高考数学二轮复习核心考点特色突破专题14直线与圆1含解析

1、专题 14 直线与圆（ 1）【自主热身，归纳总结】1、在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2 ， 1) 的圆 C与直线 x y 1 相切，且圆心在直线y 2x 上，则圆 C 的标准方程为 _ _【答案】： (x 1) 2 (y 2) 2 2解法 1( 几何法 )点 A(2 ， 1) 在直线 x y 1 上，故点A 是切点过点A(2 ， 1) 与直线 x y 1 0 垂直x y 3，x 1，的直线方程为x y 3，由解得所以圆心C(1， 2) y 2x，y 2，又 AC （ 2 1） 2（ 1 2） 2 2，所以圆 C 的标准方程为 (x 1) 2 (y 2) 2 2.2、 在平面直角坐标系x

2、Oy中，直线x 230 被圆 ( 2)2 ( 1) 2 4 截得的弦长为yxy2 55【答案】： 5 .【解析】圆心为 (2 ， 1) ，半径 r 2.|2 2 1 3|35圆心到直线的距离 d1 45，所以弦长为2 r 2 d2 22235 2255.553、若直线与圆始终有公共点， 则实数 m 的取值范围是【答案】：0 m 10.【解析】因为，所以由题意得：, 化简得 m55即 0 m10.4、 在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线( mR) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为1【答案】：( x 1) 2y2 2.【解析】由直线 mx y2m 1 0 得 m(

3、 x2) ( y1) 0，故直线过点 (2 ， 1) 当切线与过 (1 ，0) ，(2 ， 1) 两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r 1 1 2，故所求圆的标准方程为( x 1) 2 y2 2.5、圆心在抛物线y 21x2 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为_212【 答案】： ( x 1) y 12思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y 轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径因为圆心在抛物线y 12 上，所以设圆心为 ( ，) ，则a2 2 . 又圆与抛物线的准线及y轴

4、都相切，故12xa bbb2，由此解得1 ，所以所求圆的方程为212| a|ra，( x1) y1.1b2 r12解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标6、在平面直角坐标系12 ( y2222xxOy中，已知圆 C： ( x 4)8) 1，圆 C：( x 6) ( y 6) 9，若圆心在轴上的圆 C同时平分圆 C1 和圆 C2的圆周，则圆 C的方程是 _7、.在平面直角坐标系xOy中，已知过点(1,1) 的直线l与圆 (x 1)2 ( 2) 2 5 相切，且与直线My

5、ax y 1 0 垂直，则实数 a _.1【答案】： 2思路分析可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程( x 1) a( y 1) 0，再令圆心到切线的距离等于半径因为点M 在圆上，所以切线方程为(1 1)( x 1) (1 2)( y 2) 5，即2x y 10. 由两直线的法向量1(2 ， 1) 与( a, 1) 垂直，得2a 1 0，即 a 2.思想根源以圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 上一点T( x0， y0) 为切点的切线方程为( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b)2 r 2.22分成长度相等的四段弧，则228、 若直线 l ： y

6、xa 和直线 l ： yx b 将圆 ( x 1) ( y2) 8a b12 _.【答案】： 189、 若直线 3x 4y m 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 始终有公共点，则实数m的取值范围是 _【答案】： 0,10【解析】： 圆的标准方程为( x2 ( y 2)2d| 38 m|1) 1，故圆心到直线距离22 1.3 4即 | m5| 5，解得 0 m10.10、在平面直角坐标系xOy 中，过点P( 2,0) 的直线与圆x2 y2 1 相切于点T，与圆 ( xa) 2 ( y3) 2 3 相交于点 R， S，且 PT RS，则正数 a 的值为 _【答案】： 422【解析】： 因为

7、 PT与圆 x y 1 相切于点 T，所以在Rt OPT中， OT 1，OP 2， OTP 2 ，从而 OPT22 6 ， PT 3，故直线 PT 的方程为 x3y 2 0，因为直线PT截圆( x a) ( y3) 3 得弦长RS3，设圆心到直线的距离为，则 | a3 2| ，又3 232，即3，即 |3 2| 3，解得dd2dd2aa 8， 2,4 ，因为 0，所以a 4.a11、定义：点 M (x0 , y0 ) 到直线的有向距离为已知点 A( 1,0) ,B(1,0) ，直线 m 过点 P(3,0) ，若圆上存在一点 C ，使得 A, B,C 三点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线

8、 l 的斜率的取值范围为【答案】： ( ,34【思路分析】由“A, B,C 三点到直线 m 的有向距离之和为 0”知，动点 C 在一条直线上，又因为点C 在圆上，故问题转化为该直线与圆有公共点，此时圆心(0,18) 到该直线的距离小于等于半径 9.3【解析】：设直线 m 的斜率为 k ，则直线 m 的方程为 yk( x3) ，即，设点 C ( x0 , y0 ) ，则点 A, B,C 三点到直线m 的有向距离分别为，由得，即，又因为点在 C 圆上，故，即 k3.412、 已知圆 O： x2 y24，若不过原点O的直线 l 与圆 O交于 P， Q两点，且满足直线OP， PQ， OQ的斜率依次成等

9、比数列，则直线l 的斜率为 _【答案】： 1思路分析由直线 PQ的方程与圆的方程联立成方程组，将点P， Q的坐标用直线方程中的参数k，b 表示出来，进而将， 的斜率用k，b表示，再根据，的斜率成等比数列求出k的值OP OQOP PQ OQ当直线 PQ垂直于 x 轴时，显然不成立，所以设直线PQ为 y kx b( b0) ，将它与圆方程联立并消去y 得2221122)，则1 2b2 412 2kb1 21( k1) x 2kbx b 40，设 P( x， y) ， Q( x， yx xk2 1， x x k2 1 ，因为 y y ( kx222b24 22 22 42b2124 222k b b

10、 ky ykbb)( kx b) k x x kb( x x ) b k ，故 k kOQ k ，21 212k222OPx1x221k 1k 1b 4即 b2( k2 1) 0，因为 b0，所以 k2 1，即 k 1.x2y2解后反思本题可推广到椭圆中：已知椭圆C：a2 b2 1( ab0) ，若不过原点O 的直线 l与椭圆 C 交于，两点，且满足直线，的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为 b.P QOP PQ OQa113、已知线段 AB的长为2，动点 C满足 CA CB( 1. 当两圆外切或外离时，1 11，解得3；圆B内切或内含于圆COB244时，1153 1 ，解得 ( 舍) ，故

11、负数的最大值是 .OB244【问题探究，变式训练】例 1、已知圆 C： ( x a) 2( y a) 2 1( a0) 与直线 y 3x 相交于 P， Q两点，则当 CPQ的面积最大时，实数 a 的值为 _5【答案】21【解析】：因为 CPQ的面积等于2sin PCQ，所以当 PCQ90时， CPQ的面积最大，此时圆心到直线 y 3x 的距离为22|3 a a|5，因此210，解得 a .22【变式 1】、 .已知直线 l 过点 P(1,2) 且与圆 C： x2y2 2相交于 A， B 两点， ABC的面积为 1，则直线 l的方程为 _【答案】 3x 4y 5 0 或 x 11当直线斜率存在时

12、，设直线的方程为y k( x 1) 2，即 kx y k 2 0. 因为 S2CA CBsin ACB12 2sin ACB1，所以 sin ACB 1，即 sin ACB90，所以圆心 C到直线 AB的距离 1，所以 2| k2| 1，解得k33 4 5 0；当直线斜率不存在时，直线方程为x为 1，所以k2 1 ，所以直线方程为4xy 1，经检验符合题意综上所述，直线方程为3x 4y 5 0 或 x 1.【变式 2】、在平面直角坐标系12222222xOy中，圆 C： ( x 1) y 2，圆 C：( x m)( y m) m，若圆C上存在点 P 满足：过点 P 向圆 C1 作两条切线PA，

13、PB，切点为 A， B， ABP的面积为1，则正数 m的取值范围是_ 【答案】： 1，3 2 3思路分析 注意到 ABP 的面积是定值，从而点P 的位置应该具有某种确定性，故首先由ABP的面积来确定点 P 所满足的条件，进而将问题转化为以C1 为圆心的圆与以C2 为圆心的圆有公共点的问题来加以处理如图，设 P(x ， y) ，设 PA， PB的夹角为 2 .12222PA322PA ABP 的面积 SPA sin 2 PA sin cos PA 1，即2PA PC PA 2，解得2PCPC1112，所以 PC1 2，所以点 P 在圆 (x 1) 2 y2 4 上5所以 | m 2| m 12m

14、2 m 2，解得 1m 3 23.解后反思本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解决这个问题，首先要确定点P所满足的条件，为此，由 ABP的面积来确定点P 所满足的条件是解决本题的关键所在【变式3】、已知点 A(1 ， 0) 和点 B(0 ， 1) ，若圆 x2y2 4x 2yt 0 上恰有两个不同的点P，使得 PAB1的面积为 2，则实数t 的取值范围是_【关联 1】、过圆 x2 y2 16 内一点 P( 2， 3) 作两条相互垂直的弦AB和 CD，且 ABCD，则四边形ACBD的面积为 _【答案】： 1922AB222CD2【解析】：设 O到 AB 的距离为d1， O到 CD的距离为d2，则

15、由垂径定理可得d1 r 2， d2 r 2，226AB2221319由于 AB CD，故 d1 d2，且 d1 d2 2 OP2 ，所以 2 r d1 16 2 2 ，得 AB 38，从而四边11形 ACBD的面积为 S 2ABCD 2 38 38 19.解后反思解决直线与圆的综合问题时，需要充分利用圆的几何性质进行转化本题结合条件，利用垂径定理，通过整体计算，实现了简化的目的6【关联 2】、 已知圆 O： x2 y2 4，点 M(4,0) ，过原点的直线 ( 不与 x 轴重合 ) 与圆 O交于 A， B 两点，则 ABM的外接圆的面积的最小值为 _25【答案】：4 22 Dx Ey F0(2

16、21111【解析】：设 ABM的外接圆的方程为 x yDE4F0) ， A( x ， y ) ，则B( x， y ) ，222222111111111111所以 x y Dx Ey F 0， x y Dx Ey F 0，由得 Dx Ey 0 ，又 x y 4，由得 4，所以外接圆方程为2y2 40.又圆过点 (4,0)，所以424 40，FxDx EyD解得 D 3，所以圆方程为x2 y23x Ey 4 0. 所以半径 R19 E2 16125E2，当 E0时， R22525最小，为 2，所以 ABM的外接圆的面积的最小值为4 .【关联3】、在平面直角坐标系xOy 中，已知点 P(3,0) 在

17、圆内，动直线 AB过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点，若 ABC的面积的最大值为 16，则实数 m 的取值范围为【答案】【解析】圆 C的标准方程为 ( x m) 2 ( y 2) 2 32，圆心为 C( m,2)，半径为 4 2，当 ABC的面积的最大值为 16 时， ACBo4，所以 4CP 4 2，即 16( m 3)2290 ，此时 C到 AB的距离为(02) 32，解得 2 3 | m 3| 27，即 m例 1、 在平面直角坐标 系 xOy 中，已知点 A( 4， 0) ， B(0 ， 4) ，从直线 AB上一点 P 向圆 x2y2 4 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，

18、D. 设线段 CD的中点为 M，则线段 AM长的最大值为 _【答案】： 3 2思路分析P 在直线 AB： yx 4 上，设 P(a ，a 4) ，可以求出切点弦CD的方程为ax (a 4)y 4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值解法 1( 几何法 )因为直线 AB的方程为 y x 4，所以可设 P(a ， a 4) ，设 C(x ， y ) ，D(x ， y ) ，所以 PC1122方程为 xx yax 1（ a4） y1 4，y 4， PD： x xy y 4，将 P(a ， a 4) 分别代入 PC， PD 方程，则直1122ax （ a

19、4） y 4，22线 CD的方程为 ax(a 4)y 4，即 a(x y) 4 4y，所以直线 CD过定点 N( 1，1) ，1 2又因为 OM CD，所以点 M在以 ON为直径的圆上 ( 除去原点 ) ，又因为以ON为直径的圆的方程为x 2 1 21y 22，712122所以 AM的最大值为 4 223 2.2解法 2( 参数法 ) 因为直线 AB的方程为y x4，所以可设 P(a ， a 4) ，同解法 1 可知直线 CD的方程为 ax4 4y (a 4)y 4，即 a(x y) 4 4y，得 a x y . 又因为 O，P， M三点共线，所以ay (a 4)x 0，得 a4x. 因为 a

20、4 4y4x，所以点 M的轨迹方程为12121y xx yyxx y2 ( 除去原点 ) ，所以 AM的最大值221 2122为 42 223 2.解后反思此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1 运用了几何法，解法2 运用了参数法，消去参数a 得到轨迹方程另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论【变式1】、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆，点 A(2，0) ，若圆 C 上存在点 M ，满足，则点 M 的纵坐标的取值范围是【答案】： 7 , 722思路分析： 根据条件可得动点M 的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的

21、位置关系进行处理.解 题 过 程 ： 设 M ( x, y) ， 因 为所 以， 化 简 得，则圆与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为 x1可得，所以点 M 的，代入2纵坐标的取值范围是 7 ,7 22解后反思： 在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.【变式2】、在平面直角坐标系xOy中，已知B， C 为圆 x2 y2 4 上两点，点A(1,1) ，且 AB AC，则线段BC的长的取值范围为_【答案】 . 62，62思路分析本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质

22、，把求BC 的长转化为求2AM的长，而 A 为定点，思路1，求出 M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，8设出 AMx， OM y，寻找到 x， y 之间的关系式，通过线性规划的知识去处理解法 1 设 BC的中点为M( x， y) 因为22222，OB OM BM OM AM所以 4 x2 y2 ( x 1) 2 ( y 1) 2，1 21 23化简得 x2 y2 2，所以点 M的轨迹是以1162， 2 为圆心，2为半径的圆，所以 AM的取值范围是6 2，62 ，22所以 BC的取值范围是

23、6 2，6 2解法 2 设 BC的中点为M，设 AM x，OM y.因为22222，所以2y2 4.OC OM CM OM AMx因为 OA2，所以 x y2， x2y， y 2 x.如图所示，可得 x6 2，6 2，22所以的取值范围是 6 2，6 2BC解后反思求线段的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解【变式 3】、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx 20 与直线l2：ky 2 0 相交于点，则当yxP9实数 k 变化时，点 P 到直线 x y 4 0 的距离的最大值为 _【答案】：32思路分析因为直线 l 1， l2 分别经过

24、定点A(0,2) ， B(2,0)，且 l 1 l 2，所以点 P 在以 AB为直径的圆 C上解法1当k 0 时，点 (2,2) 到直线xy40 的距离为 22；当kkx y2 0，0时，解方程组Px ky2 02 2k 2 2kP 的坐标为2 2k 2 2k，所以点 P 到直线 x y 4 0 的距离为1 k2 1 k2 4得两直线交点1 k2 ， 1 k22kk34 1 k2 1k114 1 k2 14 22，为求得最大值，考虑正数k，则有 1 k2 1 2，所以223 2.kk解法 2 圆 C 的圆心为 C(1,1) ，半径 r 2. 因为圆心 C 到直线 l ：x y 4 0|1 14

25、|的距离为 d22 2，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值为 d r 3 2.解后反思 直接求出 l 1，l 2 的交点 P 的坐标 ( 用 k 表示 ) 虽然也能做，但计算量较大找出点P 变化的规律性比较好【关联 1】、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆：2y2 4x0 及点( 1，0) ， (1,2) C xAB(1) 若直线 l AB，与圆 C相交于 M，N两点， MN AB，求直线l 的方程；2 2(2) 在圆 C上是否存在点 P，使得 PAPB 12？若存在，求点 P 的个数；若不存在，请说明理由规范解答 (1)圆 C的标准方程为 ( x2)2 y2 4，所以圆心 C(2,0)，半径为 2.2 0因为