62等差数列及其前n项和

1、要点梳理要点梳理 1.1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母，通常用字母 表示表示. . 2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，那么它的，那么它的 通项公式是通项公式是 . . 6.2 6.2 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和 从第二项起每一项与它相邻前面一项从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数的差是同一个常数 公差公差d d a a

2、n n= =a a1 1+ +（n n-1-1）d d 基础知识基础知识 自主学习自主学习 3.3.等差中项等差中项 如果如果 ，那么，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项. . 4.4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质 （1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n= =a am m+ + ，（，（n n， m mN N* *）. . （2 2）若）若 a an n 为等差数列，且为等差数列，且k k+ +l l= =m m+ +n n，（，（k k，l l，m m， n nN N* *），则），则 . . （3 3）若）若 a an n 是等差数列，公差为是

3、等差数列，公差为d d，则，则 a a2 2n n 也是等也是等 差数列，公差为差数列，公差为 . . （4 4）若）若 a an n ， b bn n 是等差数列，则是等差数列，则 papan n+ +qbqbn n 是是 . . 2 2d d a ak k+ +a al l= =a am m+ +a an n ( (n n- -m m) )d d 等差等差 数列数列 2 ba A （5 5）若）若 a an n 是等差数列，则是等差数列，则a ak k，a ak k+ +m m， a ak k+2 +2m m， ， （k k，m mN N* *）是公差为）是公差为 的等差数列的等差数列.

4、. 5.5.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，其前，其前n n项和项和S Sn n= = 或或S Sn n= = . . 6.6.等差数列的前等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系 S Sn n= = . . 数列数列 a an n 是等差数列的充要条件是其前是等差数列的充要条件是其前n n项和公式项和公式 S Sn n= =f f（n n）是）是n n的的 ，即，即S Sn n= = . . mdmd 2 )( 1n aan d nn na 2 ) 1( 1 n d an d ) 2 ( 2 1 2

5、 AnAn2 2+ +BnBn，（，（A A2 2+ +B B2 200） 二次函数或一次函数且不含常数二次函数或一次函数且不含常数 项项 7.7.在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1 10 0，d d0 0，则，则S Sn n存在最存在最 值；若值；若a a1 10,0,d d0,0,则则S Sn n存在最存在最 值值. . 8.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1 1）若）若 a an n 是等差数列，则是等差数列，则 也成也成 数数列，列， 其首项与其首项与 a an n 首项相同，公差是首项相同，公差是 a an n 公差的

6、公差的 . . （2 2）S Sm m，S S2 2m m，S S3 3m m分别为分别为 a an n 的前的前m m项，前项，前2 2m m项，项， 前前3 3m m项的和，项的和，S Sm m，S S2 2m m- -S Sm m，S S3 3m m-S-S2 2m m成成 数列数列. . 小小 等差等差 n Sn 2 1 等差等差 大大 （3 3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为若项数为2 2n n，则，则S S偶 偶- -S S奇奇= = ， = = . . 若项数为若项数为2 2n n-1-1，则，则S S偶 偶= =（ （n n-1-1

7、）a an n，S S奇 奇= = a an n，S S奇 奇- - S S偶 偶= = ， (4)(4)两个等差数列两个等差数列 a an n 、 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n、T Tn n之间之间 的关系为：的关系为： = = . . ndnd n n a an n 偶 奇 S S . 1 n n S S 偶 奇 1n n a a n n b a 12 12 n n T S 基础自测基础自测 1.1.(2009(2009辽宁辽宁) ) a an n 为等差数列为等差数列, ,且且a a7 7-2-2a a4 4=-1,=-1,a a3 3=0,=0, 则公差则公差d d

8、= = （） A.-2A.-2 B. B. C. C. D.2D.2 解析解析 根据题意得根据题意得a a7 7-2-2a a4 4= =a a1 1+6+6d d-2(-2(a a1 1+3+3d d)=-1,)=-1, a a1 1=1.=1.又又a a3 3= =a a1 1+2+2d d=0,=0,d d= = B 2 1 2 1 . 2 1 A A 3.3.（20092009福建）福建）等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且 S S3 3=6,=6,a a3 3=4,=4,则公差则公差d d等于等于 （） A.1A.1B. B. C.2 C.

9、2D.3D.3 解析解析 设设 a an n 首项为首项为a a1 1, ,公差为公差为d d, , 则则S S3 3=3=3a a1 1+ + d d=3=3a a1 1+3+3d d=6,=6, a a3 3= =a a1 1+2+2d d=4,=4,a a1 1=0,=0,d d=2.=2. C 3 5 2 23 4.4.已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前1313项之和为项之和为3939，则，则a a6 6+ +a a7 7+ +a a8 8 等于 等于（） A.6A.6B.9B.9C.12C.12D.18D.18 解析解析 由由S S13 13= =13 = =13a a

10、7 7=39=39得得a a7 7=3=3， a a6 6+ +a a7 7+ +a a8 8=3=3a a7 7=9.=9. B 2 )(13 131 aa 5.5.设设S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和，若项和，若 则则 等于等于（） A.1A.1B.-1B.-1C.2C.2D.D. 解析解析 由等差数列的性质，由等差数列的性质， A , 9 5 3 5 a a 5 9 S S 2 1 , 9 5 2 2 51 91 3 5 3 5 aa aa a a a a . 1 9 5 5 9 5 9 2 )(5 2 )(9 51 91 51 91 5 9 aa aa

11、 aa aa S S 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 探究提高探究提高 知 能 迁 移知 能 迁 移 1 1 设 两 个 数 列设 两 个 数 列 a a n n , , b b n n 满 足满 足 b b n n = = 若若 b bn n 为等差数列，求证：为等差数列，求证： a an n 也为等差数列也为等差数列. . , 321 32 321 n naaaa n 证明证明 由题意有由题意有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n= = 从而有从而有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+（n n-1-1）a an n-1 -1 = = b

12、 bn n-1 -1，（ ，（n n22） 2 ) 1( nn n b nn 2 ) 1( 由由- -，得，得nanan n= = 整理得整理得a an n= = 其中其中d d为为 b bn n 的公差（的公差（n n22）. . 从而从而a an n+1 +1- -a an n= = （n n22）. . 又又a a1 1= =b b1 1, ,a a2 2= = d d+ +b b1 1,a a2 2- -a a1 1= = d d, , 所以所以 a an n 是等差数列是等差数列. . , 2 ) 1( 2 ) 1( 1 nn b nn b nn , 2 1 nn bbnd 22 )

13、 1( 11 nnnn bbndbbdn d dd 2 3 2 2 2 3 2 3 题型二题型二 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 【例例2 2】在等差数列】在等差数列 a an n 中，中， （1 1）已知）已知a a6 6=10,=10,S S5 5=5=5，求，求a a8 8和和S S8 8； （2 2）已知前）已知前3 3项和为项和为1212，前，前3 3项积为项积为4848，且，且d d0,0, 求求a a1 1. . 解解 （1 1）a a6 6=10,=10,S S5 5=5,=5, 解方程组得解方程组得a a1 1=-5,=-5,d d=3,=3, a a8 8= =a a

14、6 6+2+2d d=10+2=10+23=16,3=16, S S8 8=8=8 =44. =44. a a1 1+5+5d d=10=10 5 5a a1 1+10+10d d=5.=5. 2 )( 81 aa (2)(2)设数列的前三项分别为设数列的前三项分别为a a- -d d, ,a a, ,a a+ +d d, ,依题意有依题意有 ( (a a- -d d)+)+a a+(+(a a+ +d d)=12)=12 ( (a a- -d d)a a(a a+ +d d)=48,)=48, a a=4 =4 a a=4=4 a a( (a a2 2- -d d2 2)=48 )=48 d

15、 d= =2.2. d d0,0,d d=2,=2,a a- -d d=2.=2. 首项为首项为2.2.a a1 1=2.=2. , , 方程思想是解决数列问题的基本思想，方程思想是解决数列问题的基本思想， 通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最 基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的 应用应用. . 探究提高探究提高 知能迁移知能迁移2 2 设设 a an n 是一个公差为是一个公差为d d ( (d d0)0)的等差数的等差数 列，它的前列，它的前1010项和项和S S10 10=110 =110且

16、且a a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比数列成等比数列. . （1 1）证明）证明a a1 1= =d d; ; （2 2）求公差）求公差d d的值和数列的值和数列 a an n 的通项公式的通项公式. . （1 1）证明证明 因为因为a a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比数列，故成等比数列，故 = =a a1 1a a4 4. . 而而 a an n 是等差数列，有是等差数列，有a a2 2= =a a1 1+ +d d, ,a a4 4= =a a1 1+3+3d d. . 于是于是( (a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1

17、1+3+3d d),), 即即 +2+2a a1 1d d+ +d d2 2= +3= +3a a1 1d d. .化简得化简得a a1 1= =d d. . （2 2）解解 因为因为S S10 10=110 =110，S S10 10=10 =10a a1 1+ + d d， 所以所以1010a a1 1+45+45d d=110.=110. 由（由（1 1）a a1 1= =d d, ,代入上式得代入上式得5555d d=110,=110, 故故d d=2,=2,a an n= =a a1 1+(+(n n-1)-1)d d=2=2n n. . 因此，数列因此，数列 a an n 的通项公

18、式为的通项公式为a an n=2=2n n, ,n n=1,2,3,.=1,2,3,. 2 2 a 2 1 a 2 910 2 1 a 题型三题型三 等差数列的性质及综合应用等差数列的性质及综合应用 【例例3 3】 （1212分）在等差数列分）在等差数列 a an n 中，已知中，已知a a1 1=20,=20,前前 n n项和为项和为S Sn n，且，且S S10 10= =S S1515，求当 ，求当n n取何值时，取何值时，S Sn n取得最取得最 大值，并求出它的最大值大值，并求出它的最大值. . （1 1）由）由a a1 1=20=20及及S S10 10= =S S1515可求得

19、可求得d d, ,进而求进而求 得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利 用用S Sn n是关于是关于n n的二次函数，利用二次函数求最值的的二次函数，利用二次函数求最值的 方法求解方法求解. .（2 2）利用等差数列的性质，判断出数）利用等差数列的性质，判断出数 列从第几项开始变号列从第几项开始变号. . 思维启迪思维启迪 解解 方法一方法一 a a1 1=20=20，S S10 10= =S S1515， ， 101020+ 20+ d d=15=1520+ 20+ d d， d d= 4= 4分分 a an n=20+=20+（n n-1-1）

20、 8 8分分 a a13 13=0. =0. 即当即当n n1212时，时，a an n0,0,n n1414时，时，a an n0. 100. 10分分 当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n取得最大值，且最大值为取得最大值，且最大值为 S S12 12= =S S1313=12 =1220+ =130. 1220+ =130. 12分分 2 910 2 1415 . 3 5 . 3 65 3 5 ) 3 5 (n ) 3 5 ( 2 1112 方法二方法二 同方法一求得同方法一求得d d= = 4 4分分 S Sn n=20=20n n+ + = = = = 8 8分分 n

21、 nN N+ +,当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值， 且最大值为且最大值为S S12 12= =S S1313=130. =130. 12 12分分 方法三方法三 同方法一得同方法一得d d= 4= 4分分 又由又由S S10 10= =S S1515, ,得 得a a11 11+ +a a1212+ +a a1313+ +a a1414+ +a a1515=0. 8 =0. 8分分 55a a13 13=0, =0,即即a a13 13=0. =0. 10 10分分 当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值， 且最大值为

22、且最大值为S S12 12= =S S1313=130. 12 =130. 12分分 . 3 5 ) 3 5 ( 2 ) 1( nn nn 6 125 6 5 2 . 24 1253 ) 2 25 ( 6 5 2 n . 3 5 探究提高探究提高 求等差数列前求等差数列前n n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法： （1 1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2 2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3 3）利用等差数列的前）利用等差数列的前n n项和项和S Sn n= =

23、AnAn2 2+ +BnBn（A A、B B为常数）为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值为二次函数，根据二次函数的性质求最值. . 知能迁移知能迁移3 3 在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a16 16+ +a a1717+ +a a1818= =a a9 9=-36, =-36, 其前其前n n项和为项和为S Sn n. . （1 1）求）求S Sn n的最小值，并求出的最小值，并求出S Sn n取最小值时取最小值时n n的值；的值； （2 2）求）求T Tn n=|=|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a an n|.|. 解解 （1 1）设等差数列）设等

24、差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1, ,公差为公差为d d, , a a16 16+ +a a1717+ +a a1818=3 =3a a17 17=-36, =-36,a a17 17=-12, =-12, d d= =3,= =3, a an n= =a a9 9+(+(n n-9)-9)d d=3=3n n-63,-63,a an n+1 +1=3 =3n n-60,-60, a an n=3=3n n-630-630 a an n+1 +1=3 =3n n-600-600 S S20 20= =S S2121= = 当当n n=20=20或或2121时，时，S Sn n

25、最小且最小值为最小且最小值为-630.-630. 8 24 917 917 aa 令令 , ,得得2020n n21,21, ,630 2 )3(6020 （2 2）由（）由（1 1）知前）知前2020项小于零，第项小于零，第2121项等于项等于0 0，以后，以后 各项均为正数各项均为正数. . 当当n n2121时，时，T Tn n=-=-S Sn n= = 当当n n2121时，时，T Tn n= =S Sn n-2-2S S21 21= = 2 )63360( nn . 2 123 2 3 2 nn 21 2 2 )63360( S nn .2601 2 123 2 3 2 nn 综上，

26、综上，T Tn n= = （n n2121，n nN N* *） （n n21,21,n nN N* *）. . 2601 2 123 2 3 2 123 2 3 2 2 nn nn 方法与技巧方法与技巧 1.1.等差数列的判断方法有等差数列的判断方法有 (1)(1)定义法：定义法：a an n+1 +1- -a an n= =d d ( (d d是常数是常数) ) a an n 是等差数是等差数 列列. . (2) (2)中项公式：中项公式：2 2a an n+1 +1= =a an n+ +a an n+2+2 ( (n nN N* *) ) a an n 是等差是等差 数列数列. . (

27、3) (3)通项公式：通项公式：a an n= =pnpn+ +q q( (p p, ,q q为常数）为常数） a an n 是等差是等差 数列数列. . (4) (4)前前n n项和公式：项和公式：S Sn n= =AnAn2 2+ +BnBn （A A、B B为常数）为常数） a an n 是等差数列是等差数列. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2.2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问 题时可以考虑化归为题时可以考虑化归为a a1 1和和d d等基本量，通过建立方等基本量，通过建立方 程（组）获得解程（组）获得解. . 3.3.等差数列的通项公式本身可以由累加