高考中的圆锥曲线问题高考专题突破五

1、高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1 (2017 全国 )已知双曲线x2y2y5x，且与椭C：2 2 1(a0 ， b0) 的一条渐近线方程为2ab圆 x2 y21 有公共焦点，则C 的方程为 ()1232222A.x y 1B. x y 181045C.x2y21D. x2 y2 15443答案B解析由 y5b52 x，可得 a2 .x2y2由椭圆 123 1 的焦点为 (3,0)， ( 3,0)，可得 a2 b2 9.由 可得 a2 4， b2 5.x2y2所以C 的方程为 45 1.故选 B.x2y2A1，A2，且以线段 A1A22(2017 全国 ) 已知椭圆 C：a2b2

2、 1(ab0) 的左、右顶点分别为为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ()6321A.3B. 3C. 3D.3答案A解析由题意知，以A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0) ，半径为 a.又直线 bx ay 2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离d2ab a，解得 a3b，a2 b2 ba 1 ，3 eca2 b2b 21 26aa1 a 13 3 .故选 A.3 (2017 全国 )已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A， B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D， E 两点，则

3、|AB| |DE |的最小值为 ()A16 B14 C12 D10答案A解析因为 F 为 y2 4x 的焦点，所以 F(1,0)由题意知直线l 1， l2 的斜率均存在，且不为0，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的11斜率为 k，故直线 l1 ，l 2 的方程分别为y k(x 1)， y k(x 1)yk x1 ，2 222由得 k x (2k 4)xk0.y2 4x，显然，该方程必有两个不等实根2k2 4设 A( x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x22， x1x21，k所以 |AB|1 k2|x1 x2| 1 k2 x1 x2 2 4x1x222k2 424 1 k2. 1

4、 k k2 42k同理可得 |DE| 4(1 k2)所以 |AB| |DE|4 1 k2k2 4(1 k2)12 4 k2 11 k2 1 8 4 k k2 8 42 16，当且仅当21k k ，即 k 1 时，取得等号2故选 A.4 (2017 北京 )若双曲线 x2y2 1 的离心率为3，则实数 m_.m答案2解析由双曲线的标准方程知a 1， b2 m， c1 m，故双曲线的离心率e ca1 m3， 1m 3，解得m 2.x2y25 (2017东山 )在平面直角坐标系xOy中，双曲线a2 b2 1(a0， b 0)的右支与焦点为F的抛物线x2 2py(p 0)交于A， B 两点，若 |AF

5、| |BF| 4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为_答案y 22x22x2 y2 1，解析设 A(x1， y1ab2， y2)， B(x)，由x2 2py，得 a2y2 2pb2ya2b2 0，显然，方程必有两个不等实根2pb2 y1 y2 a2 .又 |AF| |BF | 4|OF |， y1 py2 p 4 p，即 y1 y2 p，222 2pb221b2ba2p，即 a22， a2 ，2 双曲线的渐近线方程为y x.题型一求圆锥曲线的标准方程2 2例 1 (2018 佛山模拟 )设椭圆 xa2 yb2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1 ，F2，上顶点为 B.若|BF 2| |F1

6、F2 |2，则该椭圆的方程为 ()222A. x y1B. x y2 1433C.x2y21D. x2 y2 124答案A解析 |BF2 | |F 1F 2| 2， a2c 2，2 2 a 2， c 1， b 3， 椭圆的方程为 x4 y3 1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程x2y2跟踪训练 1 已知双曲线 a2b21(a0， b 0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x 2)2 y2 3 相切，则双曲线的方程为()2222A.x y 1B. x y 1913139C.x2y21D x2y2 13

7、3答案D解析双曲线x2y2a2b21 的一个焦点为F(2,0) ，则 a2 b2 4， 双曲线的渐近线方程为by ax，由题意得2b3， 22ab联立 解得 b3， a 1，2所求双曲线的方程为x2 y3 1，故选 D.题型二圆锥曲线的几何性质22例 2 (1)(2018 届辽宁凌源二中联考 )已知双曲线 C：xa2 16y 1(a0) 的一个焦点为 (5,0) ，则双曲线 C 的渐近线方程为 ()A 4x3y 12B 4x 41y 0C16x9y 0D 4x3y 0答案D解析由题意得2216 9，即 a 3，所以双曲线的渐近线方程为4c 5，则 a cy 3x，即4x3y 0，故选 D.x

8、2pt2，(2)(2016 天津 )设抛物线(t 为参数， p0) 的焦点为 F，准线为 l .过抛物线上一点 A y 2pt7作 l 的垂线， 垂足为 B.设 C 2p， 0 ，AF 与 BC 相交于点E.若 |CF |2|AF|，且 ACE 的面积为3 2，则 p 的值为 _答案6解析由x 2pt2，y2 2px(p0) ，(p0) 消去 t 可得抛物线方程为y 2ptpF 2，0，7 p又 |CF | 2|AF|且 |CF | 2p 2 3p， |AB| |AF| 32p，可得 A(p，2p)易知 AEB FEC， |AE|AB |1|FE|FC |2，故 S ACE1S ACF 1 3

9、p 2p 13322 2 2 p 3 2， p2 6， p0， p 6.思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、 准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力x2y222跟踪训练 2 (2017 全国 )若双曲线C：a2b2 1(a0，b0) 的一条渐近线被圆(x2)y4所截得的弦长为2，则 C 的离心率为 ()2 3A2 B.3 C.2 D.3答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为y bax，圆的圆心为 (2,0)，半径为2，由弦长为2 得出圆心到渐近线的距离为22 12 3.|2b|3

10、，解得2 3a2cc2根据点到直线的距离公式，得b.所以 C 的离心率222e aaa b2b1 a2 2.故选 A.题型三最值、范围问题例 3(2017 浙江 )如图，已知抛物线2 1，1， B3，9，抛物线上的点P(x，x y，点 A2 424y) 1 x3 ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q.22(1)求直线 AP 斜率的取值范围；(2)求 |PA| |PQ|的最大值解 (1) 由 P(x， y)，即 P(x， x2)x2 114设直线 AP 的斜率为 k，则 k1 x2，x213因为2 x2.所以直线AP 斜率的取值范围为( 1,1)11kx y k 0，(2)联立直线AP 与

11、 BQ 的方程93x ky 4k 2 0， k24k 3解得点 Q 的横坐标是 xQ .2 k2 1因为 |PA|1 k2x1221 k (k 1)，|PQ|k 1k 1 21k2(xQ x)，k2 1所以 |PA| |PQ| (k 1)(k 1)3，令 f(k) (k 1)(k 1)3 ，因为 f (k) (4k 2)(k1) 2，所以 f(k)在区间1，1上单调递增，1， 1上单调递减因此当k1时， |PA| |PQ|取得最大22227值 16.思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法， 从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换

12、元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围223，跟踪训练 3(2016 山东 )平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： x2 y2 1(ab0)的离心率是ab2抛物线 E： x2 2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点A， B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点M .求证：点 M 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S ， PDM 的面积为

13、S ，求 S1的最大值及取得12S2最大值时点 P 的坐标(1)解 由题意知a2 b2a 3，可得 a2 4b2，211因为抛物线 E 的焦点为F 0，2 ，所以 b2， a1，所以椭圆C 的方程为x2 4y2 1.设 P m，m22 2y，可得 y x，所以直线 l 的(2) 证明2 ( m0)，由 xm2斜率为 m，因此直线l 的方程为y2 m(x m)即 ymxm22 .设 A( x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0 ， y0)x2 4y2 1，联立方程m2y mx 2 ，得 (4m2 1)x24m3x m4 1 0.由0，得 0m25(或 0m2|MN | 2，点 P 的轨

14、迹 C 是以 M，N 为焦点的椭圆， 2a4,2c 2， b a2 c2 3，x2y2点 P 的轨迹 C 的方程为 4 31.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， G(m,0)( 2m0 ，得 k2m29b2 9m2，3k2 2k22又 bm3m，所以 k m 9m3m 9m ，得 k2k2 6k，所以 k0.所以 l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k 0，k 3.由 (1) 得 OM 的方程为 y9P ，kx.设点 P 的横坐标为 x9由 y kx，得 xP2 k2m2，即 xPkm.9x2 y2 m2，9k2 813 k2 9mm 3 k将点3 ， m 的坐标代入

15、l 的方程得 b3，km k3因此 xM.3 k2 9四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段 OP 互相平分，即xP 2xM.于是km 2km k 3，2 93 k2 93k解得 k147， k2 47.因为 ki 0， ki 3， i 1,2，所以当l 的斜率为47或 47时，四边形OAPB 为平行四边形题型五探索性问题例 5 (2018 泉州模拟 )如图，椭圆 E： x222，过点 P(0,1)的动直2y2a b 1(a b0)的离心率是2线 l 与椭圆相交于A，B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.(1)求椭圆 E 的方程；

16、|QA|PA|(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得 |QB| |PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1) 由已知，点 ( 2， 1)在椭圆 E 上，21a2 b2 1，222，解得 a 2， b 2，因此 a b cc 2a 2 ，x2y2所以椭圆E 的方程为4 2 1.(2)当直线 l 与 x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C， D 两点，如果存在定点Q 满足条件，|QC|PC|则有 |QD| |PD |1，即 |QC| |QD|，所以 Q 点在 y 轴上，可设Q 点的坐标为 (0， y0)当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线

17、l 与椭圆相交于M，N 两点，则 M，N 的坐标分别为 (0，2)，(0，2)，|QM|PM|，有|y0 2|2 1由，|QN|PN|y0 2|2 1解得 y01 或 y0 2，所以若存在不同于点P 的定点 Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为 (0,2)证明如下：对任意直线l，均有 |QA| |PA|，其中 Q 点坐标为 (0,2) |QB| |PB|当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线 l 的斜率存在时， 可设直线 l 的方程为 y kx 1，A，B 的坐标分别为 ( x1，y1)，(x2，y2)，22xy联立4 2 1，22得 (2k 1)x 4kx 2 0，y kx 1

18、，其判别式 (4k)28(2k2 1) 0，4k所以x1x2 2k2 1，x1x22，2k2 1因此 1x1x21 2k，x1x2x1 x2易知点 B 关于 y 轴对称的点 B 的坐标为 ( x2，y2)，y12 kx1 1又 kQAx1 k 1 ，x1x1y2 2kx2 11 ，kQB k 1 k x2 x2x2x1所以 kQA kQB，即 Q， A， B 三点共线，|QA|QA |x1 |PA|所以 |QB| |QB |x2 |PB|，故存在与点 P 不同的定点Q(0,2)，使得 |QA|PA|恒成立|QB|PB|思维升华(1) 探索性问题通常采用“ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明朗化

19、其步骤为假设满足条件的元素( 点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素( 点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数 )不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法跟踪训练5 (2018 届珠海摸底 ) 已知椭圆C1，抛物线 C2 的焦点均在x 轴上， C1 的中心和 C2 的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3， 23)，( 2，0)，(4， 4)，22，2 .(1)求 C1， C2 的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：过C2 的焦点 F ；与 C1 交于不同的两点M，N 且满足

20、OM ON？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由解 (1) 设抛物线 C2 ：y2 2px(p 0)，y2则有 x 2p( x 0)，据此验证四个点知(3， 23)， (4， 4) 在抛物线上，易得，抛物线C2 的标准方程为C2： y2 4x；22设椭圆 C1： x2 y2 1(ab0) ，ab把点 (2,0) ，2 代入可得 a2 4， b2 1.2， 22所以椭圆C1 的标准方程为x4 y2 1.(2)由椭圆的对称性可设C2 的焦点为F(1,0)，当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x 1.直线 l 交椭圆 C1于点M1，3，N 1，3 ，22 OM ON0，不满足题意当直线

21、 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y k(x 1)，并设 M(x1， y12， y2)， N(x)，yk x1 ，由x2 4y2 4，消去 y，得 (1 4k2)x28k2x 4(k2 1) 0，22于是 x1x2 ， x1 2 4 k 1 ，8k1 4k2x1 4k2y1y2 k(x1 1) k(x2 1)222 3k22， k x1x2 k(x1 x2) k1 4k 由 OM ON，得 OMON 0，即 x1x2 y1 2 0.y222 44 k 13kk将代入 式，得2 22 0，1 4k1 4k1 4k解得 k 2.经检验， k2 都符合题意所以存在直线l 满足条件，且l 的方程

22、为2x y 20 或 2x y2 0.1已知椭圆 C 的离心率为 3，点 A，B，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且 S ABF21 32 .(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 l ：y kx m 被圆 O：x2 y2 4 所截得的弦长为2 3，若直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，求 MON 面积的最大值22解 (1) 由题意知，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，设椭圆C 的标准方程为 x2y2a b 1(ab0) ，22b2 3，则 e2 c2a2aa4 a2 4b2 ，即 a 2b，可得 c 3b，113SABF |AF| |OB| (a c)b 12，2213232(2

23、b3b)b 1 2b 12，2 b 1， a 2， 椭圆 C 的方程为x24 y 1.(2)由题意知，圆O 的半径 r 2，弦长 l 23， 圆心 O 到直线 l 的距离dr2 l 2 4 3 21，2即|m| 1，所以 m2 1 k2.1 k2x22由4 y 1，y kxm，消去 y，得 (1 4k2)x28kmx 4(m2 1) 0， 16(4k2m2 1) 48k20， k 0，设 M(x1， y1)，N(x2， y2) ，24则 x1 x2 8km 2， x1x22 ，1 4k1 4k4m |MN |1 k2x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k28km4m2 4

24、22 414k14k22 4221 k4k m 14k2 11 k2 43|k|24k 14223kk 14k21， MON 的面积为SMON 123k2 k21|MN | 1，24k2 1令 t 4k2 11，t 13 4 t 1则 S24 12t311 24 2 t 39，2 当 t 3，即 k 2 时， MON 的面积取到最大值 1.2 (2018 新余联考 )如图所示，已知点E(m,0)为抛物线 y2 4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线，分别交抛物线于点A，B， C，D ，且 M ，N 分别是 AB，CD 的中点(1)若 m 1， k1k2 1，求 EMN

25、面积的最小值；(2)若 k1 k2 1，求证：直线MN 过定点(1)解当 m 1 时， E 为抛物线y2 4x 的焦点， k1k2 1， AB CD，直线 AB 的方程为yk1 (x 1)，设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)，yk1 x 1 ，由y2 4x，得 k1y2 4y 4k10，显然方程有两不等实根，y1 y24 ， y1y2 4，k1 AB 的中点为Mx1 x2y1 y2，2，2y1y242.x1 x2 11 2k1k1k12 2 M 21， ，k1k1同理，点N(2k21 1， 2k1)1 SEMN 2|EM | |EN|122222 2222k12k1 2k1k121 2k1 k21 2 22 2 4，当且仅当21k12，即 k1 1 时， EMN 的面积取最小值 4.k1y k1 xm ，(2)证明直线 AB 的方程为 y k1( x m)，设 A(x1，y1) ， B(x2 ， y2)，由y2 4x，得 k1y2 4y 4k1m 0，显然方程有两不等实根4y1 y2， y1y2 4m， AB 的中点为 Mx1 x2y1 y2，224x1 x2y1y2k142m， m m 2m 2k1k1k1k12 2 M 2 m， ，k1k1同理，点N 22m， 2 ，k2