16知识讲解合情推理与演绎推(理)(提高)1211

1、合情推理与演绎推理 【学习目标】 1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。 2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用三段论”进行简单的推理. 【要点梳理】 要点一、推理的概念及分类 1. 推理的概念： 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理.从结构上说，推理一般由两部 分组成，一部分是已知的事实 (或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论. 要点诠释： (1) 任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什 么，推理的前提可以是一个， 也可以是几个.结论是根据前提推得的命题，它告

2、诉我们推出的知识是什么. ”根“ (2) 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：因为，所以 据,可知”如果,那么等. 2. 推理的分类： 推理演绎推理 (1) 合情推理： 根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果、个人的经验和 直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比 推理是最常见的合情推理。 归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. 合情推理的推理过程 归如 要点诠释： 由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此 推理所

3、得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用. (2) 演绎推理： 从一般性的原理出发， 按照严格的逻辑法则， 推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 演绎推理是由一般到特殊的推理. 要点二、归纳推理 1.定义： 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别 事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 2 .归纳推理的特点 (1) 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理； (2) 归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前 提和结论之间的联系不是必然的

4、，而是或然的，所以前提真而结论假”的情况有可能发生的(如教科书所 述的费马猜想”); （3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为 前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行； （4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段 要点诠释： 归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别 情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因 3运用归纳推理时的一般步骤 （1） （2） （3） 此归纳推理的

5、结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归 纳推理所得的结论不一定是正确的 . 通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律） ； 把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想） ； 对所得出的一般性命题进行检验在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明 般模式：部分 整体，个体 般步骤： 2） 3） 通过观察个别情况发现某些相同性质； 从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题； 检验猜想 . 4完全归纳法和不完全归纳法 （ 1 ）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的 一般性结论的推理由于完全归纳

6、法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结 论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用 （2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物 的一般性结论的推理由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之 间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格 的逻辑论证和实践检验 要点三、类比推理 1 定义： 类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在 其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模

7、式 2类比推理的几个特点 （1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作 基础，类比出新的结果； （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能 3运用类比推理的一般步骤 （1）找出两类事物之间的相似性或一致性 （ 2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） （ 3）检验猜想 . 要点诠释： (1) 如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就 越可靠. (2) 事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互

8、联系的，相互制约的，如果两个事物在性 质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似.因而类比的结论可能是真的，类比也可能 具有必然性. (3) 类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假. 要点四、演绎推理 (1) 定义： 从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理 言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2) 一般模式： 三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式： 大前提一一已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的结论. 要点诠释： 如果一个推理规则能用符号表示为如果a b, b c,则a c”

9、，那么这种推理规则叫做三段论 推理. 三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称 为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系， 从而得到第三个命题一一结论. (3) 用集合的观点理解 三段论” 若集合M的所有元素都具有性质 P , S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质 P. 要点诠释： 演绎推理的结论一定正确 演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的， 它是完全可靠的推理。 要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系 (1 )从推理模式看： 归纳推理是由特殊到一般的推

10、理. 类比推理是由特殊到特殊的推理. 演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看： 合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 演绎推理所得的结论一定正确。 (3 )总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发 挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推 理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提 供方向和思路. 要点诠释： 注意：在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明. 【典型例题】 类型一、归纳推理 例1.用推理的形式表

11、示数列13,23,33,43, ,n3,的前n项和Sn的归纳过程. 式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出 Sn与n的对应关系式. n3 .为此，我们先根据该公 、，33 3 3 【思路点拨】依题意，Sn表示数列n的前n项和，即Sn 1 2 3 【解析】对数列13,23,33,43, ,n3,的前1,2,3,4,5项和分别进行计算: 13 S2 13 23 32 (1 2)2, S3 13 23 33 36 62 2 (12 3), S4 13 23 33 43 100 2 2 10(1 2 3 4), S5 13 23 33 43 53 225152(1 2 3 4 5)2. 观察可得

12、，数列Sn的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方, 由此猜想数列的前 n项和Sn(12 3 2 n)2 2 n2(n 【总结升华】丨本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整 体的情况，是典型的归纳推理 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研 究的基本方法之一. 归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前 n项和公式 时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系. 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功

13、 能，对于数学的发现却是十分有用的. 举一反三： 【变式1】(2014秋 台州期末)在数列an中，满足an+1=an an 1 (n 2), a1=a, a2=b,设Si=a1+a2+ +an，则合情推理推出a100=, S100= 【答案】由an+1=an an-1 (n 2),得 an+6=an+5 an+4=an+4 an+3 an+4= an+3= (an+2 an+1)= (an+1 an an+1)=an , 所以6为数列an的周期， 又 a3=a2 a1=b a, a4=a3 a2= a, a5=a4 a3= b, a5=a5 a4=ab, 所以 a100=a96+4=a4= a

14、, S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16 x 0+a+b+b aa=2b a, 故答案为：一a, 2b a。 【变式2】用推理的形式表示等差数列1, 3, 5, ,( 2n 1),的前n项和Sn的归纳过程. 【答案】对等差数列 1, 3 , 5,，(2n 1),的前1, 2, 3 , 4, 5, 6项的和分别进行计算: S11 12 ； 2 S21 3 42 ； 42; S3 32; S4 16 S5 2552 ； S6 1136 62 ； 观察可得，前 n项和等于序号的平方，由此可猜想Sn n2. 【变式3】 各项均为正数的数列an , a1=a

15、 , a2=b ,且对满足 m+n=p+q 的 正整数 m , n , p , q 都有 am an apaq。当 (1 am)(1 an) (1 ap)(1 aq) 1, b -时，求通项公式an。 25 【解析】 由一 (1 am an ap aq a1 an 印)(1 an) am)(1an) a2 an 将a1 当 (1 ap)(1aq) (1a2)(1am) 14 2，a25代入化简得 an 2an 11 an 12 n=3 时，a3 2a2 1 a2 2 26 28 33 当n=4时，a4 2a31 a3 2 8034 1 8234 1 由此归纳出an 3n 1 。(n N*) (

16、归纳猜想出的结论应予以严格证明才可，此处证明略.) 例2 . (2014春 高要市校级月考)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是 一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有 7个蜂巢，第三个图有 19个蜂巢，按此规律，以 f (n)表示第n个图的蜂巢总数。 (1) 试给出f (4), f ( 5)的值； f (n+1)与f(n)之间的关系式, 的表达式; (3)证明：- f(1)f(2) 1 f(3) (2) 利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 并根据你得到的关系式求出 =3n2-3n+1 (3)略 【答案】(1) 61 (2) f (n

17、) 【思路点拨】(1)根据图象的规律可得 f (4)和f ( 5)的值。 (2)根据相邻两项的差的规律可分析出f (n +1)- f (n) =6n,进而根据合并求和的方法求得f (n) 的表达式; (3)根据 1 (2)中求得的f ( n)可得的表达式，进而利用裂项的方法证明原式。 f( n) 【解析1(1) f (2) 由于 (4) =37, f (5) =61。 f (2) f (1) =71=6, f ( 3) f (4) f ( 5) 因此， (2) =19 7=2 X 6, (3) =37 19=3X 6, (4) =6137=4X 6, f 有 f (n+1) f (n) =6n

18、, 所以 f (n) =f (n) f (n 1) +f (n 1) f (n 2) + +f (2) =6 (n 1) + (n 2) + +2+1+1=3n2 3n+1。 又 f (1) =1=3X 12- 3X 1+1，所以 f (n) =3n2- 3n+1。 f (1) +f (1) 1 (3)证明：当k2时，一 f(k) 1 2 3k 1 3k2 3k ;) 1 所以丄 f(1) f(n) 1 1 1 1 3(1 2) (2 1) L 1 1 -(1 3 【总结升华1本题主要考查了数列的求和问题，数列的求和是数列的重要内容之一，除等差数列和等比数 列外，大部分的数列求和都需要一定的技

19、巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和解。 -)1 n 举一反三: 【高清课堂：401470例题21 【变式11根据给出的数塔猜测123456X 9+7等于 1 X 9+2=11 12 X 9+3=111 123 X 9+4=1111 1234 X 9+5=11111 【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。 【高清课堂：401470例题11 【变式21根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律 ，试猜测第 个图中有个点.( o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O O O 0O0 0 O O O O (5 A. n21 2 B. n nC.n

20、+1 D.n2 n 1 【答案】D 第个图形中间有 1个点，另外的点指向两个方向，每个方向一个点 ，共有2 (2 1) 1 个占 1八、J 第个图形中间有1 个点，另外的点指向三个方向，每个方向两个点 ，共有3 (3 1) 1个点； 第个图形中间有1 个点，另外的点指向四个方向，每个方向三个点 ，共有4 (4 1) 1个点； 第个图形中间有1 个点，另外的点指向五个方向，每个方向四个点 ，共有5 (5 1) 1个点； 由上面的变化规律，可猜测第 n个图形中心有1个点另外的点指向 n个方向 ，每个方向n-1个点，共 有 n(n-1)1 n2 【变式3】 将正 ABC分割成n2(n2, n N)个

21、全等的小正三角形(如图2-1-1-1 ,图2-1-1-2分别给出了 n=2 , 3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当 数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点 A, B, C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上 =2 , f (3)= 的数之和为f (n),则有f ( 2) 【答案】 所示分别设各顶点的数用小写字母表示, 即由条件知 a+b+c=1 , xi+X2=a+b , 当n=3时，如图2-1-13 yi+y2=b+c, Z1+Z2=c+a。 xi+X2+yi+y2+zi+Z2=2(a+b+c)=2 , 2g=xi+y2

22、=X2+zi=yi+Z2。 6g=xi+X2+y i+y2+zi+Z2=2(a+b+c)=2 。 即g 3 而 f(3) a b 进一步可求得 yi y2 ziZ2g 1 - f(i) 1 f (4) =5。 3，心 f (3)亍 3 f(2) 10 5 f (4)5 3 f(3) 由此归纳出 f(n) f(n 1) 所以f(n) f(n 1) 3 3 3 4 3， 5 。 3 n 1 f(i) f(n 2)3 2)。 n 1 n L 33 类型二、类比推理 L 3 f(1) 3 3 1 1( n 1)(n 3 3 3 6 例3.在ABC中若 C90 则 cos2 A cos2 B 1用类比的

23、方法 ，猜想三棱锥的类似性质 ，并证明你的 猜想。 【思路点拨】从方法的类比入手。 【解析】 由平面类比到空间，有如下猜想：在三棱锥P ABC中，三个侧面PAB, PBC , PCA两两垂直, 且与底面所 成的角分别为 QO ,，贝U cos cos cos2 1” 证明：设P在平面ABC的射影为0,延长 CO交AB于M，记PO h 由 PC PA,PC PB 得 PC 面 PAB，从而 PC PM，又 PMC h cos sin PCO PC VP ABC (cos (PC PA 6 cos PA PB PC h cos ,cos PA 1 1 -(-PA PBcos 3 2 2 2 1 即

24、 cos cos h PB 1 -PB PC cos 2 2 cos 1 1 rCPAcos) h 【总结升华】 主要考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间。 (1)找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间 角等等; (2)找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 举一反三: 【变式】在 ABC中，若BC丄AC, AC=b, BC=a,则 ABC的外接圆半径r 将此结论拓 2 展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC中，若SA、SB SC两两垂直，SA=a

25、，SB=b，SC=G 则四面体S ABC的外接球半径R=. /2722 【答案】一b一- 3 例4.已知等差数列 an的公差为d，前n项和Sn有如下性质: 若m n p q，贝y am an ap aq (m, n, p,q N*) 若 m n 2p (m,n, p N*)，则 am an 2ap. 类比上述性质，在等比数列 bn中，写出相类似的性质 【解析】 在等比数列 bn中，公比为 q，前n项和为Sn 若m P q，则 am an ap aq (m,n, p,q N*) 若m 2 2p，则 am an ap (m, n, p N*) 【总结升华】 】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种

26、较本质的认识是: 等差数列f用减法定义 性质用加法表述(若 m, n,p,q N ,且 q,则 am an 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述(若 m,n,p,q N ,且 举一反三： 【变式1】已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常 数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差. 类比等差数列的定义给出等和数列”的定义： 已知数列 an是等和数列，且ai 2，公和为5，那么ai8的值为 计算公式为 【答案】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个 _这个数列的前n项和Sn的 常数叫做该数列的

27、公和；48 3 ； & n为奇数 2 y 5n, n为偶数 2 【变式2】通过计算可得下列等式: 22- 12=2 X 1 + 1 32-22=2 X 2+1 42- 32=2 X 3+1 (n+1) 2 - n2=2 X n+1 将以上各等式两边分别相加得: 即12 3 L n世 (n+1) 2- 12=2(1+2+ +n)+n 1) _o 2 (1) 类比上述求法，请你求出12+22+32+- +r2的值。 (2) 根据上述结论试求 12+32+52+- +9的值。 【答案】(1 ) 23- 13=3 X1+3 X 1+1 33 23=3 x2+3 X 2+1 43 33=3 X3+3 X

28、 3+1 (n+1) 3 -n 3=3 xn+3 x n+1 将以上各式两边分别相加得 (n +1) 3- 13=3(1 2+22+斤)+3(1+2+n)+n 12 22 L n2 1(n 1)31n 3n6n(n i)(2n 1)。 (2) 12+32+52+. +9炉 =1 2+22+32+1002 (2+42+62 +10C2) =1 2+22+32+1002 4(12+22+32+. +50) 11 =一 X 100 X 101 X 204 X- X 50 X 51 X 101=166650 66 类型三：演绎推理 例5.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1) (2) 菱形的对角线互

29、相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直. 若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若/1和/ 2不相等，则/ 1和/2不是对顶角. g 0.332是有理数. （3） 【解析】 （1 ）菱形的对角线互相垂直 正方形是菱形 正方形的对角线互相垂直 （2）两个角是对顶角则两角相等 / 1和/2不相等 / 1和/2不是对顶角 （3）所有的循环小数都是有理数 （大前提） （小前提） （结论） （大前提） （小前提） （结论） （大前提） g 0.332是循环小数 （小前提） g 0.332是有理数 （结论） 【总结升华】 在三段论中，大前提”提供了一般的原理，小前提”指出了一个特殊的情况， 的基础

30、上，说明一般原理和特殊情况间的联系.我们早已能自发地使用三段论来进行推理, 后我们要主动地理解和掌握这一推理方法. 举一反三： 【变式】把下列演绎推理写成三段论的形式. 在一个标准大气压下， 水的沸点是100 C,所以在一个标准大气压下把水加热到 结论”在大前提和小前提 学习了三段论 100 C时，水会沸腾. 【答案】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 C； 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100 C； 结论：水会沸腾. 例6 .已知：在梯形 ABCD中（如右图所示），AB=DC=AD . 线. 求证：1.AC 平分/ BCD, 2.DB 平分/ CBA. 【解析】 1. （1）等腰三角形两底角相等，（大前提） DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰，（小前提） / 1 = / 2 .（结论） （2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等， / 1和/ 3是平行线.AD、BC被AC截出的内错角， （大前提） （小前提） AC和BD是它的对角 / 1 = / 3.（结论） （3 ）等于同一个量的两个量相等，（大前提） / 2和/ 3都等于/ 1,（小前提） / 2= / 3.（结论）