解析几何最值问题

1、解析几何最值问题的赏析教学目标：1 .掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择;2 .掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题. 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理.问题提出:2 2已知椭圆方程:与线段AB交于点 亠 =1 , A , B分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线34G,并和椭圆交于 E、F两点，求四边形 AEBF面积的最大值。问题分析:1、图形的处理：不规则图形转化为规则图形(割补法)Saenf =S加 BE + SbfSaENF = S 山eF + S 曲EF2、变量的选择:(1) 设点：设点E(x0,y0)则F(-X0,y。)，可得到二元表达式;(2

2、)设动直线的斜率 k (可设AF,BF,EF,AE,BE中任意一条直线的斜率)，可得一兀表达式。最值的处理方法：(1) 一元表达式可用基本不等式或函数法处理；(2) 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。问题解决:解法一：设E(Xo,yo),F(-Xo,yo),(Xo aO, yo 0),四边形的面积为 S 因为A(0,2), B(73,O),所以直线的方程：翁+ *=1 即 2x + 73y-273 = o点E到直线的距离：di =77因为E(X0, yo)在直线AB的上方, 所以 di =0 +M所以 2xo +5/3yo-2j3O-2Xo yf3yo 2f3点F到直线的距离：d

3、2 =因为F( -X0, -yo)在直线的下方77所以 d2=2XoFyo+M-2-(ABdi +AB|d2)= i|AB|(di +d2)2xo + J3yo 2j5因为 IAB| = T7所以 s = 2xo + Tsyo2 2又因为 F (Xo, Yo)在椭圆 + = 1上 所以 4Xo2+3yo2=1234由基本不等式得 S = 2xo + J3yo 0)4x2% 得 Xe2123k4，yE212k2_3k2+4Ef=2OE=2心令k2 +1V3k4又 dA_FTkbr，dy-Jk2 +11 L I k2 +1 V3k + 2 S 匕49山2+4 2+12j3(J5k+2)Jsk2 +

4、4c212(3k2+4j3k+4)S = 12(1 +3k2仔(1 十 4J3k3k 24(1 34色)24,当且仅当3k =4即k+ 4 kk=麵时取=3Smax =276解法三:Saenfs加EF 中 S凶eF = 2SmoE 中 2SOE = 2Sa0BE = 2(S山OB + SBE )因为KAB亟，所以设切线方程为： y =+ a0)33f 2亦+y = X +m由3得 8x2 -473mx+3m2-12 = 02 234再由 =0得m =2恵切线的方程为： y 一麵 X+272，点 E到直线AB : 2x + J3y - 2 J3 = 0的最大距离32岳-23 26 23斤 ，（S曲BE ）max = 2 AB d = J6 - 3， S普ob = J3Smax =276变式与推广已知圆方程： X2 + y2 =r2，A，B分别为圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB交于点G,并和圆交于 E、F两点，则四边形 AEBF面积的最大值为 J2r 2 ;2已知椭圆方程： 笃+存=1，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线a b与线段AB交于点G,并和椭圆交于E、F两点，则有如下结论:（1）四边形AEBF面积的最大值J2ab（2）AB的斜率与EF的斜率互为相