对称性在电磁学中的应用

1、附件 7编号编号 学学士士学学位位论论文文 对称性在电磁学中的应用对称性在电磁学中的应用 学生姓名： 木拉提。巴义江 学 号： 系 部： 物理系 专 业： 物理学 年 级： 2004-1 班 指导教师： 艾木如拉老师 完成日期： 2009 年 5 月 4 日 中文摘要 对称性是物理学中一个重要概念，本文从物理教学角度简要地介绍了对称 性的概念和原理，并结合对称性原理在电磁学中的若干应用问题 关键词：关键词：对称性，电磁学，高斯定理，场强 目目录录 中文摘要中文摘要 .1 引言引言 .1 1.1.有关对称性一般的概念有关对称性一般的概念 .1 1.1 对称性的概念.1 1.2 对称性的分类.1

2、1.3 对称性定义.2 2.2.对称性在电磁学中应用的有关举例对称性在电磁学中应用的有关举例 .2 2.1 对称性在求解静电场中的高斯定理的应用.2 2.2 利用对称性分布可使某些对称分布的电，磁场求解问题简化.3 2.3 利用安培环路定理求磁场.4 2.3.12.3.1 对称性分析对称性分析.5 2.3.22.3.2 作安培环路，用场强表达积分作安培环路，用场强表达积分.5 2.3.32.3.3 利用安培环路定理求场强。利用安培环路定理求场强。.5 总总 结结 ：.7 叁考文献叁考文献 .8 致谢致谢 .9 引言引言 在力学中，我们都知道对称性的重要作用，只要对称性成立，可以由它导 出三大守

3、恒定律：能量守恒定律，动量守恒定律，和宇称守恒定律，三大守恒 道理在力学中有着巨大的作用，而在电磁学中，对称性同样也有着非常重要作 用。 1.1.有关对称性一般的概念有关对称性一般的概念 1.1 对称性的概念 念对称性是在物理学中的一个重要的且得到普偏的应用的规律。若一个物 理规律具有某中对称性，则可以利用这一性质分析和解决相关的问题。自然事 物普偏有静态结构的对称性，也有着动态变化的一致性，这意味着简单性，表 明自然界有一种美的本性。人对于对称性的认识是自身左，右的对称性开始的， 而只是对称性的一种 对称性在自然界中普偏存在，例如花朵，人体或一些动物体形一边另一边 完全相同，可以折叠重合，它

4、真有左右对称，它也给人以匀称和均衡的感觉。 再如一些常见几何图形请如球形，图形，正方体，三角形等等。 1.2 对称性的分类 对称性可以分为：原对称性，轴对称性。圆对称性，艺术上的对称性，物 理学中的对称性，反射对称等等 一些常见几何图形请如球形，图形，正方体，三角形，都以空间的某一点 或在直线对称，他们旋转某一角度后与原有图形保持不变，因此具有旋转对称 性。竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性， 它给人以连贵，流畅的感受。 在我们的日常生活重正常会看到具有对称性的例子。对称性的概念最初来 源于生活中，在艺术，建筑领域中，所谓对称性通常是指左右对称性。这 是对称性是人们

5、观察和认识自然过程中所形成的一种概念。它最早是一个几何 学上的概念。其实就是某种不变性。比如，说某个图形具有旋转对称性，就意 味着该图形绕某个固定的轴转某一角度后图形保持不变，那么数学上方程 F(X,Y)=0。若以-X 代 X 而方程不变，则它的曲线关于 Y 轴对称；若以-Y 代 Y 而 方程不变，则它的曲线关于 X 轴对称；若-X 代 X 同时-Y 代 Y 而方程不变，则它 的曲线关于原对称。 如果一个图形沿着一条对折直线两侧的图形能够完全重合这个图形就是轴 对称图形。对称轴折痕所在的这条直线叫做对称轴。两个全等图形之间的相互 位置关系这两个图形关于一点对称这个点对称中心它们的性质。如果两个

6、图形 关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线） 。 中心对称图形一定是轴对称图形而轴对称图形不一定是中心对称性。 艺术上对称性钻切割打磨以后获得的各部分的围绕中心的水平对称性，总 之艺术，建筑等领域或中心对称性通常是指左右对称性。 在物理学中对称性（symmetry）是现代物理学中的一个核心概念，它 泛指规范对称性（ gauge symmetry) , 或局域对称性 local symmetry）和 整体对称性（ global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方 程在某些变数的变化下的

7、不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被 称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子 是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和 相位不变性。 1.3 对称性定义 无论是数学上还是物理学中建筑还是艺术上对称性（不变性）是指体系在 某种操作下变成与原状态相同或等价的状态。 总之：对称 性是；如果某一系统（或现象）在某一变换下不变则说系统 （或现象）具有该变换下所对应的某种对称性或不变性。 2.2.对称性在电磁学中应用的有关举例对称性在电磁学中应用的有关举例 对称性分析的应用在电磁学中相对于普偏物理学的其他部分多些本文我们 利用对称性分析可以许多

8、复杂是问题简化。 2.1 对称性在求解静电场中的高斯定理的应用 对于球面半径为 R,带电量为 q 的球均匀带电球面内外场强是分布问题。由 于均匀带电球面的电荷分布具有球面对称过 P 点作半径为 r(rR)的同心球面为高斯面如图 1（B）所示 由高斯定理 = (3) s SdE . q 可以得到 (4) 2 0 .4 s q EdSEr A 则有： (5) 2 4 q E r 外 这个问题还可以运用场强叠加原理来求解，可以将球面分解为若干半径不 等的带电圆坏，利用带电圆坏在通过其圆心的轴线上场强公式，并在整个球面 上积分，即可以得到空间的场强分布。但是积分的过程非常复杂，用高斯定理 求解则方便的

9、多。高斯定理还可以解决很多具有对称性的带电体系问题，如均 匀带电求体的场强问题，无限长的均匀带电细棒或圆柱体的场强问题，无限大 均匀带电平面的场强问题等等。 2.2 利用对称性分布可使某些对称分布的电，磁场求解问题简 化 在计算电场强度 E，和磁场强度 B 时对称性分析是必不可少的，场原分布 的对称性使其电场或磁场也具有相应的对称性。 例如一半径为 R 的球壳，均匀带有面电荷，电荷面密度（点电荷的电场） 为，求球心 O 处的场强 E 如图（2） 如图（如图（2 2） 分析分析: : 本题可用叠加法求解，叁与叠加的元强可以为等效点电荷的电场.dE 解：解：在球面上取球坐标系下的面元 其带电.dR

10、SinRddSddRSindSdq 在 O 点产生的电场为：在与对dq 2 /4sin/4 00 dEdqRd d dq 称位置取电荷面元。在 O 点产生电场为.由对称性分析可知各电荷dq 1 dEdE 在球心处产生的电场只有 Z 分量总电场强度有贡献，因而总电场强度为： (6) Z EE 2 0 00 cossincos 24 Z dEdEdEd 积分得到 E 方向与 Z 轴正方向相反。 E 在经过对称性分析省去了 E 的 X,Y 方向分量的计算。 另外在计算电场场度 E 或磁感应强度 B 的利用高斯定理或安培定理计算是 方便的多但是这两个定理的应用前提是场必须具有高度对称性。如球对称性轴

11、对称性，镜像对称性，因而求解过程中先要进行对称性分析，再取与该对称性 相吻合的高斯定理或安培环路，方可正确出场的分布的函数。 2.3 利用安培环路定理求磁场 对于一个半径为 R 电流密度为 J 均匀载流的长直圆柱问题中，如求它周围 产生的磁场如图（3）所示 ： 在分析之前，只能以为磁场在径向，角向和轴向都有分量，且 每个分量都应是半径，角度和轴向坐标的函数。采用柱坐标系，有： 图 3 （1） ( , , )( , , )( , , )BBrzBrzBrz reeze rz 2.3.12.3.1 对称性分析对称性分析 场原（原因）的对称性有: :沿 Z 轴的平移不变性: :绕 Z 轴的旋转不变性

12、: : 对过 Z 轴的平面的反射不变性。 场强（结果）的对称性同上依次导致 都与 Z 有关，,BBB rZ 都与有关，（B 是赝矢量，只有垂直分量） 。,BBB rZ 0BB rZ 于是，式(1)成 （2）( )BBr e 2.3.22.3.2 作安培环路，用场强表达积分作安培环路，用场强表达积分 如图 4 作一安培圆环路，心位于轴线上，且圆面垂直于轴 线，其绕行方向与电流密度方向（Z 轴方向）呈右手螺旋关系。 则有； .( )( )( )2 2( )( )( )2 Bd B r dl lB rdlB rrl B r dl lB rdlB rr AAA AA 上相等 或上相等 2.3.32.3

13、.3 利用安培环路定理求场强。利用安培环路定理求场强。 由安培环路定理， ，有 (4) 2 () 0 . 02() 0 J r rR B dlI rR J R A 内 由式（3）式（4）和式（2）,即得 (5) /2 () 0 ( ) 2( .) /2 0 jre rR BBr erR jR er 由整个解题过程可以看出对称性分析和安培环路定理的作用。对称性分析 的最终目的是为了计算积分即式（3） 。 有一点需要说明，解题中需求场点半径 r 进行分段讨论，在我们 的思路中这一些的地位与通常思路不同。 通常作法是；通过柱面外点作安培环路定理，然后进行对称性分析并用安 培环定理求得场强，又通过柱面

14、内一点作安培环路定理再重复上述过程也就是 说，对 r 的分段讨论构成整个解题的最大框架，这种作法多少对称性分析的核 心地位有所消弱，再 r 的分段讨论是最重要的，而我们的作法表明对 r 的分段 图 4 讨论完全可以只出现在次要第三步中，而次在表达才需要。这是理所当然的， 内 I 因为体系的对称性的整个体系的不可能，因区域改变而不同，从而作安培环路 并用场强表达积分也只 需做一次即可，因此我们的作法更体现的物理思路。 总结：总结： 由上面的一些例子我们足以看出对称性在电磁学乃至整个物理学当中的重 要作用。现实生活中我们也经常遇到一些具有对称性的物体，更重要的，有一 些不规则形状的物体也具有对称性

15、，在分析这些具有几何对称性的物体时，利 用对称性，往往能够得到比较好的结果。 总之，对称性在电磁学中也有着其举足轻重的作用，我们要想学好电磁学， 就一定要掌握对称性，利用它，这样我们才能如鱼得水，学好电磁学. 叁考文献叁考文献 1 梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学（第二版）2004.5： 2 李林，单长吉，竖祖萍.电磁学中的对称性分析及教学应用J.四川职业学 院学报.Vol17.NO3 2007.8 月 3 马文蔚. 物理学教程M.北京：高等教育出版社 2007.6 4 戴岩伟，许树玲.试析对称性在电磁学中的应用J. 安阳师范学院学报. 2008.7 5 郑长波，张萍.对称性原理在电磁学中的应用J.南阳师范学院学报（物理 与电子工程学院）2007