造桥选址问题 最短路径4 造桥选址问题 最短路径2课件

1、13.4 课题学习课题学习 - 最短路径问题（2） 博闻强记，多思多问，博闻强记，多思多问， 取乎法上，持之以恒。取乎法上，持之以恒。 问题问题 2 2 （造桥选址问题）如图，A和B两 地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直。） A B M N a b 思维分析 B A 1、如图假定任选位 置造桥，连接 和，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎 样确定什么情况下最短 呢？ 2、利用“ 两点间，线段最短” 解决 问题我们遇到了什么障碍呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前 提下把桥转化到一侧呢？

2、什么图形变换能 帮助我们呢？ 思维火花 各抒己见 1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连. 上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？ 请检验. 合作与交流 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决 B A A1 M N 如图，平移A到A1，使AA 1 等于河宽，连接A1B交河 岸于作桥，此时路 径最短. 理由；另任作桥，连接，. 由平移性质可知，. AM+MN+BN转化为，而转 化为. 在中，由三角形三边关系知A1N1+BN1A1B 因此 AM+MN+BN 作法：1.将点B

3、沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得BNEM 且BN=EM, MN=CD, BD BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD处，AB两地的路程最短。 A B M N E C D 问题延伸一 如图，A和B两地之间 有

4、两条河，现要在两 条河上各造一座桥 MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直） A B 思维分析 如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ Q N A B M P 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长 . 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处 思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移 A点至 AA 1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A 1、B点）

5、和一条河建桥（ PQ） A1 A B 2、利用基本问题的解决方法确定桥 PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移 A 1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ. P Q A2 A1 A B 3、确定PQ的位置，也确定了 BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥 MN的位置. P Q A1 A M N P Q A1 A 连接A 1P交A1的对岸于点，在点处建桥 M N P Q A2 A1 A B 问题解决问题解决 沿垂直于河岸方向依次把 点A 1、A2，使A1 ，A 1A2 ； 连接A 2交于点相邻河 岸于点，建桥； 连接A 1交A1的对岸于 点，建桥； 从点到点的最短路 径为MMN N M P Q A1 A B 思维方法二 沿垂直于第一条河岸方 向平移点至A 1点，沿垂直 于第二条河岸方向平移点 至B 1点，连接A1B1 分别交 A、B的对岸于N、P两点， 建桥MN和PQ. 最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB 转化为 AA 1+A1B1+BB1. 思维方法三 沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B、B ，使 BB PQ，BB MN； 连接B