含绝对值的不等式解法典型例题

1、 含绝对值的不等式解法典型例题 能力素质 例 1不等式 |83x| 0 的解集是 A B R C x|x 8 8 D 3 3 分析 |8 3x| 0， 8 3x 0，即 x 8 3 答选 C 例 2绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 A 3 B2 C 2 D 5 分析列出不等式 解根据题意得2 |x| 5 从而 5 x 2 或 2 x 5，其中最小整数为 5，答选D 例 3 不等式 4 |1 3x| 7 的解集为 _ 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形 解原不等式可化为4 |3x 1| 7，即 4 3x1 7 或 7 3x 1 4解之得 5 x 8 或 2 x 1，即所求不等式解集

2、为 3 3 5 8 x| 2 x 1或 x 3 3 例 4 已知集合 A x|2 |62x| 5， xN ，求 A 分析 转化为解绝对值不等式 解 2 |6 2x| 5 可化为 2 |2x6| 5 5 2x 6 5， 即 2x 6 2或 2x 6 2， 1 2x 11， 即 2x 8或 2x 4， 解之得 4 x 11 或 1 x 2 22 因为 x N，所以 A 0 ， 1， 5 说明：注意元素的限制条件 例 5实数 a， b 满足 ab0，那么 A |a b| |a| |b| B|a b| |a b| C|a b| |a b| D|a b| |a| |b| 分析根据符号法则及绝对值的意义

3、解a、 b 异号， |ab| |a b| 答选C 例 6 设不等式 |x a| b 的解集为 x| 1 x 2 ，则 a， b 的值为 A a 1， b3 Ba 1， b 3 Ca 1， b 3 1 3 D a ， b 2 2 分析 解不等式后比较区间的端点 解 由题意知， b 0，原不等式的解集为 x|a b x a b ，由于解集又 为 x| 1 x 2 所以比较可得 a b 1 ，解之得 a 1 ， b 3 a b 2 2 2 答选 D 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组 例 7解关于 x 的不等式 |2x 1| 2m 1(m R) 分析分类讨论 解 若 2m 1 0即

4、m 1 ，则 |2x1| 2m 1恒不成立，此时原不等 2 式的解集为； 若 2m 1 0即 m 1 ，则 (2m 1) 2x 1 2m 1，所以 1 m 2 x m 综上所述得：当 m 1 时原不等式解集为 ； 2 当 m 1 时，原不等式的解集为 2 x|1 m x m 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准 点击思维 例 8 解不等式 3 |x| 1 |x| 2 2 分析 一般地说，可以移项后变形求解， 但注意到分母是正数，所以能直 接去分母 解 注意到分母 |x| 2 0，所以原不等式转化为 2(3|x|) |x|2，整理得 |x| 4 4 4 4 4 ，从而可以解得 x 3 ，解集为

5、x| x 3 3 3 3 说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便 例 9 解不等式 |6 |2x 1| 1 分析以通过变形化简， 把该不等式化归为 等式来解 解事实上原不等式可化为 |ax b| c 或 |ax b|c 型的不 6 |2x 1| 1 或 6 |2x 1| 1 由得 |2x 1| 5，解之得 3 x 2； 由得 |2x 1| 7，解之得 x 3 或 x 4 从而得到原不等式的解集为x|x 4 或 3 x 2 或 x 3 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论 例 10已知关于x 的不等式 |x 2| |x 3| a 的解集是非空集合，则实数 a

6、的取值范围是_ 分析可以根据对 |x 2| |x3|的意义的不同理解，获得多种方法 解法一当 x 2 时，不等式化为 x 2 x 3 a 即 2x 1a 有解， 而 2x 1 5， a 5 当 2 x 3 时，不等式化为 x 2 x 3 a 即 a 5 当 x3 是，不等式化为 x 2 x 3 a 即 2x 1 a 有解，而 2x 1 5， a 5 综上所述： a 5 时不等式有解，从而解集非空 解法二|x 2| |x 3|表示数轴上的点到表示2 和，显然最小值为3 ( 2) 5故可求a 的取值范围为 解法三利用 |m| |n| |m n|得 和 3 的两点的距离之a 5 |x 2| |x 3

7、| |(x 2) (x 3)| 5 所以 a 5 时不等式有解 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性 例 11 解不等式 |x1| 2 x 分析一对 2x 的取值分类讨论解之 解法一原不等式等价于： 2 x 0 x 1 2 x或 x 1 x 2 2 x 0 或 x R x 2 由得 x 1或 2 12 x 2 即 1 ，所以 1 x 2； x 2 2 由得 x 2 综合得 x 1 所以不等式的解集为 x|x 1 2 2 分析二利用绝对值的定义对|x 1|进行分类讨论解之 解法二因为 x1， x 1 |x 1| x 1， x 1 原不等式等价于： x 1 0 x 1 0 1 2 或 1 2 x x

8、 x x x 1 即 1 由得 ； x 1 x 2 2 由得 x 1 即 x 1 2 所以不等式的解集为x|x 1 2 学科渗透 例 12 解不等式 |x 5| |2x 3| 1 分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分 区间讨论，事实上，由于x 5时， |x 5| 0， x 3 时 |2x 3| 0 2 所以我们可以通过3 ， 5将 x轴分成三段分别讨论 2 解 当 x 3 时， x 5 0， 2x 3 0所以不等式转化为 2 (x 5) (2x3) 1，得 x 7，所以 x 7； 当 3 x 5时，同理不等式化为 2 (x 5) (2x3) 1， 解之得 x 1 ，所以 1 x 5； 33 当 x5 时，原不等式可化为 x 5 (2x 3) 1， 解之得 x 9，所以 x5 综上所述得原不等式的解集为x|x 1 或 x 7 3 说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略 例 13 解不等式 |2x 1| |2x 3| 分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝 对值，但这样比较复杂如果采取两边平方，即根据|a| |b|a2 b2 解 之，则更显得流畅，简捷 解原不等式同解于 (2x 1)2 (2x 3)2， 即 4x