九级数学下册 第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.4 三角形的内切圆课件（新版）湘教版

1、2.5 直线与圆的位置关系 第2章 圆 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 2.5.4 三角形的内切圆 学习目标 1.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念； (重点) 2.能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计 算(难点) 导入新课导入新课 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师如图是一块三角形木料，木工师 傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下 面有四种方案，请选择最佳方案面有四种方案，请选择最佳方案. A BC A BC A BC A BC 方案一方案一方案二方案二 方案三方案三方案四方案四

2、讲授新课讲授新课 三角形的内切圆一 合作探究 猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都 相_. A BC 方案二方案二 切切 O 画一个圆关键是定圆心和半 径，如何画一个圆与三角形 的三条边都相切？ 如果这个圆与ABC的三条边都相 切，那么圆心O到三条边的距离都 等于_，从而这些距离相等. A BC O 半径 到一个角的两边距离相等的点一 定在这个角的平分线上，因此圆 心O是A 的_与B 的_的_点. A BC O 平分线 平分线 交 已知：ABC. 求作：和ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作B和C的平分线BM 和CN，交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，O

3、D为半径作 圆O. O就是所求的圆. 做一做 A B C O M N D 观察与思考 与ABC的三条边都相切的圆有几个？ 因为B和C的平分线的交点只有一个,并且交 点O到ABC三边的距离相等且唯一，所以与 ABC三边都相切的圆有且只有一个. A B C O D 知识要点 A B C N F 外切三 角形 内切圆 内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内 心到三角形 的三边的距 离相等. 名称确定方法图形性质 外心： 三角形 外接圆 的

4、圆心 内心： 三角形 内切圆 的圆心 三角形三 边中垂线 的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在 三角形的内部 三角形三 条角平分 线的交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分BAC、ABC、 ACB 3.内心在三角形内部 A B O A B C O 填一填 例1 ABC中， O是ABC的内切圆， A=70， 求 BOC的度数。 A B C O 解： A=70 ABC+ACB=180- A=110 O是ABC的内切圆 BO,CO分别是ABC和ACB的平分线 即 OBC= ABC OCB= ACB 1 2 1 2 典例精析 BOC=180-( OBC+OCB) =18

5、0- ( ABC +ACB) =180 - 110 = 125. 1 2 1 2 A B C O 例2 ABC的内切圆 O与BC、CA、AB分别相切 于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm， 求AF、BD、CE的长. 解解:设设AF=xcm，则，则AE=xcm. CE=CD=AC-AE=(9-x)cm， BF=BD=AB-AF=(13-x)cm. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ A C B E D F O 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等

6、 线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C B E D F O 例3 如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc, O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内 切圆的半径 r. O与RtABC的三边都相切 ADAF,BEBF,CECD 解：设RtABC的内切圆与三边相切 于D、E、F，连接OD、OE、OF，则 ODAC，OEBC，OFAB. B A C E D F O 设AD= x , BE= y ,CE r 则有 xrb yra xyc 解得 r abc 2 B A C E D F O 设RtABC的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC 的内切圆的半径 r

7、 或r (后面习题 中证明). abc 2 ab abc 知识拓展 当堂练习当堂练习 (1)三角形的内心是三角形三边中垂线的交点（三角形的内心是三角形三边中垂线的交点（ ） (2)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点（三角形的内心是三角形三个角平分线的交点（ ） (3)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） (4) 三角形的内心到三角形各边的距离相等三角形的内心到三角形各边的距离相等 （ ） (5)三角形的内心一定在三角形的内部（三角形的内心一定在三角形的内部（ ） (6)三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角三角形的内心与一顶点的连线平分

8、该顶点处的内角 （ ） 错错 对对 对对 对对 错错 对对 1、判断对错、判断对错 110 2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则BOC= . 第2题 3.ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F三 点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则ABC的周长 是 . 第3题 30 B D E F O C A 4.如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l, 求ABC的面积S. 解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则ODAB，OEBC，OFAC. SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCO

9、E ACOF 2 1 2 1 2 1 lr 2 1 设ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则ABC的内切圆的半径r ; 当ABC为直角三角形，a,b为直角边时, r = . 2s abc ab abc 知识拓展 5.如图，已知E是ABC的内心，A的平分线交BC于 点F，且与ABC的外接圆相交于点D. (1)证明：E是ABC的内心， ABECBE，BADCAD. 又CBDCAD， BADCBD. CBECBDABEBAD. 即DBEDEB， 故BDED； (1)求证：BDED； (2)若AD8cm，DF FA1 3.求DE的长 (2)解：AD8cm，DF FA1 3， DF AD 82(cm) CBDBAD，DD， BDFADB， , BD2ADDF8216， BD4cm， 又BDDE， DE4cm. 1 4 1 4 BDDF ADBD 拓展提升： 6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： (1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ (2)若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都 相切，求O的半径r的取值范围. A BC E D F O 5 1 解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大 圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四 边形BODC为正方形. A B