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文档简介
1、第十二讲 向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组; 等价向量组; 向量组的秩; 向量组的秩与矩阵的秩之间的关 系;向量的内积;向量空间及其相关概念;n 维向量空间的基变换和坐标变换;过渡矩阵;规范正交基考试要求(1)理解向量组的最大线性无关组的概念,会求向量组的最大线性无关组;(2)理解向量组的秩的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系,会 求向量组的秩;(3)理解向量组等价的概念;(4)了解内积的概念,了解规范正交基;(5)了解 n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;(6)了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵注 考研数学二、三不考向
2、量空间等概念,对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内 容二、知识要点引入 当方程组 Ax o( Ax b )有无穷解时,可以用有限个解表示出来,这有限个 解就是解集的基础解系,一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组向量组的秩: 是这有限个解的个数, 也就是最大无关组中向量的个数, 或基础解系中解 向量的个数复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。线性表示:k1 1 k2 2 L km m ,对 k1,k2,L km 没有要求,且R(A) R(A,b) ( )m线性相关:ki1k22Lkmmo,存在心k?丄km不全为零;线性无关:ki1k22Lkmm0,人山丄 g只能全为零.n维向量组线性无
3、关:Ax=o有唯一零解线性相关:Ax=o有非零解R(A)=m,m nA 0,mR(A)m,mA 0,m1. 定义定义1设有向量组(I):1, 2丄 r,L , m,满(1 )有r个向量线性无关,不妨设向量组 T :1,2丄r线性无关;(2)向量组(I)中任意r 1个向量(若有的话)都线性相关.称向量组T是向量组(I)的一个最大线性无关向量组(也称最大无关组或极大线性无关向量组).最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记作R 或 R( 1, 2,L , m).例:向量组是线性相关的.组.但 T1 :0都是线性无关,都是最大无关定义1有等价的描述形式如下:定义1设有向量组(I):满足(1)有r
4、个向量线性无关,不妨设向量组 T :1, 2丄,r线性无关;(2)向量组(I)中任一向量都能由向量组 T线性表示;称向量组T是向量组(I)的一个最大线性无关向量组.证明由定义1证明定义1 .在向量组(I)中任取一个向量,若 在1, 2丄r中,则 可由所在的向量组线性表示,女口 r 0 1 L 0 r 11 r.若 不在1, 2丄,r中,由1, 2丄,r的线性无关性及向量组(I)中任意r 1都线性相关性,知可由1, 2丄,r线性表示.由定义1证明定义1自己证明.2. 注意1)向量组最大无关组一般不惟一;2)最大无关组中所含向量个数相同,即向量组的秩惟一;3)若向量组线性无关,它的最大无关组是惟一
5、的,就是它本身;4)判断向量组的线性相关与线性无关性的方法: 由 Ax o 的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性:n 维向量组 1, 2,L线性无关 :Ax=o 有唯一零解线性相关:Ax=o有非零解 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性:若 R( 1, 2,L , m) m ,向量组线性相关;若 R( 1, 2,L , m) m ,向量组线性无 关(5)矩阵的等价与向量组的等价有区别:两个矩阵的等价是它们同型且秩相等而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示但应注意,若矩阵A与矩阵B行(或列)等价,贝U A的行(或列)向量组与 B的行(或列)向量组
6、等价。3 性质(1)单位坐标向量组丄,en是Rn的一个最大无关组;证明,2丄,en线性无关,而Rn中的任意n+1个n维向量一定线性相关,由定义得证.另外, 除单位坐标向量组是最大无关组外,Rn还可以有多个最大无关组.1如 A1 : 00 0 2 1 2 2 ;A2:,; A :, 都是R2的最大无关组.1213303(2)向量组(I)与它的最大无关组 T是等价的;证明设(I): !, 2丄r丄,m有一个最大无关组T : 1, 2丄,r 由定义知向量组(I)中每个向量可由T线性表示.再证明向量组T中每个向量可由(I)线性表示由于 T中每个向量可由T线性表示,如 r 01 L 0 r 11 r ,
7、则 r 0102 L 1 r 0 r 1 L 0 m ,向量组 T中每个向量可由(I)线性表示.(3)同一向量组的任意两个最大无关组是等价的;证明 设Ti, T2是向量组T的两个最大无关组,Ti : T , T2: T,故由等价的对称性和传递性,有T1 : T2 .(4) 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同;证明 设向量组(I): 1, 2丄,s与(II ):1, 2丄,t都线性无关,R(A) s ,R(B) t .(II)可由(I)线性表示,则R(B) R(A)(见第十讲的注意2), s t .(I)可由(II)线性表示,则 R(A) R(B)(见第十讲的注意 2), t s .所以
8、s t .(5) 等价的向量组具有相同的秩;证明 设向量组(I)有一最大无关组Ti,向量组(II)有一最大无关组T2,且(I)(II).由性质(2)知(I) : Ti , (II) : T2,又(I) :(II),所以 Ti : T2 (传递性).由性质(3)知R(Ti) RE),所以R (I) =R (II)(最大无关组定义).(6) 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证明 A=( i, 2,L , m) , R(A) = r,知A中有一 r阶子式Dr 0 ,所有r i阶子 式均为零.由本节的复习知, Dr所在的r列线性无关(添分量仍无关);再证明A的任意r 1列向量线性
9、相关.反证法,假使A中有r 1列向量线性无关,必有r 1阶子式不为零(见复习),又由A中所有r 1阶子式均为零,矛盾,假使不成立.三、基础及综合训练121例12.1判断向量组 1 =3,2=1,3 = 4是线性相关还是线性无关.1011 2 1解记A ( 1, 2,3),由于A =3140 , R( A)=2向量组中向量个数,向量1 0 1组线性相关.例12.2问t为何值时,向量组 ,=解存在数k2,k3,使得k1 1 k21111 ,2 = 2 ,3 = 3线性无关13t2k3 301 1 1123=t 5 013t即 t 5 时,K 2 k2 2k3 30只有零解,故1, 2, 3线性无关
10、.例12. 3对任意数a,b,c,线性无关的向量组是(A) (a,1,2), (2,b,c), (0,0,0);(B) (b,1,1), (1,a,3), (2,3,c), (a,0,c);(C) (1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0);(D)(1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c).解(C)正确。因为(A )中有零向量,必线性相关;(B)中有4个3维向量,必线性相关;对(C)中向量,有1a11A1b101c00111而A中有一个3阶子式110100对(D)中向量,有111aB 222b000c10,即R(A) 3,从而向量组线性无关1 1 1a0 00
11、b 2a0 0 0c可见R(B) 2,从而向量组线性相关.例 12.4 求向量组 1(1,3,0,5) ,2(1,2,4)t ,3(1,,,2,3)T ,4(0,,,2,4)T ,5(1,3,0,1)的秩和它的一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组表示.11101、32113解(1 ,2 ,3 ,4 ,5)=01220543410 1 2 2 0012 461110110100r 0 1220r01200: 0 1216:0000100030000101, 2 , 4 , 5 为一个极大线性无关组,3122 , R(A)4.例 12.5 设向量组( II): 1, 2,L ,t 能由向量组
12、(I):1,2,Ls 线性表示,且它们的秩相等,求证向量组( I )与向量组(II)等价.证 记 A=( 1, 2,L , s) , B ( 1, 2,L ,t).设 B AK ,故 R(A) R(代 B),由已知 R(A) R(B),故R(A) R(B)=R(A,B)由第十讲的注意2中的(2),知向量组(I)与向量组(II)等价.例12.6 (数一,00, 3分)设n维列向量组 1,L , m(m n)线性无关,则n维列向量组1丄,m线性无关的充分必要条件为().A)向量组1,L ,m 可由向量组1,L, m 线性表示B)向量组1,L ,m 可由向量组1,L, m 线性表示C)向量组1,L
13、,m与向量组1,L ,m等价D)矩阵 A( 1,L,m)与矩阵B(1丄,m)等价(D)正确。(A), ( B), (C)均不是 1,Lm 线性无关的必要条件. 例如: 10 ,则 1110线性无关,但(A), ( B), ( C)均不成立.例 12.7 (数二, 00,7 分)已知向量组0 a b1 , 22 , 31110与向量组1392 , 20 , 363 17具有相同的秩,且3可由1, 2, 3线性表示,求a,b的值.解 已知向量组 1, 2,3的秩为2,由于1,2的对应坐标不成比例,故线性无关,是向量组1, 2, 3的一个最大无关组;由于1, 2, 3与1, 2, 3的秩相同,故其秩
14、为2,从而(1, 2, 3)0,即0ab121 =0( 12.1)110又3可由1, 2, 3线性表示,从而可由1, 2线性表示,所以1, 2 3线性相关,于是(1, 2,3)0,即1 3b2 01=0 ( 12.2)310联立(12.1 )、( 12.2)式得 a15,b5.例12.8(数三,97, 3分)设向量组 1, 2, 3线性无关,则下列向量组中线性无关的是(A)12,23,31(B)12 ,23,1223(C)1 2 2,2 2 33,331(D)123, 213 222 3, 3 15 25 3解(C)正确这一类题目,把观察法与(1, 2, 3)= ( 1, 2, 3)C两种技巧
15、相结合来求解.对于(A),(12)(23)(31)0对于(B),(12)(23)(1223)0所以(A)、( B)均线性相关.对于(C)简单加减得不到 0,没法直接观察.而101C220120033所以(C)组线性无关.例12.9 (数一 ,04,4分)设A,B为满足AB O的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关解 要用到向量组 的秩与 向量组线 性相关之 间的 关系,所 以要用 秩的性 质:若AmnBni O,则
16、R(A) R(B) n 由题设 AB O,知 R(A) R(B) n .又A,B是两个非零矩阵,所以有R(A) 0, R(B) 0得R(A) n , R(B) n,故A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.例12.10 (数三,99, 3分)设向量 可由向量组 仆2丄,m线性表示,但不能由向量组(I): 1, 2,L , mi线性表示,记向量组(II ):1, 2,L , mi, 1,则()(A )m不能由(I )线性表示,也不能由(II )线性表示(B) m不能由(I )线性表示,但可由(II )线性表示(C) m可由(I )线性表示,也可由(II )线性表示(D)m可由(I )线性表示
17、,但不可由(II )线性表示k1 1k2 2 L km m ,解(B)正确提示:由题设存在k1,k2,L ,km,使得这里km 0,否则与 不能由2,L , m 1线性表示矛盾.从而有kmkmkm 11 Lm 1km即m可由2丄,1线性表示,可排除(A), ( D).若m可由(I )线性表示,即lm 1 m 1,则有k1 1 Lkm 1km (l11 L I m 1 m 1 )= (k1 kmh)(km 1kmlm 1 ) m 1即 可由 1, 2,L , m 1 线性表示,矛盾,可排除( C)例 12.11 (数二, 02,3 分)设向量组 1, 2, 3线性无关,向量 1可由 1, 2,
18、3线性表示,而向量 2不能由 1,2, 3线性表示,则对于任意常数k 必有().(A)1,2,3,k 12线性无关(B) 1, 2,3,k 12线性相关( C)1, 2, 3, 1 k2线性无关(D) 1, 2,3,1k2线性相关解(A)正确.由题意,1 11 1 12 213 3;因为 2不能由 12, 3线性表示,所以 1,2,3,2 线性无关 .设k1 1 k22k33k4(k1 2) o将 1l1 1 l2 2 l3 3 代入上式得(k1k4l1k)1(k2k4l2k) 2(k3k4l3k)3k42 o由 1, 2, 3, 2 线性无关得k1k4l1k0 , k2k4l2k 0 , k
19、3k4l3k 0 , k40即对于任意常数k都有k1 k2k3 k40,故1, 2, 3,k 12线性无关对于向量组 i, 2, 3, i k 2,当k0时是线性相关的;而当k 0时,可证明它是线性无关的 例12.12 已知向量组(I):1, 2, 3的秩为3,向量组(II):1, 2, 3, 4的秩序为3,向量组(III) :1, 2, 3, 5的秩为4 .证明向量组 1, 2, 3, 54的秩序为4.证 方法 1 只要证明向量组 1, 2, 3,54 线性无关 .由于R( 1 , 2, 3) =3=向量的个数,故向量组(I)线性无关,而向量组(II)线性相关,从而4可由1, 2, 3线性表
20、出,即存在一组数11,12,13,有4l1 1 l2 2 l3 3(12.3)又设有一组数k1,k2,k3,k4,使k11k2 2 k3 3k4(54) o将 4l1 1 l2 2 l3 3 代入上式并整理得(k1 l1k4 ) 1 (k2 l2k4) 2 (k3 l3k4) 3 k4 5 o由于 1, 2, 3, 5 线性无关,所以k1 l1k4 0,k2 l2k4 0,k3 l3k4 0,k4 0由此可得 k1 k2 k3k40.故 1, 2, 3, 5 4线性无关,即它的秩为 4.方法 2 利用初等变换不改变矩阵的秩,直接计算 .由方法 1 中的式( 12.3)知,对 ( 1, 2, 3
21、, 54)进行初等列变换有c4 l1c1 l2c2 l3c3( 1, 2, 3, 54): ( 1, 2, 3, 5)即 R( 1, 2, 3, 5 4) = R( 1, 2, 3, 5) =4例12.13已知线性空间R3的基! , 2 , 3到基1 , 2 , 3的过渡矩阵为P,且1012211 0 , 21,32; P 3 22102430试求出在基1,2 ,3 与1,2,3下有相同坐标的全体向量解设 A ( 1,2,3),B( 1,2,3) ,则 B AP 设所求向量的坐标为 x,则 AxAPx,即 A(P E)xo。因为 A 为可逆矩阵,得(PE)xo ,由121101(P E)312
22、:011431000得 x k(1,1, 1)T ,故k(123)k(2,1,3)T3例12.14设R的两个基1221111 1 , 2 132;1 0 , 2131012001(1) 求由基1,2,3到1, 2,3 的过渡矩阵P;(2) 已 知向量2,3和1,2 ,3下有相同坐标的所有向量.例12.15(数三,02年,13分)求向量 在基 1,2, 3下的坐标; 求在基(3,3,3a,3)T , 4(4,4,4 a,4)T,问a为何值时,1,2,3,4线性相关?当解(1)记A(1,2,3),B(1,2,3) , (1,2,3)(1,2, 3)P010PA1B1001/201/2由于12 = (5,4,3)T并设在基 1, 2,3下的坐标为x(X1, X2, X3)T ,故:有(1,2,3)X,即111X15X-i1011X24 ,得X21001X33X33坐标X (1,1,3)T123 3.(3)设(1,2 ,3)X(1,2,3)X011则(1, 2 ,3)(1 ,2,3)X101 X o011解得x(1,1, 1)T ,故123 k(1,0,1)T.1设 4维向量组 1(1 a,1,1,1)T,2(2,2a,2,2)T,a .记 A (1,2,3,4),则(a
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