标准分及其应用

1、标准分及其应用我国历来是采用原始分数报告学生的学习成绩，并作为选拔考试择优录取的重要依据。由于各科试题难度不同，学生各科成绩分布也不相同，因而用学生各科原始分数相加后的总分来这反映学生个体在总体中的相对位置有较大的局限性。为了克服这种局限性，应将原始分数转变为标准分来报告学生的学习成绩。考试具有评价功能，对考试结果作科学解释，才能得到合理的评价，用标准分比用原始分数评价更科学更合理公正。所以，我国将在1998 年高考中开始实行用标准分录取新生，它是高考制度具体措施的一大改革，又是我国教育评价体系的一大完善，它对中学教学有重要的导向与评估作用。标准分不仅对常模参照考试具有合理的评价，而且对目标参

2、照考试具有重要意义。1. 用百分制原始分数评价的优缺点我国的考试除50 年代曾使用过五分制外，一直使用百分制。从教学评价角度看，百分制所评定的是掌握知识和应用知识的能力；用百分制评定的分数作原始分数，是转换成其它分数形式的基础。1.1用百分制原始分数评价的优点百分制原始分是学习水平测试的一种比较合理的办法。由于试卷所包含的知识点、能力点可以看作是从所学知识能力库中随机抽取出的知识点和能力点样本。考试实际上是学生掌握全部知识和相应能力的数量化水平，用百分制原始分数直观、简便。1.2用百分制原始分数评价的缺点1) 各科标准分的单位是绝对等价的.无论各科的平均分、标准差怎样不同， 一经转换成标准分，

3、就形成以平均数为0、标准差为1 的统一的、固定不变的标准形式。2) 标准分数值的大小、正负，反映某一考分在全体中所处的位置，它是相对分数。3) 标准分是在正态分布曲线的基础上，从平均数开始，以标准差为单位的一段距离。正态分布曲线的位置是由平均数所决定的，形状是标准差决定的。2. 标准分及其转换2.1标准分的定义标准分 z 是以标准差为单位来度量每个考分与平均分之间的离差。xi 是第 i 位学生的原始分数，是平均分数，是标准差，=2.1 标准分的意义1) 各科标准分的单位是绝对等价的 .无论各科的平均分、 标准差怎样不同， 一经转换成标准分，就形成以平均数为 0、标准差为 1 的统一的、固定不变

4、的标准形式。2) 标准分数值的大小、正负，反映某一考分在全体中所处的位置，它是相对分数。3) 标准分是在正态分布曲线的基础上， 从平均数开始， 以标准差为单位的一段距离。正态分布曲线的位置是由平均数所决定的，形状是标准差决定的。2.3标准分 z 的缺陷1) 对于缺乏统计知识的人难以理解、不直观。2) 单位过大；数值出现小数形式，运算不方便。3) 由于参照点 ( 平均数 ) 为 0 ，故有一半左右的标准分为负值。4) 由于标准分 z 不改变原始分数的分布形态，当原始分数因种种原因呈现较严重的偏正态分布时，z 分数的分布同样呈偏正态分布，因而不能利用正态分布表，这给标准分与百分等级的换算带来了困难

5、。2.4用百分制标准分T 表示标准分z(实际运用中平均分可视具体情况定)。T 是以平均分为50 ，标准差为 10 作参照点，这样可使z 的负数变为正数，且在数值上与原始分数相接近。2.5将标准分 z 转换为正态分数N当原始分数的分布呈偏正态分布时，则z 分数的分布亦呈偏正态分布，因而将x 分数转化为正态分数N ，转换方法是 :1) 先求出原始分数的百分等级分数 PR。方法一，通过求出每一原始分数在分布曲线下左面的面积来求。方法二，利用公式来求。L， F 分别为该原始分数所在组的下限和次数；Fb 为下一组的累计次数；J 为组距；m 为标准化样本的容量。2) 利用正态分布表，查出百分等级 PR 相

6、应的 z 值，或在正态曲线下找出相应面积左边垂直边线所对应的坐标，该值 ( 坐标 )即为正态化分数 N 。2.6将 N 分数转换为平均数为500 ，方差为 100 的标准分 TT=100N+500(对应 T=l0N+50)。与 T=l0N+50相比，小数点位置不同，即T分数等于 T 分数的 10 倍， T 分数在对大量数据分析时避免了使用小数点，可以节省计算机的运算时间。很明显， T 分数具备 z 分数的全部优点，并克服了单位过大，出现负值的缺点；由于 T 分数服从正态分布，无论原始分数分布是否呈正态分布， T 分数与百分等级都具有确定的对应关系 (如当 T= 350 时，一定有 N= 1.

7、5 ，PR=0.67 查正态分布表可知，分数在 700 分以上的占2.3% ，即低于 700 分的学生占98.7% 。同理可知600 分以上的学生占 16% ，在 500 分以上的有50%， 400 分以上的占84 % ，低于 300 分的仅占2% ) 。所以 T 分数具有更强的解释能力。3. 标准分的应用3.1计算总评分习惯的计算方法是把平时几次测验的成绩相加后算出它们的平均分数，然后再按平时测验和考试成绩的比例算出总评分。.显然，习惯的算法不科学，因为几次成绩是不同的试卷，这样得到的分数就像用几个不同标准的秤所称出的重量一样，价值是不一样的。用标准分计算总评分更科学。例 1某学生的 4 次

8、语文平时测验成绩分别为80 、 84 、75 、 80 ，这 4 次语文测验的平均分数分别为70 、78 、68 、82 ，标准差分别为8 、6 、5、 12 。又知这位学生的语文期末考试成绩为85 ，平均分为77 ，标准差为7 。如果平时成绩占40 % ，期末成绩占 60 % 。计算这位学生的总评成绩 (设原始分数呈正态分布 )。解 : 1) 习惯算法2) 用标准分计算同理 Z 2=1.00， Z 3 =1.40， Z4=-0.17， Z 末 =1 .14 。以上计算结果表明习惯算法不科学，该生该门课的总评处在及格水平，而用习惯算法得出良好成绩.这样的评价不正确，会造成错误的导向，用标准分计

9、算更合理、公正。3.2比较各门学科间的成绩例 2甲、乙两名学生的期末A 课程和 B 课程考试成绩如下：甲学生的A 成绩 81 分、 B 成绩 75 分，乙学生的A 成绩 73 分， B 成绩 90 分。 A 课程的平均分为65分，标准差4 分， B 课程的平均分为80 分，标准差为10 分。求甲、乙两名学生A,B两门课的总成绩 (设原始分呈正态分布)。解 1)习惯算法x 甲=81+75=156， x 乙 =73+90=163。2 ) 用标准分计算x 甲、 A= 4 ， z 甲、 D=-0. 5 ， z 乙、 A =2x 乙、 D =1以上计算结果，甲、乙两生两门学科的标准分的总和分别为135分

10、和 130 分。甲生优于乙生，恰与原始分数的比较结果相反。它反映了选拔考试，用原始分数作为择优录取的依据有很大弊端，又反映了用原始分数作评“三好学生”、“奖学金”等的依据有不公平之处。3.3比较班级或个人的发展水平在教学评价中， 由于各班 ( 或各位 ) 学生的原有基础不一样，所以不能从他们的一次考试的平均分来评价教学工作有否成效。为此，就得分别把各班前后两次考试的平均分当作一个原始分数，并将它转换成标准分，再分别以各班后次考试的标准分减去前次考试的标准分，计算出各班两次考试的标准分之差，来比较它们的发展水平。例 3某校某年级3 个班的前次化学考试平均分数为78 分，标准差为10 分；后次考试

11、平均分数为76 分，标准差为8 分。已知甲、乙、丙3 个班前次化学考试的平均分分别为90 、 80 、 70 ；后次化学考试的平均分分别为85 、82 、 80 。比较这 3 个班学生化学的发展水平。解：T1.甲 二 61.25TZ.甲=62T1，乙 二 57.5T2，乙 =52T1，丙 =55T2.丙=42T 甲 =-0.75T 乙=5.5T 丙=13由此可见，虽然后次化学考试的成绩是甲优于乙，乙优于丙，但从发展水平来看，是丙优于乙，乙优于甲。即丙班进步最大，乙班其次，甲班有退步。以上说明用标准分能客观评价原有基础不同的对象通过教学后的教学效果好坏。3.4把等级评定转化为计量数据在品德评定或

12、某些学业成绩评定中，常采用等级评定法.如用“优、良、中、及格、不及格”五级制评定学生的作文、品德行为，评定歌唱、绘画、体操等技巧的水平。等级评定的结果不能进行四则运算，所以要将等级评定转换为计量数据。由于在实际工作中应用得较少，故这里不举例说明。3.5 标准分的应用效果笔者曾多次使用标准分校准原始分，由于试卷题量大，难度亦偏大，两个教学班共都取得了理想的效果。83 人考试结果如表例如，某A 1 。次考试，用原始分评价， 最高分 76 分，最低分 23 分，优良率为 0，不及格率为 73 . 5%。用 T=10z+70转化成标准分后的情况如表2 。用标准分评价，最高分96 分，最低分 43 分，

13、优良率为26.5% ，不及格率为7%很明显，用标准分校准原始分后所得成绩趋于正态分布，这比较客观地反映了学生在这次考试中各自所处的位置，与以前的考试及其它科目的考试也更具有可比性。又如某 B 次考试，因为试卷难度偏小，2 个教学班共80 人。考试结果情况如表。3。用原始分评价，最高分 98 分，最低分 61 用 T= l0z 十 75 转化成标准分后的情况如表分，优良率为4 。50 %，不及格率为0。用标准分评价，最高分95 分，最低分54 分，优良率23.8% ，不及格率3.8%。由此可见，用标准分校准原始分后所得成绩基本呈正态分布，这不仅体现了上例的优点，而且能够改变大学生“60 分万岁”的不良倾向。我国一贯采取原始分数作考试