二次函数中的存在性问题(平行四边形)

1、.二、已知三个定点， 再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1. 【08 湖北十堰】 已知抛物线 yax 22axb 与 x 轴的一个交点为A(-1,0) ，与 y轴的正半轴交于点 C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标；当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点 M ,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点 M 的坐标；若不存在 ,请说明理由解：对称轴是直线：x1，点 B 的坐标是 (3,0) 2 分说明：每写对1 个给 1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接 PC，

2、 点 A、B 的坐标分别是A(-1,0) 、 B (3,0) ， AB 4 PC1 AB14 22 2在 Rt POC 中， OPPAOA 2 1 1 ， OCPC 2PO 222123 b 3 3 分当 x1，y 0 时，a 2a3 0， a3 4 分3 y3 x 22 3 x3 5 分33存在 6 分理由：如图，连接AC 、BC设点 M 的坐标为 M ( x, y) 当以 AC 或 BC 为对角线时，点M 在 x 轴上方，此时CM AB，且 CM AB由知， AB 4 ， |x| 4 ， yOC3 x4 点 M 的坐标为 M (4, 3)或 ( 4, 3) 9分说明：少求一个点的坐标扣1

3、分当以 AB 为对角线时，点M 在 x 轴下方过 M 作 MN AB 于 N ，则 MNB AOC 90 四边形 AMBC 是平行四边形，AC MB ，且 ACMB CAO MBN AOC BNM BN AO 1 ，MN CO3 OB 3， 0N 3 1 2 点 M 的坐标为 M (2,3) 12 分说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A、B、 C、M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标为 M 1 (4,3), M 2 ( 4,3), M 3(2,3) 说明：综上所述不写不扣分；如果开头

4、“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。.2. 【09 浙江湖州】 已知抛物线 yx22xa （ a0 ）与 y 轴相交于点 A ，顶点为 M .1直线 yxa 分别与 x 轴， y 轴相交于 B，C 两点，并且与直线AM 相交于点 N .2(1) 填空：试用含 a 的代数式分别表示点M 与 N 的坐标，则 M，N，；(2) 如图，将 NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N 恰好落在抛物线上， AN 与 x 轴交于点 D ，连结 CD ，求 a 的值和四边形 ADCN 的面积；(3) 在抛物线 y x2 2 x a （ a 0 ）上是否存在一点 P ，使得以 P，A，C，N 为顶

5、点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，试说明理由 .yyP1CCNNNODxOxBBP2AAMM第（ 2）题备用图（ 1 ） M1， a1 ， N4 a， 1 a33. 4 分（ 2 ）由题意得点 N 与点 N 关于 y 轴对称，N4 a， 1 a，33将 N 的坐标代入 yx22xa 得1 a16 a28 aa ，393a10 （不合题意，舍去） ， a29. 2 分4N3， 点 N 到 y 轴的距离为 3.3，4Q A0，9， N3， 直线 AN 的解析式为yx943，44它与 x 轴的交点为 D9， ， 点D到y轴的距离为90.44S四边形 ADCNS ACN S

6、 ACD19 31991892222416. 2 分.（ 3 ）当点 P 在 y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于 AC ，把 N 向上平移2a 个单位得到 P ，坐标为4a， 7a，代入抛物线的解析式，33得：7 a16 a28 aa3937a10 （不舍题意，舍去） ， a23，P182， . 2 分8当点 P 在 y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与 PN 互相平分，OAOC，OPON P 与 N 关于原点对称，P413a， a ，3将 P 点坐标代入抛物线解析式得：1 a16 a28 aa ，393a10 （不合题意，舍去） ， a215，P5

7、， 5 2 分828存在这样的点P117或P25，5，能使得以 P，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形2，288二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1【09 福建莆田】已知，如图抛物线 y ax2 3ax c(a 0) 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在 B 点左侧。点 B 的坐标为 (1 ，0),OC=30B (1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：(3) 若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上。是否存在以 A

8、、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形 ?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1） 对称轴 x3a32a2 1 分又 OC=3OB=3 ， a 0 ， C（ 0 ， 3 ） 2 分方法一：把 B(1,0)、 C(0 ， 3) 代入 yax23ax c 得：c3解得： a3， c3a3ac04 y3 x29 x 3 4 分44方法二： B（ 1 ， 0 ）， A(-4 ， 0)可令 y a(x4)( x1) 把 C(0 ， -3)代入得：3a43 y( x4)( x1) 4 分4.3 x29 x344（ 2 ）方法一：过点D 作 DM y 轴分别交线段AC 和 x

9、轴于点 M 、 N 。 S四边形 ABCD SV ABCSVACD151DM ( AN ON )1522DM 5 分22 A(-4 ，0) ， C(0 ，-3)设直线 AC 的解析式为 ykxb代入求得： y33 6 分x4329x 3) ， M (x，3x 3)令 D( x， x444DM3 x 3 ( 3 x29 x 3)3 (x 2) 23 7 分4444当 x2时， DM 有最大值 3此时四边形 ABCD 面积有最大值27。 8 分2方法二： 过点 D 作 DQ y 轴于 Q ，过点 C 作 CC1 x 轴交抛物线于 C1 ，从图象中可判断当嗲D 在 CC1 下方的抛物线上运动时，四边

10、形ABCD 才有最大值。则 S四边形 ABCD SVOBCS梯形 AOQD SV DQC = 31(4DQ) OQ 1 DQ (OQ 3)33 DQ222=2OQ 5 分22329x3)令 D ( x， x44则 S四边形 ABCD 32( 3 x29 x3)3 x3 (x2)2 27 7 分244222当 x2时，四边形27ABCD 面积有最大值。 8 分2（ 3 ）如图所示，讨论：过点C 作 CP1 x 轴交抛物线于点 P1 ，过点 P1 作 P1E1 AC 交 x 轴于点 E1 ，此时四边形 ACPE11 为平行四边形， 9分 C(0 ， -3)令 3 x29 x 3 3 得： x10，

11、 x2 344 CP13 。 P1 ( 3， 3)2.【09 福建南平】 已知抛物线： y11 x22x2（1 ）求抛物线 y1 的顶点坐标 .（2 ）将抛物线 y1 向右平移 2 个单位，再向上平移1 个单位，得到抛物线y2 ，求抛物线 y2 的解析式 .（3 ）如下图，抛物线 y2 的顶点为 P， x 轴上有一动点 M ，在 y1 、 y2 这两条抛物线上是否存在点 N ，使 O（原点）、P、M 、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由 .【提示：抛物线y ax 2bxc （ a 0 ）的对称轴是 xb ，顶点坐标是b , 4acb2】2a

12、2a4a1 , by解：（ 1）依题意a2, c0 1 分52b 2224b24ac02 ，y24a2 3 分32a2141()( )2y122 顶点坐标是（2， 2） 4分1（ 2）根据题意可知-1123456789x1y2 解析式中的二次项系数为 5 分-12-2且 y 2 的顶点坐标是（4 ， 3 ） 6分-3 y2 1 ( x4) 23，即： y2 1x24x5 8 分-422（ 3 ）符合条件的 N 点存在 9 分如图：若四边形 OPMN 为符合条件的平行四边形，则 OP MN ，且 OPMNPOABMN ，y5作 PA x 轴于点 A， NBx 轴于点 B4y 2PAOMBN900

13、，32y1则有POANMB （ AAS ） PABN1 点 P 的坐标为（ 4,3 ） NBPA 3 10 分-1123456789x 点 N 在抛物线 y1 、 y2 上，且 P 点为-1-2y1 、 y2 的最高点 符合条件的 N 点只能在 x轴下方-3-41 x 2点 N 在抛物线 y1 上，则有：2x32解得： x 210 或 x210 11分点 N 在抛物线 y2 上，则有：1( x4) 2332解得： x 423 或 x4 2 3 13 分 符合条件的N点有四个：N 1 (210,3);N 2 ( 423,3);N 3 ( 210,3);N 4 (423,3) 14 分两定点连接的

14、线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线.1【07 浙江义乌】 如图，抛物线y x22x3 与 x 轴交 A、 B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线 l 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2 （ 1 ）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2 ）P 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE 长度的最大值；（ 3 ）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、 C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明

15、理由解：（ 1）令 y=0 ，解得 x11或 x23 （ 1 分） A （ -1 ， 0 ） B（ 3， 0）；（ 1 分）将 C 点的横坐标 x=2 代入 yx22x 3 得 y=-3， C（ 2 ， -3 ）（1分） 直线 AC 的函数解析式是y=-x-1（ 2 ）设 P 点的横坐标为 x（ -1 x2 ）（注： x 的范围不写不扣分）则 P、 E 的坐标分别为： P（ x， -x-1），（ 1 分）E（ (x, x22x 3) （ 1分） P 点在 E 点的上方， PE= (x1)( x22x 3)x2x 2 （2 分） 当 x1时， PE 的最大值 =9 （1分）24（ 3 ）存在 4

16、个这样的点 F，当 AF 为平行四边形的边时：F1 (1,0), F2 (3,0), F3 (4 7), F (47)当 AF 为平行四边形的对角线时：7), F4 (47)F1(1,0), F2 ( 3,0), F3 (42【 09 辽宁抚顺】已知：如图所示，关于 x 的抛物线 yax 2xc(a0) 与 x 轴交于点 A( 2，0) 、点 B(6，0) ，与 y 轴交于点 C （1 ）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2 ）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD的解析式；（3 ）在（ 2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ， x 轴上有一动点 Q 是否存在以 A、 M 、 P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yC解：（ 1）根据题意，得4a 2c036a6