二次函数的图象与性质1

1、y= ax 2第 19课二次函数的图象与性质一、大纲要求：（）通过对二次函数的表达式的分析, 体会二次函数的意义。（）会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。（）会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。二、中考考点：二次函数定义及其图象的性质，以选择填空教多，或者与其他结合考查解答题三、知识点分析：二次函数的定义：形如_ 叫做二次函数。配方成顶点式为： _ 它的图象是以直线_ 对称轴，以_ 为顶点的一条抛物线二次函数图象的画法即_ ，常用五点法。3二次函数的图象与性质：y= ax 2 +bx+c 的图象与性质a 值a0a0(1) 先确定(2) 再

2、确定函 数 的 图 象 与 性 质、开口 _ ，并且 _ ；、对称轴是_；顶点坐标（_,_ ）；、当 x _时，函数取得最小值_；、函数增减性：_、开口 _ ，并且 _ ；、对称轴是_；顶点坐标（_,_ ）；、当 x _时，函数取得最大值_；、函数增减性：+bx+c 的 a、 b、 c 的符号如何通过函数图象来确定：a， 开口向上时， a 0；开口向下时，a 0；c，二次函数与y 轴交点为 (0,c)，可通过观察函数图象与y 轴的交点来确定；(3) 最后确定 b，根据对称轴 x= b 的位置来确定 b 的符号然后在确定 b2a2a当b 时 , b ， a、b 异号；当 b 时 , b ， a、

3、b 同号；当 b 2a2a2a2a2a时 , b 四 典型例题 ：1、下列函数中，哪些是二次函数？（ 1） yx 20（ 2） y( x2)( x2)( x1)2（ 3） yx21 （ 4） yx22x3x2、二次函数 y2( x3) 25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当 k 为何值时，函数y(k1) xk 2 k1为二次函数？画出其函数的图象3、函数 y x( 23x) ，当 x 为时，函数的最大值是；4、二次函数 y1 x22 x ，当 x时， y 0 ; 且 y 随 x 的增大而减小；25、如图，抛物线的顶点P的坐标是 (1 ， 3) ，Y则此抛物线对应的二次函数有（）(A)

4、 最大值 1(B)最小值 3O(C) 最大值 3(D)最小值 1XP6、已知二次函数 y=ax2+bx+c( a 0) 的图象如图3 所示，给出以下结论：a+b+c 0；a- b+c 0； b+2a 0； abc 0 . 其中所有正确结论的序号是 （）A B C D 7一次函数 ykxb 的图象过点（ m ， 1）和点（1， m ），其中m 1 ，则二次函数 ya(xb) 2k 的顶点在第象限；8、对于二次函数为y=x 2 x 2，当自变量 x0 时，函数图像在（）(A)第一、二象限(B)第二、 三象限 (C)第三、四象限 (D)第一、四象限9、已知点 A（ 1,y1B2C2, y3）在函数y

5、 2 x 121上，则y1、y2、）、 （2 , y）、 （2y3 的大小关系是A y1 y2 y3By1 y3 y2 Cy3 y1 y2D y2 y1 y310、直线 yaxb( ab0) 不经过第三象限， 那么 yax 2bx 的图象大致为（）yyyyOOOxxxOxABCD五、练习1、函数 ym2 x2 m2 3m 3x 的二次函数，其函数的开口向下，则m 的取值为（）为A m5 或 m1 B m5Cm 1 D m5 或 m 12222、二次函数 yx2axb中, 若 a b0，则它的图象必经过点11（）A （1111）C（1，1） D（，），） B（ ，3、二次函数 yax 2bx c

6、 的图象开口向上， 顶点在第四象限内， 且与 y 轴的交点在 x 轴下方， 则点 p（ a, c ）在（）bA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4、已知二次函数 y3x2 、 y3x2 、 y1x 2 、 y1x2 它们图象的共同特点为（）33A都关于原点对称，开口方向向下B都关于 x 轴对称， y 随 x 的增大而增大C都关于 y 轴对称， y 随 x 的增大而减小D都关于 y 轴对称，顶点都是原点5、二次函数 y ax 2bxc(a0) 图象如图所示， 下面结论正确的是y（）A a 0,c 0,b 2 4 acBa 0,c 0,b 2 4 acC a 0 ,c 0 ,b 2 4 acD

7、a 0 ,c 0 ,b 2 4 acOx6、在同一坐标系中， 作出函数 ykx2 和 ykx2( k0) 的图象， 只可能是（）yyyyOxOx2-2-2OxOx7、已知二次函数已知函数yax2-2bx c 的图象如图所示，则下列ABCD（）系式中成立的是bbyA01B022a2aC1bb2 D12a2aO2x8、抛物线 y=x 2 x的对称轴和顶点坐标分别是（） x=1,(1, 4) x=1,(1,4) x= 1,( 1,4) x= 1,( 1, 4)9、若二次函数 yx 2mx2 的最大值为9 ，则常数 m_ ；410、若二次函数yax 2bxc 的图象如图所示，则直线yabxcy不经过象

8、限；Oxx211、（ 1）二次函数 y2x 的对称轴是（ 2）二次函数 y 2x 22x 1的图象的顶点是，当 x时， y 随 x 的增大而减小（ 3）抛物线 yax 24 x6 的顶点横坐标是 -2 ，则 a =12、抛物线 y ax 22xc 的顶点是 (1 , 1) ，则 a 、 c 的值是多少？313、若 a 、b、 c为ABCy x22(ab)x c22ab 的顶点在 x 轴的三边， 且二次函数上，则 ABC为三角形；14、画出抛物线y=-x 2 x -2 的图象 , 指出其对称轴和顶点坐标；并说明这个函数具有5那些性质 .15、如图，在等边ABC中，已知AB BC CA 4cm，

9、AD BC于 D，点 P.Q 分别从同时出发，其中点P 沿 BC向终点 C运动，速度为1cm/s；点 P 沿 CA.AB 向终点速度为 2cm/s ，设它们运动的时间为x(s) 。 求 x 为何值时， PQ AC；2 当 0 x 2 时，求证： AD平分 PQD的面积； 探索以 PQ为直径的圆与AC的位置关系。 请写出相应位置关系的x 的取值范围写出过程 )B.C 两点B 运动，( 不要求AQOB PDC第 20课二次函数的解析式的求法和平移一、大纲要求：（）通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。（）能够根据题目要求求出二次函数的解析式（）能够根据题目要求确定平移

10、后的解析式二、中考考点：求二次函数的解析式常常在解答题中出现，而平移常常在选择填空中出现三、知识点分析：、二次函数三种表达方式；（）一般式 :y=ax 2 +bx+c（a 0）（）顶点式 :y=a(x-h)2 +k（ a0）（）交点式 :y=a(x-x1 )(x-x2 ) （a 0）、二次函数的解析式求法：用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选用不同的设法：（）设一般式 :y=ax 2 +bx+c（ a0）若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y=ax 2 +bx+c（ a 0），将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a、

11、 b、c 的值（）设顶点式 :y=a(x-h)2 +k （ a 0）若已知二次函数的顶点坐标(h,k)，设所求二次函数为y=a(x+h)2 +k（ a 0），将第二个点的坐标代入，求出待定系数a，最后化为一般式（）设交点式 :y=a(x-x1 )(x-x2 ) （ a 0）已知二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为(x 1 ,0),( x2 ,0)，设所求的二次函数为 y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) （ a 0），将第三点坐标代入，求出待定系数 a，最后化为一般式、二次函数的平移规律y= ax 2yax 2ky= a x h 2+kya(xh)2抛物线 y=ax 2 +bx+c（ a 0

12、）可由抛物线 y= ax 2 平移得到，由于平移时，抛物线上所有点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点的移动情况，因此有关抛物线的平移问题需要利用二次函数的顶点式:y=a(x-h)2 +k（ a 0）来讨论，所以应先把二次函数化为顶点式然后再来平移；加减常数k(k 0) ，上下移动，即加上k 则向上移动 , 减去 k 则向下移动；加减常数 h(h 0) ，左右移动，即加上h 则向左移动 , 减去 h 则向右移动；四典型例题 ：3时，有最小值11. 二次函数在 x，且函数的图象经过点（ 0 , 2 ），则此函数的解析式24为 _.2已知抛物线yax 2bxc的对称轴为x2 ，且经过点（1， 4）

13、和点（5， 0），则该抛物线的解析式为；3已知抛物线经过(2 ， 0) 、 (3 ， 0) 两，且经过（，） ，求抛物线的解析式4已知正方形的面积为y(cm2 ) ，周长为 x（ cm）(1) 请写出 y 与 x 的函数关系式；(2) 判断 y 是否为 x 的二次函数5把函数 y2x 2 的图象向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，得到的二次函数解析式是；6若二次函数 ym1 x2m22m3的图象经过原点， 则 m 的值必为（）A1或 3B1C、3D、无法确定7将二次函数 yx 23的图象向左平移2 个单位后，再向下平移2 个单位，得到（）Ay =x 2 + 5 By( x2) 21 Cy

14、 ( x 2) 21Dy x218已知（ 2，5）（ 4，5）是抛物线 y ax2bx c 上的两点， 则这个抛物线的对称轴为（）AxaBx 2 Cx 4 Dx 3b9. 已知二次函数 y=-x 2+bx+c, 当 x=1 时,y=0 ； 当 x=4 时 ,y=-21；求抛物线的解析式 .10. 二次函数y=x 2 的图象向上平移 2 个单位，得到新的图象的二次函数表达式是()A、 yx22 ;bxB、 y (x 2)2C 、 yx22 ;D、 y (x 2) 211抛物线yax 2c 与 x 轴交于 、两点，与y轴交于正半轴C点，且AC = 20，A BBC = 15 ， ACB = 90

15、，则此抛物线的解析式为；12若二次函数y=2x 2 +ax+b 的图象经过 (2 ， ) 点，并且起顶点在直线y=3x 2 上，求 a、b13已知二次函数y ax2bx c的图象与 x 轴分别交于A -30），B两点，与y轴（，交于（ 0，3）点，对称轴是x1，顶点是 P求：（ 1）函数的解析式； （ 2） APB的面积五、练习11,10) 、(1 ， 4) 、(2 ， 7) 三点，求抛物线的解析式；抛物线过 (2 平 移 抛 物 线 y x22x8 ， 使 它 经 过 原 点 ， 写 出 平 移 后 抛 物 线 的 一 个 解 析 式_3 把抛物线 y=x 2 +bx+c 的图象向右平移3

16、个单位， 在向下平移2 个单位， 所得的图象的解析式是 y=x 2 3x+5，则有 ()A b=3 ， c=7B b=-9， c=-15 C b=3， c=3D b=-9， c=214有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，该抛物线的解析式是_5. 已知抛物线y=x2 6x 5的 , 则抛物线的对称轴为_, 将抛物线 y=x 2 6x 5 向 _ 平移 _ 个单位则得到抛物线y=x 2 6x 9.6.已知二次函数y=2x 2 8x3, 求它关于X 轴对称的抛物线的关系式 .7.二次函数 yax 2bxc 有最小值为8 ，且 a ： b ：

17、 c =1： 2： (3 ) ，求此函数的解析式；8.抛物线的对称轴是 x2，且过（ 4， 4）、（ 1， 2），求此抛物线的解析式；9. 二次函数 y ax 2bx c ， x2 时 y6 ； x2 时 y10 ； x3时， y24 ；求此函数的解析式；10. （ 10 分）一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管 AB 在高出地面 1.5 米的 B 处有一自动旋转的喷水头， 一瞬间流出的水流是抛物线状， 喷头 B 与水流最高点 C 连线成 45 角，水流最高点 C 比喷头高 2 米，求水流落点 D 到 A 点的距离。yCBADx11有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16m，跨度为 40m，

18、现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图（ 4），求抛物线的解析式y16xO4012 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2： 1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120 元，边框的价格是每米30 元，另外制作这面镜子还需加工费45 元。设制作这面镜子的总费用是y 元，镜子的宽度是x 米。（ 1） 求 y 与 x 之间的关系式。（ 2） 如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽。13. 在直角坐标平面中， O 为坐标原点，二次函数 y x2bxc 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 C（如图 5），点 C 的坐标为（ 0， 3），且 BO

19、 CO(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设这个二次函数的图象的顶点为M，求 AMy的长 .8642-6-4-2 A O2 B 46x-2第 21课二次函数的应用一、大纲要求：(1) 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：(2) 二次函数与一元二次方程的综合应用：(3) 二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用：(4) 利用二次函数求最大最小值：(5) 二次函数与几何图形的应用二、中考考点：C-4-6二次函数的应用常常在解答题中出现：三、知识点分析：、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：、二次函数与一元二次方程的综合应用：、二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用：、利用二次函数求

20、最大最小值：、二次函数几何图形的应用：四典型例题 ：1 画出适当的函数图象，求方程x 2 4x 3=0 的解2函数 yx 22x3的图象在 x 轴上截得的两个交点距离为；二次函数yx2(m2)x（m3）与 x 轴的两交点在 x 轴正半轴上， 则 m 的取值范围是；直线 yax6 与抛物线 yx24x3只有一个交点，则a_ ； 已 知 抛 物 线 yax2bx c 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 那 么 一 元 二 次 方 程ax 2bx c0的根的情况是；已知二次函数yax 2bxc 若ac0 ，则其图象与 x 轴的位置关系是（）A 只有一个交点B有两个交点C没有交点D交点数不

21、确定已知函数 yax 2bxc a0的图象如图所示，则下列y判断不正确的是（）Aabc 0Bb 24ac 0C2ab 0 D 4a2bc0已知二次函数yx2(m1) xm1-1O 1x（ 1）求证：不论m 为何实数值，这个函数的图象与x 轴总有交点（ 2） m 为何实数值时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？在直角坐标平面内，且 (x 1 +1) (x 2 +1)= 8点 O为坐标原点， 二次函数的图象交X 轴于点 A(x 1 ,0) 、B(x2 ,0)，(1) 求二次函数的关系式；(2) 将上述二次函数图象沿轴向右平移个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求的 POC面积五、

22、练习抛物线 y=x 2 (m 2)x 3(m1) 与 x 轴（）一定有两个交点只有一个交点有两个或一个交点没有交点2已知二次函数y=ax +bx+c( a 0) 的图象如图3 所示，给出以下结论：a+b+c0；a- b+c0；b+2a0 .其中所有正确结论的序号是（）A B C D . 若二次函数 y x24x c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c _ ( 答案不惟一 )_.( 只要求写出一个 )：已知二次函数yax 2bxc，且a 0,a-b+c 0 则一定有 ()D bA b 2 ac 0 B b2 ac 02 ac 0C b2 ac 0心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间2（）x 在什么范围内， 学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内， 学生的接受能力逐步降低？（）第十分钟时，学生的接受能力是多少？（）第几分钟时，学生的接受能力最强？已知二次函数 y=x-mx+2m-4. 如果该抛物线与 x 轴的两个交点及抛物线的顶点组成一个等边三角形 , 求其关系式 .yA已知抛物线 y= 1x 2 x 5DBOx22C（）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（）求抛物线与 x 轴、 y 轴的交点坐标；（）画出草图（）观察草图，指出x 为何值时， y0,y 0,y0.已知关于 x 的方程 (a+2)x 2