1340 2 5 1 24424，1

25、1S AOB 2d|AB| 222 (42 4)22.x3t，19(2018 广州综合测试)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数 )在以坐标原点O 为极y1t点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：22cos(4 ).(1)求直线(2)求曲线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；C 上的点到直线l 的距离的最大值x3t，解： (1)由(t 为参数 )消去t 得 xy40，y1 t第 10页 共12 页所以直线 l 的普通方程为 xy 4 0.由 22cos(4)22 (cos cos4sin sin4)2cos 2sin ，2得 2cos 2sin .222将 xy

26、 ，cos x，sin y 代入上式，得 x2 y22x2y，即 (x 1)2 (y1)2 2.所以曲线 C 的直角坐标方程为 (x1)2 (y1)22.(2)法一：设曲线 C 上的点 P(12cos ， 12sin )，则点 P 到直线 l 的距离 d|1 2cos 1 2sin 4| 2 sin cos 2|2sin(4)2|.222当 sin(4) 1时，dmax 2 2.所以曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.法二：设与直线 l 平行的直线 l： x yb0，当直线 l 与圆 C 相切时， |1 1b|2，2解得 b0 或 b 4(舍去 )，所以直线 l的方程为 xy0.

27、|04|因为直线 l 与直线 l的距离 d2 2.2所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2.xtcos ，20在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：(t 为参数， t0)，其中 0在.以 O 为极点， x 轴正半轴为极y tsin 轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ， C3：2 3cos .(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值解： (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y 0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2 y223x0.x2 y22y0，联立x2 y22 3x 0，3x0

28、，x 2 ，解得或3y0y2.3 3所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0,0)和( 2 ，2).(2)曲线 C1 的极坐标方程为 (R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为 (2sin ，)， B 的极坐标为 (2 3cos ， )所以 |AB| |2sin 2 3cos |4|sin( 3)|.5当 6 时， |AB|取得最大值，最大值为 4.21已知直线 L 的参数方程为x 2t，(t 为参数 )，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲y22t线 C 的极坐标方程为 2.1 3cos2 第 11 页 共 12 页(1)求直线 L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐

29、标方程；(2)过曲线C 上任意一点 P 作与直线 L 夹角为 3的直线 l ，设直线 l 与直线 L 的交点为 A，求|PA|的最大值解： (1)由x2t，2xy 6 0，(t 为参数 )，得 L 的普通方程为y2 2t令 xcos ， ysin ，得直线 L 的极坐标方程为2cos sin 6 0，222由曲线 C 的极坐标方程，知 3cos 4，y2所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 4 1.(2)由(1)，知直线 L 的普通方程为2xy 6 0，设曲线 C 上任意一点 P(cos ， 2sin )，则点 P 到直线 L 的距离 d|2cos 2sin 6|.515| 2sin(由题意得 |PA| d4 4)3|，sin153(4 15 3 2所以当 sin 4 1时， |PA|取得最大值，最大值为15.22(2018 石家