工程科技电磁场理论

1、第 六 章电磁感应 Time-Varying Electromagnetic Field 第六章 电磁感应 下 页 电磁感应定律和全电流定律 正弦电磁场 序 电磁辐射 电磁场基本方程、分界面上的衔接条件 动态位及其积分解 返 回 坡印廷定理和坡印廷矢量 第 六 章电磁感应 6.1.1 电磁感应定律（Faraday s Law） 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感 应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。 电磁感应定律： t e d d? ? 负号表示感应电流产 生的磁场总是阻碍原磁场 的变化。 Faraday s Law and Ampere s Circuital Law 6.1电磁感

2、应定律和全电流定律 图4.1.1 感生电动势的参考方向 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 1.回路不变，磁场随时间变化 S B d d d ? ? ? ? ? S tt e ? 又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称 为变压器电势。 图4.1.2 感生电动势 根据磁通变化的原因，分为三类： e 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 2.磁场不变，回路切割磁力线 lBd)( d d ? ? l t e ? 称为动生电动势，这是发 电机工作原理，亦称为发 电机电势。 图4.1.3 动生电动势 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 3.磁场随时间变化，回路切割磁力线 S B lBdd

3、)( d d ? ? ? ? ? Sl tt e ? 实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路中 就有感应电动势。与构成回路的材料性质无关（甚 至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流 产生。 e 下 页上 页返 回 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？ 思考 第 六 章电磁感应 6.1.2感应电场（Inducted Electric Field） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种 电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称 之为感应电场。 ? ? ? ? ?S B SElEd d)(d ii t sl t? ? ? B E i图4.1.4 变化的磁场产 生感应

4、电场 在静止媒质中lEd i ? ? l e 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化 的磁场是产生的涡旋源，故又称涡旋电场。 i E t? ?B 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 图4.1.5 变化的磁场 产生感应电场 t? ? ? B E 若空间同时存在库仑电场 , 即则有, i EEE? C 表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。 下 页上 页返 回 根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？ 思考 第 六 章电磁感应电磁感应 0dd 2 ? ? Sl SJlH 6.1.3全电流定律（Ampere s Law ） 图4.1.6交变电路用 安培环路定律 问题的提

5、出 i Sl ? ? 1 ddSJlH 思考 经过S 1面 经过S 2面 i l ? ? l H d 下 页上 页返 回 为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？ 原因所在？ 第 六 章电磁感应 电流连续性原理 0)(?H Stokes theorem ? ? Sl SJlHdd 矢量恒等式 S D JlHd)(d? ? ? ? ? t Sl 0)(?H 矢量恒等式 恒 定 场时 变 场 下 页上 页返 回 0? J JH ? 所以 tt? ? ? ? ? ? D J ? 因为 0)(? ? ? ? t D J 所以 t? ? ? D JH 所以 第 六 章电磁感应 S D JlHd)(d

6、? ? ? ? ? Sl t 变化的电场产生位移电流（ Displacement Current ），电流仍然是连续的。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 dd SS i t q S tt ? S D i S ? ? S J d 1 = 下 页上 页返 回 图4.1.7交变电路用安培 环路定律 第 六 章电磁感应 全电流定律 不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生 磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。 t? ? ? D JH 微分形式 dc d)(dii t lS ? ? ? ? ? S D JlH积分形式 其中，位移电流密度 d J t D ? ? ? 下 页上 页返 回 第第 六

7、六 章章电磁感应电磁感应 解： 忽略边缘效应和感应电场 d tu ED d u E )( , ? ? 位移电流密度 位移电流 ) d d ( d t u dt D J ? ? ? ? ? cd d d ) d d (di t u C t u d S i S ? ? ? SJ 电场 例 6.1.1 已知平板电容器的面积 S, 相距 d, 介 质的介电常数， 极板间电压 u( t )。试求位移电 流 i d；传导电流 ic 与 i d 的关系是什么? ? 图4.1.8传导电流与 位移电流 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 6.3 电 感 6.3 .1 自感（Self-Inductance）

8、回路的电流与该回路交链的 磁链的比值称为自感。 LI S ? ? S B d ? 即 H（亨利） I L ? ? L = 内自感 L i + 外自感 L 0 Inductance 求自感的一般步骤： 设),( 0i LLLI?BH A 图3.7.1 内磁链与外磁链 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 I l ? ? l H d 例 6.3.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。 1. 内导体的内自感)0( 1 ? 解: S B d d?磁通 , 2 2 1 ? ? I H ? 匝数 2 1 2 ? ? ? ? ? I I N 8 01 1 l I L i i ? ? 内自感 因此，

9、? ? S i N?d 1? ? 1 0 2 1 2 2 1 0 d 2 ? ? ? ? ? ?lI 8 0 lI? ? 下 页上 页返 回 图3.7.2 同轴电缆截面 2 2 1 ? ? I ? 2 2 1 ? ? I ? ? ? ? d 2 2 1 0 l I ? 第 六 章电磁感应 2. 外导体内自感) ( 32 ? 图3.7.3 同轴电缆 2 2 2 3 22 300 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? II B 由例3.2.2 知 ?ddd 2 lBSB i ? )(8 )( )(2 ln)( 2 2 2 2 3 2 2 2 30 2 2 2 3 2 30 2 32 2

10、2 2 3 2 30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lll ? ? 3 2 d 1 2 ? ? ?BlN I Li 2 2 2 3 2 2 3 ? ? ? ? ? I I N匝数 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 3. 外自感)( 21 ? 1 2000 0 ln 2 d 2 12 1? ? ? ? ? ? ? ? ? l I II L ? ? 2 0I B? ? ? ? d 2 dd 0 00 l I ? 总自感 210 ii LLLL? 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? RD R xl xDx I d

11、 )( 11 2 0 ? ? R RDIl? ?ln 0 ? R RDl I L ? ?ln 0 0 ? ? ? ? )(22 00 xD I x I BI ? 设 总自感为 R RDll LLL i ? ?ln 4 2 00 0 ? 0 2LLL i ?总自感解: 内自感, 8 0l L i ? ? 解法一 0 L?B 由 例 6.3.2 试求半径为R的两平行传输线自感。 图3.7.4 两线传输线 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 zRDx zRx RD RI R RDI eA eA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ln 2 0 2 0 1

12、 ? ? 解法二 0 L?A 由 lAlA l 21 d? ? lA?IL R RDlI 0 0 ln ? ? ? ? R RDl I L ? ?ln 0 0 ? 图3.7.5 双线传输线 下 页上 页返 回 z e I 1 20 ln 2? ? ?A 第 六 章电磁感应 6.3.2 互感（Mutual Inductance） 互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生 的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位 置及周围媒质有关。 计算互感的一般步骤： 设 d 2 2121111 ? ? s SB BHI 1 21 21 I M? A 21 M?可以证明 2 12 12 I M ? ? ,

13、12121 IM? 1 21 21 I M ? ? H（亨利） 下 页上 页返 回 图3.7.6 电流I1 产生与回路 L 2交链的磁链 第 六 章电磁感应 图3.7.7 两对传输线的互感 解： 设传输线 AB带电，求穿过 CD 回路的磁链 导线B作用 BD BC BB D DlI ln 2 0 mm ? ? 合成后 AC AD S AA D DIl ln 2 d 0 mm ? ? ? SB 导线A 作用 ? ? 2 0 I B? 1) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映 了什么物理意义？ 例 6.3.3 试求图示两对传输线的互感。 BDAC BCAD BA DD DDlI ? ? ?ln

14、 2 0 mmm ? ? BDAC BCAD DD DDl M ? ? ?ln 2 0 ? 思考 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 2) 铁板放在两线圈的下方 ,互感增加否？ 如何计算？ 3） 铁板放在两线圈之间，互感、自感是否增加？ 4）如何绕制无感电阻？ 图3.7.8 一块无限大铁板置于两线圈的下方 图3.7.9 一块无限大铁板置于两线圈之间 图 3.7.10 无感线圈 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 6.3.3 诺依曼公式（Neumann s Formula） 1. 求两导线回路的互感 互感 ? ? ? ? 21 12 21 1 21 21 dd 4 ll o M RI M

15、 ll? 设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为 ? ? 1 110 d 4 l R Il A ? 穿过回路 2 的磁通为 ? ? ? 21 2 110 d) d ( 4 ll R I l l? ? ? 2 221 d l lA 图3.7.11 两个细导线电流回路 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 2. 用诺依曼公式计算回路的外自感 外自感 ? ? ? 21 210 0 dd 4 ll RI L ll? ? ? 1 110 d 4 l R Il A ? 电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为 ? ? ? 212 210 2 dd 4 d lll R I ll lA ? 与 l

16、2 交链的磁通为 设电流I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外 表面轮廓 l2所限定的面积。 下 页上 页返 回 图3.7.12 线圈的自感 第 六 章电磁感应 ? 媒质为线性； ? 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）； ? 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。 假设： 磁场能量的推导过程 6.4.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy） 6.4 磁场能量与力 Magnetic Energy and Force ? ? ? n k kk n i n j jiij n k kk IIIMILW 1111 2 m 2 1 2 1 2 1 ? ) 0 ( ? i

17、 自有能互有能 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 由矢量恒等式 AHHAAH?)( 6.4.2 磁场能量的分布及磁能密度 ( Energy Distribution and Energy Density) ? ? ? k n k k IW? 1 m 2 1 ? ? ? ? n k k V V k 1 d 2 1 JA ? ? S Vd 2 1 HA ? ? ? ? l A d 2 1 1 n k l k k I ?n 得VVW VV d 2 1 d )( 2 1 m? ?BHAH 0 ? ? SV VBHSAHd 2 1 d)( 2 1 下 页上 页返 回 第一项为 0 2 d, 1 ,

18、 1 rS rr 2 ?AH 由于?r所以时， 第 六 章电磁感应 VVBHdd 2 1 mm? ? VV wW J（焦耳） 磁能密度 ? ? 2 2 m 2 1 2 1 2 1B Hw?BH 3 mJ 磁场能量是以密度形式储存在空间中。 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 解: 由安培环路定律 ? ? ? ? ? ? ? ? 12 1 0 2 2 2 1 0 22 2 ? ? ? ? dlHdlH ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 0 ln 4 1 4 ? ?lI 自感 ? ? ? ? ? ? ? 1 20 2 m ln 4 1 2 2 ? ?l I W L 例 6.4.1 试求长

19、度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆 储存的磁场能量与自感。 磁能? ? VW V d 2 1 m BH ? V V H d 2 1 2 0 ? 1 2 1 1 0 22 ? ? ? ? ? ? ? ?eeH II 212 2 ? ? ? ?eH I 下 页上 页返 回 图3.8.1 同轴电缆截面 第 六 章电磁感应 6.4.3 磁场力( Magnetic Field Force) 1. 安培力BlF? ? l Id 解:定性分析场分布 B 板的磁场) ( 2 0 y a I eB? ? A 板受力 ? ? S S BKFd ? ? )( 2 )(d 0 0 y a z a I yb a I

20、 ee ? )( 2 2 0 x a bI e? ? 例3.8.2试求载流导板间的相互作用力。 下 页上 页返 回 图3.8.2 两平行导板间的磁力 第 六 章电磁感应 2. 虚位移法（Method of False Displacement) 电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功 ? 常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提 供磁场力作功。 constm dd ? ? k I Wgf n个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移 dg，系统的功能守恒是 gfWWddd m ? 广义力 const m ? ? ? ? k I g W f gfII n k kkk

21、 n k k d) 2 1 (d)(d 11 ? ? ? ? 即 下 页上 页返 回 第 六 章电磁感应 ? 常磁链系统 constm dd ? ? k Wgf ? 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供 克服感应电动势的能量 广义力 const m ? ? ? ? k g W f ? 取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁 能，便可求得相互作用力。 两种假设的结果相同，即 const m const m ? ? ? ? ? ? ? kk g W g W f I? 0d m ?W 下 页上 页返 回 第第 六六 章章电磁感应电磁感应 解：系统的相互作用能为 21m IMIW M

22、? BmT? 用矢量表示为 例 6.4.3 试求图中载流平面线圈的转矩。 选a为广义坐标，对应的广 义力是转矩， T 0 表示磁路对试棒的作用力为吸力 (沿x轴方 向）, 这也是电磁阀的工作原理。 d? ? NIdH l lH 例 6.4.4 试求磁路对磁导率为?的试棒的作用力， 试棒截面积为。 ba? xabHHd) 22 ( 2 0 2 ? ? d NI H ? 下 页上 页返 回 图3.8.4 磁路对磁导率为m试 棒的作用力 第 六 章电磁感应 3. 法拉第观点 法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂 直方向受到侧压力, 其量值都等于 ? ? 22 1 2 1 2 2 B HBHf? N/m 2 图3.8.7 载流导体位 于铁板上方 例 3.8.5 试判断物体受力情况。 下 页上 页返 回 图3.8.5 向量管受力 图3.8.6 电磁铁 第 六 章电磁感应 若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功 , 过