专题复习：双曲线

1、第七讲双曲线一、学习目标1.2.3.了解圆锥曲线的实际背景， 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.了解圆锥曲线的简单应用.理解数形结合的思想.难辨析4.二、疑1.关于双曲线的定义(1) 集合 P= Mil MF| - |MF| = 2a，其中 |冃冃=2c, a0, c0, a, c为常数，则集合P表示以F1, F2为焦点的双曲线.()(2) 集合 P= M MF| - | MF = 2a, 02a0, c0, a, c 为常数，则集合P表示以F1, F2为焦点的双曲线.()2关于双曲线的方程2 2x y(1) 方程一

2、一=1(m0)表示焦点在x轴上的双曲线.()m n22. (2) 方程mx+ ny = 1(mro, n0,入工0)的渐近线方程是2 2xy-r = 0 ,mn即 m y=0.( )(2)双曲线的离心率越小，双曲线的开口越宽阔.4.关于特殊双曲线(1) 等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于迈(2 2 2 2(2) 若双曲线 字一b = 1(a0, b0)与鲁p= 1(a0, b0)的离心率分别是 -1,e2,贝卜2 +e11-2= 1.(本题中的两条双曲线称为共轭双曲线)()C2三、典例分析例1、(1)2012 三明联考2 2若双曲线x- 1f2= 1上的一点P到它的右焦点的距离为 8,则点

3、P到它的左焦点的距离是(A. 4 B . 12C. 4 或 12 D . 6(2)2012 湖南卷2 2已知双曲线C: 0-古=1的焦距为10,点R2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(2 2aLy-= 1A. 2052 2x y临-20=1B.D.)2x52x_21 202 120 - 802 2x y了-子=1( a,a bQ两点，线段例 2、(1)2012浙江卷如图8- 50- 1所示，Fi, F2分别是双曲线 C: b0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线 FiB与C的两条渐近线分别交于 P,PQ的垂直平分线与例3、已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为F(5,0)，

4、双曲线的实轴为 AA, P为双曲线上一点(不同于A, A)，直线9 线I: X=5交于M N两点.(1)求双曲线的方程；4y=-X,右焦点AP, AP分别与直(2)求证：FM- FN为定值.四、追踪1. (2012 大纲全国)已知Fi、F2为双曲线C： X2 y2 = 2的左、右焦点，点 P在C上,| PFI = 2| PF2I，贝y cos / FiPF2=(1A.43B-53C-34D-5解析：依题意得 a= b=Q2 ,. c= 2. I PF| = 2| PR|，设 I PR| = m 则 I PF| = 2m又| PF| | PR| = 2边=m|PF| = 4迄，|PR| = 2农

5、.(4 (2)2 + (22)2 4 又| F1F2| = 4,. cos/ F1PF2=2 32X 4羽X 2迄 = 4.故选C.答案：C2. (2012 湖南)已知双曲线 C:2孑一1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()2 2X yA 一 = 12052 2X yB.? - 刃=122XyC =180202 2X yD = 120 80 解析：设焦距为2C,则得c= 5.点P（2,1）在双曲线的渐近线 y = bx上，得a = 2b.结a2 2合C= 5，得4b2 + b = 25,解得b = 5, a = 20,所以双曲线方程为 乔一T = 1.205答案：A3.

6、 （2012 课标全国）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在 x轴上，C与抛物线y2= 16x的准线交于 A, B两点，|AB = 4击, A.住 B . 2护 C . 4 D . 解析：设等轴双曲线方程为则C的实轴长为（）x2 y2= a2,根据题意，得抛物线的准线方程为x = 4,代入双曲线的方程得16-y2= a2,因为 |AB = 43，所以 16(273)2 = a2，即 a2= 4,所以 2a=4，所以选C.答案：C2x4. （2012 福建）已知双曲线-2器=1的右焦点与抛物线y2= I2x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（A.* B .坏 C . 3 D . 5解析

7、：y2= 12x的焦点为(3,0), 其渐近线y=x的距离d= 运二0| =62754由题意得，4 + b2 = 9, b2= 5，双曲线的右焦点（3,0）答案：A5. （2012 浙江）如图，F, F2分别是双曲线 C:2 2X y1(a, b0)的左、右焦点,a b是虚轴的端点，直线 FB与C的两条渐近线分别交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与轴交于点A.2 B罟 C.磁 D. 73b解析：依题意得直线FiB的方程为y = -X + b, M点坐标为（3c, 0），那么可知线段 PQ的c垂直平分线的方程为cy=- b(x - 3c),广 b ,I 尸-x + b， 由bly=-bx，解

8、得点P的坐标为一ac bc、a+ c，a+ c丿,y= bx+b, 由 i y= bx，(J ac be、 戸，a/那么可得线段 PQ的中点坐标为，b）代入y =- b（x- 3c）并整理，可得2c2= 3a2,可得e=a=2，故应选B.答案：B6.已知椭圆Ci：2 2X ya+ b2= 1(ab0)与双曲线 C2：2x2-鲁=1有公共的焦点，C2的一条C恰好将线段AB三等分，则（）渐近线与以C的长轴为直径的圆相交于A, B两点.若B. a2= 13D. b2= 2jy = 2x,解析：依题意a2-b2= 5,根据对称性，不妨取一条渐近线y= 2x，由x2 y2la2+ b2=1,ab解得心荷

9、肓，故被椭圆截得的弦长为藩冷又C把AB三等分，所以晋b2 =2a，两边平方并整理得a2= 11b2，代入 a2-b2 = 5 得 b2= 1，故选C.24 = 1的离心率为U5,则答案：C二、填空题2x7. （2012 江苏）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线-m+ 4m的值为解析：由题意，双曲线的焦点在X轴上且m 0，所以e=74=75，所以m= 2.答案：22& （2013 山东泰安调研）P为双曲线X2鲁=1右支上一点，M N分别是圆（X+ 4）2 +15y2 = 4和（X 4）2 + y2= 1上的点，贝U | PMM |PN的最大值为2解析：已知两圆圆心（一4,0）和（4,0）（记为

10、F1和F2）恰为双曲线X2茶=1的两焦点.15当|PM最大，IPN最小时，IPM |PN最大，IPM最大值为P到圆心Fi的距离|PF|与圆F半径之和，同样IPN最小=IPRI 1，从而IPM TPN的最大值为IPFiI + 2 （I PFaI 1）=I PFI I PFI + 3 = 2a+ 3 = 5.答案：52 2X y9. （2012 湖北）如图，双曲线孑一含=1（a, b0）的两顶点为 A1, A 虚轴两端点为 B,B2,两焦点为Fi,B, C, D 则（1）双曲线的离心率e= 菱形F1BF2B的面积S与矩形ABC啲面积S2的比值1 =S2解析：（1）由图可知，点0到直线FiB2的距离

11、d与圆0的半径0A相等,又直线F1B2的方程为-X? + b= 1,即bxcy + bc= 0.所以 d= fe 2 = a,整理得 b2( c2 a2) = a2c2，即(c2 a2)2 = a2c2，得 c2 a2= ac. yjb2 + c2所以e2 e 1 = 0,解得e=U5F1 （负值舍去）.| FiB| OB ab由等面积法得I BE =连接OB图略），设BC与 x轴的交点为E由勾股定理得| BF| =?二云=b.|F1O222 a 则| oe = P| OB2-1 be2 =-进一步得到 S2 = 2|OE 2|EB_ 4a3b=2c又因为 S= 2| F1F2| BiB2|

12、= 2bc,行S c31 3 声 + 2所以=矿歹=于答案：（1）咛；畤三、解答题. 2 210. （2013 安徽质检）已知点M是圆B：（X + 2） + y= 12上的动点，点 A（2,0），线段AM的中垂线交直线 MB于点P.（1）求点P的轨迹C的方程;（2）若直线I : y= kx + mkM0）与曲线C交于R S两点，D（0 , 1）,且有| RD = | SD ,求m的取值范围.解析：（1）由题意得|PM = |PA|，结合图形得| PA TPB| =|BM = 2品 点P的轨 迹是以A, B为焦点的双曲线，且 2a= 2yJ3, a=J5, c = 2,于是b= 1,故P点的轨迹

13、C的2方程为xy=1.3 22 .石y =1,得(1 3k2) X2 6kmx- 3吊3 = 0, (*)|X_当kM 0时，由 0,6km设X1, X2为方程(*)的两根，贝y X1+ X2= 1 3k2,设RS的中点为Mxo, yo），则3 kmmX0= 137，y0=如 = 13?，故线段RS的中垂线方程为m f 1Y3 km、y 13?= C kp-13?丿2将D(0， 1)代入化简得4m= 3k 1,|帚+ 1 3k2 0,故m, k满足524m= 3k2 1.消去k2即得m 4n0，即得nK 0或n4,2 2又 4n= 3k 1 1,且 3k 1工0,1 m 4，且 0,- me

14、| 4，0U (4 ,+s ).11. （2013 云南检测）双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率en”6,直线Q3X 3y+ 5 = 0上的点与双曲线 S的右焦点的距离的最小值等于求双曲线S的方程;设经过点（一2,0），斜率等于k的直线与双曲线 S交于A, B两点，且以A, B, P（0,1）为顶点的 ABP是以AB为底的等腰三角形，求 k的值.2 2x y解析：（1）根据已知设双曲线 S的方程为孑一含=1（a0, b0）./ e= C=, c =酉b2 = c2 a2=-a 2 ,2，2433,右焦点为双曲线S的方程可化为x2 2y2= a2,直线73x 3y+ 5= 0上的点与双曲

15、线 S的右焦点的距离的最小值等于=纠3解方程得a=72.3仗冷+ 52/3双曲线S的方程为x2 2y2= 2.经过点（一2,0），斜率等于k的直线的方程为y = k（x + 2）.根据已知设 A：xi, kxi + 2k) , B(X2, kx2+ 2k),则AB的中点为+ X22k( xi + xp + 4k、2 丿 ABP是以AB为底的等腰三角形 ？ PMLAB如果k = 0，直线y= k（x + 2）与双曲线S交于（迈,0） , （、/2 0）两点，显然满足题目要求.如果k丰0，由PML AB得k X kp心一1.k(X1 + X2) + 4k 2kPMXl+ X2Xl+ X2F-2y2

16、 2, 由 y k(x + 2)得(1 2k2) X2 8k2x 8k2 2 0.1 2& 0,根据已知得= 64k4 + 4(1 2k2)(8 k2+ 2) = 16k2 + 8 0,心芈8k2X1+X21汞,k(X1 + X2) + 4k 22k2 + 2k 1-kPMXl+ X24k2 kx kPM- kxr2 22k+ 2k 1 2k+ 2k J，即 2k2 + 6k - 1 - 0,4k解方程得k1-三护1,3 + 0k2Ik(X1 + X2)+ 4k 2, k X: 1.综上，k 3 2，或 k 0，或 k 212. (2012 上海)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 G：

17、2x2 y2= 1.(1)过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及X轴围成的三角形的面积；(2) 设斜率为1的直线I交G于P、Q两点.若I与圆X2+ y2 = 1相切，求证：OPLOQ(3) 设椭圆G2： 4X2 + y2= 1.若M N分别是G、G2上的动点，且 OML ON,求证：O到直线MN的距离是定值.解析：(1)双曲线C1： X y2= 1,左顶点 右乎，0 ,渐近线方程为：y =Q2x.21.过点A与渐近线y匹 平行的直线方程为 y 72 X + 即y 2x+解方程组卩产,対=7 2x + 1所求三角形的面积为S= 2| OAI y| =半.(2)证明：设直线 PQ的方程是y= X+ b,直线PQ与已知圆相切， 早=1,即b2= 2. 寸2由! 22得 X 2bx b 1 = 0.2x y = 1,1X1 + X2= 2b,设 P(x1, y1)、Qx2, y2)，则 52X1X2= 1 b .又 yiy2 = (xi+ b)( X2+ b),2 OP- OQ= X1X2 + y1y2= 2x1X2 + b( X1 + X2) + b9999=2( 1 b) +