一种机器人轨迹跟踪控制的迭代学习方法

1、文章编号 2 2 2 一种机器人轨迹跟踪控制的迭代学习方法a 安刚张蕾刘景泰卢桂章 南开大学机器人与信息自动化研究所天津 摘要本文提出了一种新的迭代学习策略并详细报告了在 台实验用机器人上的 实验结果这个方法的特点是对于动力学参数未知的系统 可以通过实验方便地确定 满足收敛条件的学习控制器参数 因此它具有实用价值并有可能将其使用范围推广 到除机器人规迹控制外的其它控制领域 关键词迭代学习轨迹控制机器人算法实验 中图分类号 义文献标识码 A艺OPTOITEPATI ?EAEAPNINAAOPITHMOP TPAXKINrXONTPOAOPOBOTTPA?EXTOPW 2 n 2 IvCTlTUT

2、OPoBoTlXCavSIvOpuaTlOvAuTOyaTlOV ABTpaxT v n x n v n ? x ? v KgOpSc V ? 1 弓丨言 IvTpOUXTlOV 对于一个动力学参数未知的系统 让其沿着一条给定的轨迹反复运行 每次运行 时根据前几次运行所产生的状态或输出偏差 &按照某种策略拟寸上一次的输入量 U进行修正将修正结果U U用做本次的控制输入经过多次这样的学习过程使 输出的偏差逐渐减少到允许的程度 这种迭代学习的概念由日本学者 在年首先提出以后日本的及韩国等人对这种方法进行了多方面的深入探讨 需要大量计算机 内存和要求初始偏差为零是当前各种方法普遍存在的两个问题 本文

3、提出的方法所 需内存要少一些并且在理论上只要初始偏差在每次运行时保持恒定 就可以保证当 学习次数I时 轨迹跟踪偏差 2迭代学习方法A入丫 opiTnu V阶线性时变系统的离散时间模型 E K A K E K B K U K 书K X其中E系统矩阵A K IP 讪输入矩阵B K Ip输出矩阵X K iPn状态矢量E K输入矢量U K输出矢量书K当用于迭代学习控制时 方程表达为 EI K A K EI K B K UI K 屮1 K X表示第（次迭代学习 机器人跟踪给定轨迹是在有限的时间内完成 的定义T KTI为采样周期 又由于学习过程沿着同一条轨迹反复进行我们假 设 Al K Al K A K

4、Bi k Bi k B k Xl K Xl K X K 本文提出的学习策略 Ul & K Hl K r K Hl K 第卷第期年月机器人POBOT? a攵稿日期 其中学习增益r kk n p输出偏差及其微分 Hi kk 屮1 k Hai k aS k ipaik 其中PS为理想输出它对应于理想输入uS并与状态变量ES 一起满足 ES k A k ES k B k uS k pS k X k ES k 至此问题可表达为对于具有未知参数的控制对象 和一条可达到的给定轨迹PS我们希望通过 用控制策略的不断学习过程能够找到一个控制输入u3使相应的状态跟踪偏 差逐点收敛到给定的范围 E以内即+ 3 k

5、+ + ES k E 3k+ E k 这里+ +表示一种矩阵范数 3方法的敛散性Xov ? p YVXpiCCU 定理对于表示的线性时变对象 在的假定及P连续可微的假定下 要使迭代学 习策略在Kl范围内逐点收敛到由初始偏差 和所决定的固定点上 必须且只 需使学习增益r K满足 ?k O I TB K r K X K k N 上式中O表示#的谱半径 证明由 ! 式得到 B K Ul K 1 K A K 1 K B K uS K 其中l , U为第次学习时的状态偏差 由于控制对象是不小于阶的系统及连续可微 的假设用Hai k T Hl K 代H入 l K 然后再用B左乘得到 B K Ul K B

6、K Ul K B K K Hl K B K K T Hl K Hl K 由式得到 r K为采样周期 用 ! ! ! 式代入并整理得到 l A K lK B K K Hl K B K r K Hl K B K K Hl l A KlK 其中 r K B K r K A K B K A K l K P K I B K rx K A B K K x K B K rxK 艺 K IB K rxK T K I B k rx K A K 于是得到 IK P K IK 2KIK T K IK 将上式从 K至U K !展开 P P T I P 艺 T N P N P N , P P P N P N , P P

7、 艺 P N P N P ?NPI IN P IN 翌 IN T IN I 艺 I T I I 艺 N i N 令 M 艺 ,P 艺 T ,P P 艺 T P 艺 T 艺N 第卷第期安刚等一种机器人轨迹跟踪控制的迭代学习方法 n i , P , P P , ,P N P N , P 得到迭代方程 丫1 M&YI nP 1 T 1 其中 丫1 - 1 是下三角块矩阵 因此M其特征值就是它的N个主对角块矩阵 特征值的集合根据矩阵迭代理论迭代方程收敛的充要条件是其迭代矩阵 M的谱 半径小于即 M对于式它等价于 O M ? K N 艺 K K N O I B 证卑X k 当收敛时收敛的固定点根据是 丫

8、3 1 丫1 I M nP 1 T由此得到以下两个有实用意义的推论 推论 1 由知当迭代系统满足且 I 0即初始偏差为零时 迭代学习的最终状态偏差丫 3 I 推论 2 由知当迭代系统满足且 I 时如果学习增益满足 K T r k 则迭代学习的最终状态偏差 Y 3 I 4稳定性分析工Tapi入iTava入cic 由可看出在一次学习过程中总是前面输出的结果立即参加后面的迭代 因此它 属于塞德尔迭代通常可获得较快的收敛速度 但是方程中的 和r不仅是学 习增益同时也是调?节器的参数因此还应该考察当满足收敛条件 时闭环系统的稳 定性为此由方程和导出闭环系统方程 El K 1 T BKrKXKA K BK

9、KXK T BKr?XK ? El K B K Ul K T rkk T rKK KK 将代入得到 El K I T A k Ei T r k k 根据冻结系数法 如果系统矩阵的特征值在任一时 刻都处于复平面的单位圆内 则该系统是稳定的 对 于 这一条件可表达为 ? K N O I T B K r K X K A K 由 O # +#+得到较强的稳定性条件 ? K N +I T B K r K X K A K + ? K N +I T B K r K X K + + A K + 同理比较强的收敛条件可表达为 ? K N +I T B K r K X K + 比较和式可知由 ! 表达的学习控制

10、系统其稳定性条件与其收敛性条件是相容的 如果 控制对象不稳定 即如果+A K +那么通过选 择中的r使其稳定时 收敛条件 也自然 得到了满足 5 实验 EncpicvT 作者在一实验用三关节机器人上对提出的方法 进行了实验研究实验中采用了两种不同轨迹和不 同负载来考察方法的有效性和鲁棒性 学习增益 和r按照上面的讨论根据稳定的要求加以选择并 在整个实验中保持恒定见表采样周期为 实验结果见图 到图及表表其中第 次学 习关节位置误差的最大值定义为 ? I ? K N Hi 机器人年月 K平均关节位置误差V I NEN K Hi图K图示出了关节 在不同实验条件下角度误差的收 敛情况 表 1 实验中采

11、用的学习增益 Tap 1 Acapvtv 丫丫 atvtvnptVT 关节 关节 关节 r 图矩形关节负载 n 图圆形关节i负载 l.?M9 |tS2U 1.Z7M 图矩形关节负载 ? n 实验中采用的矩形轨迹在拐角处速度是不连续 的这造成了关节 和关节的速度在这些点上的不连续 由此产生的影响可从图 上看到各种情况下的实测数据见表和表 表2圆形轨迹 Tap 2 Xipx 入& 关节a ? XTop 关节 关节 表 3 矩形轨迹 Tap 3 艺 BuapwT关节a ? XTop 关节 关节 ? ? ? V V V 6 结论 Xovx 入 uciovc 所需存储空 本文提出了一种迭代学习控制策略并进行了理论分析和实验研究 间较小和学习增益选择比较方便