等差数列专题教师版

1、20160907等差数列专题教师版 9 / 11 高二第1讲 等差数列 第一部分知识重点 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 d表 1 .等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 示. 2. 等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an= a1+(n- 1)d = (n m)d =P. 3. 等差中项 如果三个数x, A, y组成等差数列，那么 A叫做x和y的等差中项，如果 A是x和 y的等差中项，贝y A=字. 4. 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广：an = am+

2、 (n m)d(n, m N). (2) 若an为等差数列，且 m n= p+ q, * 贝U am+ an= ap+ aq( m, n, p, q N). (3) 若an是等差数列，公差为 d,则ak, ak+ m, ak+ 2m ( k, mlE N)是公差为md的等 差数列. (4) 数列Sm, Szm Sm, Ssm Sm,也是等差数列. (5) San1 = (2 n 1) an. nd (6)若n为偶数，则S偶一S奇=; 若n为奇数，则S奇一S偶=a中(中间项). 5. 等差数列的前 n项和公式 n a1 + an ,或等差数列an的首项是ai,公差是d, 若已知首项a1和末项an

3、,则S =2 则其前 n项和公式为 Sn= na1 + nd. n, 6. 等差数列的前 n项和公式与函数的关系 S = + a1 2 n,数列 an是等差数列的充要条件是 S = An + Bn( A, B为常数). 7. 最值问题 在等差数列an中，a10, dv0,则Sn存在最大值，若 ay 0, d0,贝U Sn存在最小值。 第二部分基础回顾 1.已知等差数列an中，a3=9, a9=3，则公差d的值为( 2. A. C. 已知数列a n的通项公式是an=2n+5, 以7为首项，公差为2的等差数列 以5为首项，公差为2的等差数列 3.在等差数列an中，a1=13, a3=12 , A

4、. 23B. 24 4两个数1与5的等差中项是( 则此数列是( B .以7为首项，公差为 5的等差数列 D .不是等差数列 an=2，则n等于( C. 25 ) D. 26 5. A. 1 (2005?黑龙江) a1+a8 a4+a5 B. 3C. 2 如果数列an是等差数列，则( B. a1+a8=a4+a5 ) C. a1+a8 a4+a5 D. aia8=a4a5 n项和公式: 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 Sn= a1 + a2 + a3 + an， Sn= an+ an 1 + + a1， n a1 + an +得：Sn = 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问

5、题，要善于设元. (1) 若奇数个数成等差数列且和为定值时二可设为匚二and,a二d，_a，a 土d，a组二. (2) 若偶数个数成等差数列且和为定值时可设为二，a- 3d，a-d7a+ d，a+ d，-， 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 定义法：对于n2的任意自然数，验证 an- an1为同一常数； 等差中项法：验证 2an1 = an + an2(n3，n N*)都成立； 通项公式法：验证 an= pn+ q; 前n项和公式法：验证 S = An2+ Bn 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 等差数列的判断方法 (1) (2) (3) (4

6、) 注： 回顾: 考点1：等差数列的通项与前n项和 题型1：已知等差数列的某些项，求某项 再考虑基本量法 【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质, 例 1】已知a 为等差数列, a15 8, a60 20， 则a75 解：方法1: ai 14d a60 59d 20 4 15 方法2: 方法3: 64 4 a1 74d 74 15 15 a60 a15 20 8 4 60 15 45 15 5 a60 (75 60)d 20 15 b，则 15a b 8 an 60a b 20 16 8 75a b 75 24 45 3 ai a1 a75 a75 a75 令an 24 15 24

7、 a兰b 45 为第4项. 方法4: an为等差数列, a15, a30, a45, a60, a75也成等差数列，设其公差为d1，贝U a15为首项，a60 a60a153d 1 208 3d d14 a75 a60 d1 20 424 方法5: an为等差数列, (15,ai5),(60,a60),(75,a75)三点共线 a60 a15a75a60 60 1575 60 20 8a75a75 24 15 45 对应练习：1、已知an为等差数列, amp,an q ( m,n,k互不相等)，求 a- 2、已知5个数成等差数列, 它们的和为 5，平方和为 165，求这5个数. 题型2：已知前

8、n项和Sn及其某项，求项数. 【解题思路】 利用等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d求出a1及d，代入Sn可求 项数n ； 利用等差数列的前 4项和及后4项和求出a1 an ，代入Sn可求项数n . 【例2】已知Sn为等差数列an的前n项和, a49,a9 6, Sn 63，求 n 解: 设等差数列的首项为 a1，公差为d， a1 3d 则 a1 8d a118, d 3 对应练习: 这个数列的项数n. 3 Sn 18n-n(n 2 3、若一个等差数列的前 1)63 n1 6, n2 4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,求 4.已知Sn为等差数列 an 的前 n 项和

9、，a1 1,a4 7, Sn 100，则 an an ai ai ai 题型 Sn 0. a2 a2 a2 3:求等差数列的前 n项和 【解题思路】 (2) 【例3】已知 Sn 1 a3 a3 a3 对应练习: 解: (1) (1)利用Sn求出an,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题 含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论 Sn为等差数列 求 求 (12n an 的前n项和, Sn 12n ai ai ai Sn n2 (1) an a1 ai0 an an a2 a2 a2 12n 1时, as a3 a1 Si aio ； an . 12 1 11， 12(n 1时, 13 13

10、 2n 1) (n a2 ai a2 S10 ai ai 2S6 a2 a2 Sn a3 i)2 13 2n， 11ai， 0，得n 13 an 13 2n. 6 时，an 0 ;当n 7时, a1 a2 a3 S3 12 3 32 27 ； a3 a6 (a7 a8 a9 2(12 a3 a3 2(12 5、已知Sn为等差数列an 62) (12 10 102) 52 ； an a6 62) 12n (a7 a8 an) (12n n2) n212n 72. 的前n项和，Si0 100, Si0010， 求 Sii0 . 列; 考点2 :证明数列是等差数列 【名师指引】 判断或证明数列是等差

11、数列的方法有: 1、定义法：an 1 an d （n N ，d是常数） an 是等差数 、中项法：2an 1 an an 2（n N） an是等差数列; 是等差数列. 例 4】 bn 2bn 3、通项公式法：an 4、项和公式法：Sn 已知Sn为等差数列 an kn （k, b是常数） an 是等差数列; An2 Bn ( A,B是常数, 的前n项和，bn (n n an ). 求证：数列bn是等差数列 解: 方法1：设等差数列 an 的公差为d， Sn nai bn Sn bn 1 数列 方法2 :bn bn a1(n1)d 2 对应练习: 1 -(n 1)d 2 bna11 nd 2 ai

12、 a- 1 (n 1)d(常数) 2 bn是等差数列. a1(n n2 1 a1 2 nd，bn a1(n1)d 2 数列bn 6、设Sn为数列an a1 (n l)d 2a1 nd 2bn 是等差数列. 的前n项和，Sn pnan (nN )，a-,a2. 20160907等差数列专题教师版 2 11 /11 （1） 常数p的值; （2）证：数列 an是等差数列. 考点3:等差数列的性质 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解 Sm n 1、已知Sn为等差数列an 的前n项和， a6 100，则 S1 、知Sn 为等差 数列 an 的前n 项和 ，Sn m,Sm n(n 1、S11 11佝

13、a11) 11 2a6 11a6 1100 ； 2 2 2、方法 1 :令 Sn An2 Bn，则 An2 Bn m 2 2 , 2 A(n m )B(n m) m n Am Bm n n m， A(n m) B 1， 2、 【例5】 解: m），则 2 Sm n A(m n) B(m n) (m n)； 方法2：不妨设 Sm Sn an 1 an an am 1 am (m n)(an1 am) n m 2 ai am n an 1 am Sm n (m n )佝 am n) (m n)； 方法3 :an 是等差数列, 为等差数列 n 20160907等差数列专题教师版 15 / 11 a5

14、 bT n,S n ,m, , m m Sm n m n n n, Sm n三点共线. m n m n m n 对应练习：7、含2n 1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( A.2L2B.2LJ nn Sm n (m n). 8.设Sn、Tn分别是等差数列 an an的前 n项和, Sn T TH，则 考点4:等差数列与其它知识的综合 【解题思路】 1、利用an与Sn的关系式及等差数列的通项公式可求; 2、求出Tn后，判断Tn的单调性. 例 6】 已知Sn为数列 1 2 an的前n项和，Sn -n 2 n ；数列 2 bn 满足: b311， 解: anSnSn 1 bn 2 2bn

15、 1 数列an 设Tn为数列 Sn 1 -n 2 bn bn ,其前9项和为153. bn的通项公式; cn的前n项和，cn (2an 都成立的最大正整数k的值. 1时, 11 一n 2 1时，1 22bn 11 n， 2 a1 S1 2(n 1)2 2 11 . 7n 1) 6 a1， an 1bnbn 1 bn bn 2 6 11)(2bn bn ，求使不等式 1) 是等差数列，设其公差为d . b1 9h 2d 11 36d 153b1 5d 3， bn 3(n 1) 3n 2. Cn (2an 11)(2bn 1) 2(n 5)11 2(3 n 2)1 (2n 1)(2 n 1) 2n

16、 1 2n Tn 1) （汙 2n =) 2n 1 Tn是单调递增数列 1时, Tn minT1 丄对 57 所求最大正整数k的值为37. Tn n N都成立 min k 57 k 57 38 对应练习：9.已知Sn为数列an的前n项和, a1 3， Sn Sn 1 2an(n 2). 课后练习: 数列an的通项公式; 数列an中是否存在正整数 k，使得不等式ak ak 1对任意不小于 成立？若存在，求最小的正整数 k，若不存在，说明理由 1.（2010广雅中学）设数列 an是等差数列，且 a? 8， a15 A. S10 S11 B .S10S11 C . S S10 2.在等差数列 an

17、中, a5120，则 a2 a4 a6 a8 5，Sn是数列 项和，则 3.数列an中，an 4.已知等差数列an 5.设数列an中，a1 2n 共有 k的正整数都 49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时, an的前n S10 10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为 30，则其公差 2,an 1ann 1，则通项 an 20160907等差数列专题教师版 21 / 11 6.从正整数数列1,2,3,4,5,中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第 1964项是. 答案与解析： ak an k_n 对应练习：1、【解析】am一西 m n 设这5个数分别为 2、【解析】 P q

18、m n 2d,a ak q k_ d,a,a ak d,a p(k n) q(m k) m 2d.则 (a 2d) (a d) a (a d) (a 2d)5 (a 2d)2 (a d)2 a2 (a d)2 (a 2d)2165 解得a 1,d 4 当a 1,d 4时，这5个数分别为： 7, 3, 1,5,9 ； 当a 1,d 4时，这5个数分别为： 9,5,1, 3, 7. 3、【解析】 a1 a2 a3a436,an an 1an 2an 3124 a1an 1 a2 an 1 a3 an 2 a Ian 3 4(a1 an) 160 a1 an 40 Sn n(a1 78020n 78

19、0 n 39 2 设等差数列的公差为 d，则d 2 4、【解析】 a 1 5a2 10d2165 Sn 5、【解析】 6、 【解析】 a nSnSn 1 a4 a1 41 方法1：设等差数列的公差为 d ,则 S110 nan 10. 10a1 45d 100 a1 11 100a1 4950d 10 50 1099 100 110a- 110 109d 2 110 c90(a11a100) 0S10 90 2 110(a1 a110)110(a11 a100) a11 2 2 SI10 方法2 :S. Sn pnan，a1 a2， 由知：Sn nan， a100 110 pq (n an 1)an an 1 (n 0(n 1)(anan 1) 2)， 数列an 是等差数列. 题有 多 种 解 a1 a2n a