直线与圆解答题

1、直线与圆解答题1. (2009年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆 G: (x 3)2(y 1)24和圆 C2: (x 4)2 (y 5)24.(I)若直线|过点A(4, 0)，且被圆Ci截得的弦长为2. 3，求直线I的方程;(H)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 I i和|2,它们分别与圆Ci和圆C2相交，且直线I i被圆Ci截得的弦长与 直线I 2被圆Q截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.2. (2008年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x) = x2 + 2x + b (x R)的图像与两个坐标轴有三个交点， 经过这三点的圆记为

2、C. (I)求实数b的取值范围；(H)求圆C的方程;(I)求直线I斜率的取值范围;(山)问圆C是否经过定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论.3.(2009年连云港卷)已知直线| :. mx (m 1) y 3 .(H)若直线|被圆C : x22y 2y-80截得的弦长为4,求直线I的方程.4. (2008年连云港卷)求圆心在直线 2x + 3y - 13 = 0上，且与直线|i： 4x- 3y+ 10= 0,直线|2： 4x- 3y- 8 = 0都相切的圆的方程5. (2007年连云港卷)已知圆 M 2x2 2y2 4y 23，直线丨。:x+ y = 8 ,|0上一点A的横坐标为a ,过点

3、A作圆M的两条切线|i , |2 ,切点分别为B ,C.(I)当a= 0时，求直线|i , | 2的方程；(H)当直线11 , 12互相垂直时，求a的值;(山)是否存在点 A，使得BC长为,10 ?若存在，求出点 A的坐标，若不存在，请说明理由.6.已知点O为坐标原点，圆 C过点(1, 1 )和点(一2,4 )，且圆心在y轴上.(I)求圆C的标准方程；(H)如果过点P(1, 0)的直线|与圆C有公共点，求直线|的斜率k的取值范围;(山)如果过点 P(1, 0)的直线l与圆C交于A B两点，且|AB| = 2 3，试求直线l的方程.已知圆C:(x 3)2 (y24)4，直线l 1过定点A (1，

4、0).(I)若丨I与圆C相切，求l1的方程；(n)若 | I的倾斜角为45，l 1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点(山)若l i与圆C相交于P,Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线|1的方程7.M的坐标;8.已知圆A过点PC2,.2)，且与圆B：(X 2)2 (y 2)2 r2(r 0)关于直线x y 2 0对称. (I )求圆A和圆B方程；(n)求两圆的公共弦长；(山)过平面上一点Q(x0, y0)向圆A和圆B各引一条切线，切点分别为c、D,设QD 2 ,QC求证：平面上存在一定点 M使得Q到M的距离为定值，并求岀该定值 .2 2 y 422.29. 如图平面上有A(1

5、 , 0)、B(- 1 , 0)两点，已知圆C的方程为 X 3(I)在圆C上求一点R使厶ABP面积最大并求出此面积；2 2(n)求使| AP | BP |取得最小值时的圆 c上的点P的坐标.PI10. 已知圆0的方程为X2 + y2 = 1,直线丨！过点A(3,0), 且与圆O相切.(I)求直线丨！的方程；(H)设圆O与x轴交与P, Q两点，M是圆O上异于P, Q的任意一点，过点 A且与x轴垂直的直线为I 2, 直线PM交直线|2于点P,直线QM交直线|2于点Q .求证：以P Q为直径的圆 C总过定点，并求出定点坐标211. 已知：以点C(t,营)(t R , t工0)为圆心的圆与 x轴交于点

6、 O A,与y轴交于点O B,其中O为坐标原点(I)求证： OAB的面积为定值；(H)设直线y = - 2x + 4与圆C交于点 M N,若OM= ON求圆C的方程.2 2 212.已知oc过点P (1,1), 且与。m (x 2) (y 2) r (r 0)关于直线x y 20对称.(I)求。C的方程；(n)过点P作两条相异直线分别与OC 相交于A B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点， 试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由.13.已知圆 C： X y2 2ax 2ay 2a2 4a 0 (0 a 4)，直线 l : y= x + m.(I)若m= 4 ,求直线|被圆C所截

7、得弦长的最大值；(D)若直线|是圆心C下方的切线，当a在(0 ,4 变化时，求m的取值范围.14.已知过点A( 1, 0)的动直线I与圆C： x2 (y 3)24相交于p、q两点，M是PQ中点，I与直线m x + 3y + 6= 0相交于N.(I)求证：当I与m垂直时，|必过圆心C;(H)当PQ 2,3时，求直线I的方程;15. 设圆C满足： 截y轴所得弦长为2; 被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 :1 ,在满足条件、的所有圆中，求圆心C到直线| : x-2y =0的距离最小的圆C的方程.16. 已知圆O： x2 + y2 = 1和定点A(2 , 1)，由圆0外一点P( a , b ) 向圆

8、0引切线PQ切点为Q,且满足| PQ | = | PA |.(i )求实数a , b间满足的等量关系；(n )求线段PQ长的最小值；(山)若以P为圆心所作的圆P与圆0有公共点，试求半径取最小值时的圆P的方程.17. 已知圆C过原点0,且与直线x + y = 4相切于点A(2, 2).(I )求圆C的方程；(n )过原点O作射线交圆C于另一点M,交直线x = 3于点N. OM ON是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；32 若射线OM上一点P(X0 ,y 0)满足oP=oim on ,求证：x0 沧y0 6x0 6y0 0 .18. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，平行于x

9、轴且过点A(3. 3, 2)的入射光线11被直线丨：y=fx反射.反射光线丨2交y轴于B点，圆C过点A且与丨1, 1 2都相切.(I )求丨2所在直线的方程和圆 C的方程；(n)设P, Q分别是直线丨和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点 P的坐标.1i19.已知圆M： x2 (y 2)21，设点B,C是直线丨：x 2y 0上的两点,它们的横坐标分别是t,t 4(t R)，点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切点为A.(I)若t 0 , MP5，求直线PA的方程；(n)经过A, P, M 三点的圆的圆心是 D,求线段DO长的最小值L(t).20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，

10、A(a,0) (a 0) , B(0,a) , C( 4,0) , D(0,4),(i)(n)设厶AOB的外接圆圆心为 E.若OE与直线CD相切，求实数a的值；设点P在圆E上，使 PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的OE是否存在，若存在，求出OE 的标准方程；若不存在，说明理由1.a)直线与圆解答题参考答案解：(I)由于直线x = 4与圆C不相交，所以直线I的斜率存在设直线I的方程为y k(x 4),圆心Ci到直线I的距离为d , 因为直线I被圆C截得的弦长为2J3,所以d 22(3)21d 门_心 3_4) | i ,k 7)0，二 k =0 或 k所求直线I的方程为y = 0

11、或7x + 24y 28= 01(n)设点 P(a, b)直线 l1: y b k(x a) ； i 2： y b (x k因为圆G、圆C2的半径相等，且分别被直线|1、丨2截得的弦长相等，所以圆心C到直线|1的距离、圆心C2到直线|2的距离相等.|1 k( 3 a) b |1|5 1(4 a)b|(a3)k (1b)| |(5 b)k (4a)|2.解一:3.5.V k的取值有无穷多个a 3 5 b或1 b 4 aa5a3解得2或2b1b1322-)或 P(23 132,7(I)若b = 0,则f (x) = x2 + 2x与坐标轴只有两个交点(0, 0 )和(一2 ,0 ),矛盾! b0

12、,二次函数f(x)x2 2x b的图象与y轴有一个非原点的交点(0 , b)故它与x轴必有两个交点，方程 x2+ 2x + b= 0有两个不相等的实数根，0,b的取值范围是(一1.1 b ,2x b的图象与坐标轴的交点为(2 2x + y + Dx+ Ey + F= 01 b)21 b)2 b2C 的方程为 x2+ y2 + 2x (b + 1)y + b=0(x 2 + y2+ 2x y) + b (12 2x y 2x y1 y 0令x = 0,得抛物线于y轴的交点是(0, b)令 f (x) = 0，得 x2 + 2x + b= 0，由题意 b 0 且厶 0， 设所求圆的一般方程为x2

13、+ y2 + Dx+ Ey+ F = 0令 y = 0,得 x2+Dx+ F = 0,这与 x2+ 2x+ b= 0 是同一个方程，故 D= 2，F= b 令x = 0,得y2+ Ey+ b = 0,此方程有一个根为 b,代入得E= b 1 所以圆C的方程为x2 + y2+ 2x (b + 1)y + b = 0圆C必过定点(0, 1 ), ( 2, 1证明如下：将(0, 1 所以圆C必过定点(解：(I)斜率k ，当m 14b0 ,/. b 1 且 b0(n)由方程 x2+2x+ b= 0得 x2x2 .二函数f (x)设圆C:b),() (0 ,1 )./ b , 0 ) , ( 1+ .

14、1 b , 0 ),1 b) FFD(D( 1. 1 b)Eb(b 1)b二圆(山)圆C的方程为解二：(i)(n)(山)另一方面k 一m 1由| m13|m(m1)2诊2x解：3y1304x3y104.(n)圆的标准方程为 x2所求圆c的方程为解：(i)圆 Mx2(yA(0, 8),y) = 02 圆 C过定点(0,1 )和(一2,1 ).1解得ba2 + 4b2 2( a2 + b2) = 2b2 a2= 1, a= b时上式等号成立，此时 5d2= 1,从而d取得最小值.a b,2b2P(a, b)到直线x- 2y= 0的距离为d5d2所以当且仅当a 1,解此方程组得1 b 1;2 . 于

15、是，所求圆的方程是a 2b将a2 = 2b2 1代入式，整理得2b2 4. 5db 5d 2 1 0把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d 1)0,得5d1.由此有或a1,b1.由于r2 = 2b2知解法二：同解法一，得(x 1) 2 + (y 1) 2 = 2，或(x+ 1)2 + (y + 1) 2 = 2.、.5d 得 a2 4b24 ： 5bd 5d25d2有最小值1,从而d有最小值.将其代入式得2b24b+ 2=0解得b= 1. 5将 b= 1 代入 r2= 2b2，得 r2= 2由 r2 =a2 + 1 得 a= 1 综上 a= 1, b= 1, r2 由

16、I a2b | = 1知a, b同号.于是，所求圆的方程是解：(I)连OP, TQ为切点，PQLOQ由勾股定理有又由已知 |PQ| = |PA|，故 |PQ|2= |PA| 2. 即:化简得实数a、b间满足的等量关系为：2aPQ (a2 b 32.(x 1)2 + (y 1)2 = 2，或(x + 1) 2 +(y+ 1)2 = 2.op2 |oqb2) 12 (a 2)2 (b 1)20(u)由 2ab 3 0，得 b2a 3.PQ.、a2 ( 2a 3)2 15a2 12a 8 =6时，PQ imin5(山)设圆P的半径为R, Q圆1 OP R 1.故当amin而OP5. 即线段PQ长的最

17、小值为55P与圆O有公共点，圆 O的半径为1,即ROP 1 且 R OP1.a2 b2,a2( 2a 3)25(a6时，OP3亦.此时，b5min 5得半径取最小值时圆 P的方程为(x -)25故当a2a 3(y 3)256)23Rmin5(3亦1)256 24(山)圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆 O外切(取小者)的情形, l的距离减去1, 与l的交点R.而这些半径的最小值为圆心O到直线圆心P为过原点与l垂直的直线l33.5r =.1 = -1- 1r .2 2 + 1 251.又 l : x-2y = 0,17.18.(i)解方程组x2xi）由题意得：圆心2y 0,得y 3 0n

18、）设射线所在直线方程为2k 2xMk2OM ONQ kt oP=om on,又 yokxo直线丨1:p（ 5 ,3）.所求圆方程为&5C为OA的中点（1,1）,y kx，将它代入（x 1）2（y 1）圆C的方程为（xkx与直线x 3相交-TyM2X。I)21)23 23 l 2(y)2 (5 1)2.55OM ON无最小值y2 6k 6也代入上式得Xo1)2 (yf 2得：(k2xM与3同号(2k 2)2 (2k2 2k)2(k2 1)23XoXoy； 6xoy=2,设 |1 交 | 于点 D,则 D ( 2. 3 , 2)反射光线|2所在直线的方程为 y 2 已知圆C与11切于点A,设C（

19、a , b ）t圆心C在过点D且与|垂直的直线上，二又圆心C在过点A且与| 1垂直的直线上,由得.3(xT|2、3).3a3.3a 3 3 圆C的半径r = 3故所求圆c的方程为（H）设点B（0, 4）关于|的对称点B （x 0 ,y。）21)x2(2 k 2)x1,.,9 (3k)23| 2k 2|6k 66yol1X。PB+ PQ最小值为B C 3的倾斜角为即.3xQ共线时，PB+ PQ最小，故y1x 3 3212.3 3 3解得P （三1）32 2yx319.解：（I）设 P(2a,a)(o a 2).Q M (o,2), MP得B（2.、3,2）, 固定点Q可发现，当B, P,5,. (2a)2(a 2)25.1解得a 1或a -5所以直线PA的方程为（舍去）.P（2,1）.由题意知切线PB + PQ最小值为 B C- 3