高考数学一轮复习平面向量的概念及线性运算

1、第章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算考纲传真 (教师用书独具 )1.了解向量的实际背景， 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义， 理解向量的几何表示 .2.掌握向量加法、 减法的运算， 理解其几何意义 .3.掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义(对应学生用书第57 页 )基础知识填充 1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模 )(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行

2、向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量法则定义(或几何意义 )运算律运算求两个向量和的运(1)交换律：a b b a；加法算三角形法则(2)结合律：1(ab) c a(b平行四边形法则c)求 a与 b的相反向量减法b 的和的运算叫 b)a ba(做 a 与 b 的差三角形法则(1)|a|a|；求实数 与向量 a(2)当 0 时， a 的方向与 a(a)a；数乘的方向相同；当 |b|，则 ab；， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线；a0(为实数 )，则 必为零；a，b 为非零向量， a b

3、 的充要条件是 |a|b|且 a B其中假命题的序号为 _. 【导学号： 79170124】不正确 |a|b|.但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定是相等或相反向量； ， ， ，可能在同一直线上，所以不一不正确因为 ABDCDABCDA B C定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足a b，但 a 与 b 不一定共线不正确当 1， a 0 时， a 0.不正确对于非零向量a，b，ab 的充要条件是 |a| |b|且 a，b 同向 规律方法 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判

4、定的行之有效的方法.2 (1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量 (平行向量 )和相等向量均与向量的起点无关3若 a 为非零向量，则aa|a|是与 a 同向的单位向量，|a|是与 a 反向的单位向4量变式训练1设0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则a |a|a0；a若 a 与 a0 平行，则 a |a|a0；若 a 与 a0 平行且 |a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3D 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向

5、，二是反向，反向时a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(1)(2018 开封模拟 )设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中)点，则 EBFC (1 ABCB2AD1 CADD2BC(2)(2018 广州模拟 )在梯形 ABCD 中，AD BC，已知 AD 4，BC6，若 CD， ，则 m ()nBCR)mBA(m nn1A3B31C3D3 (1)C(2)AFCECCBFBBC(1) 如图，EB1ECFB2(ACAB)5122ADAD.1(2)如图，过 D 作 DE AB， CD mBA nBCCEED 3BCBA，1m所以 n 3

6、， m1，所以 n 3.故选 A 规律方法 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练 2(1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 )OAOBOC OD等于 (AOMB2OMC3OMD4OM北京模拟 在中，点 若(2)(2018M，N

7、满足AM2MC，BN NCMNxAB)ABC.yAC，则 x_； y_. 【导学号： 79170125】11(1)D(2)26(1) 因为 M 是 AC 和 BD 的中点，由平行四边形法则，得OA OC2OM，OBOD2OM，所以 OAOBOCOD4OM .故选 D6111111(2)由题中条件得， MNMCCN3AC2CB 3AC2(ABAC) 2AB6AC11xAByAC，所以 x2， y 6.共线向量定理的应用设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ABab，BC2a8b， CD 3(a b)，求证： A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 a kb 共线解(1

8、)证明： ABab，BC2a 8b，CD3(a b)，BDBCCDb)2a8b3(a2a 8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD共线，又它们有公共点 B，A，B， D 三点共线(2)kab 和 a kb 共线，存在实数 ，使 ka b(akb)，即 ka b akb， (k)a(k1)Ba，b 是两个不共线的非零向量 ， k k10， k2 1 0， k1.规律方法 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数 ，使 ab，则 a 与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数，使 ABAC，则 A， B， C 三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组 )求参数的值易错警示： 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练 3(1)已知向量 ABa3b，BC5a 3b，CD 3a3b，则 ()7AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线(2)(2015 全国卷 )设向量 a， b 不平行，向量 a