七年级数学下册培优新帮手专题06有理数的计算试题(新版)新人教版

1、专题 06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” ，所以有理数的 计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度有理数的计算常用的技巧与方法有：1 利用运算律2 以符代数3 裂项相消4 分解相约5 巧用公式等例题与求解【 例1 】已 知

2、m， n互 为 相 反 数 ，a ， b互 为 负 倒 数 ，x的 绝 对 值 等 于3 ， 则x3- (1+ m + n + ab)x2+ (m + n) x2001 + (ab)2002的值等于_（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路： 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算【例 2 】已知整数 a,b, c, d 满足 abcd25 ，且 abcd ，那么 abcd 等于（）A 0B 10C 2D 12（江苏省竞赛试题）解题思路： 解题的关键是把25 表 示成 4 个不同的整数的积的形式【例 3】计算：（ 1） 1111;21231231100（“祖冲之杯”邀请赛试题）（ 2） 772

3、737471998 ；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（ 3） 1 12 53 14 19 5 16 41 7 18 71 9 1 2612203042567290（“希望杯”邀请赛试题）解题思路： 对于（ 1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（ 2），由于相邻 的后一项与前一项的比都是 7， 考虑用字母表示和式； （ 3）中裂项相消，简化计算【例 4】m, n 都是正整数，并且A (1111111) ，)(1)(1)(1)(1)(12233mmB (1 1)(11 )(11 )(11) (11 )(1 1 ) 2233nnm1n 1(1) 证明： A， B；

4、2m2n1，求 m 和 n 的值(2) 若 A B26（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（ 1）对题中已知式子进行变形（ 2）把（ 1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解【例5】在数学活动中，小明为了求11111n 表示），设计了22324n 的值（结果用222如图，所示的几何图形（ 1）请你用这个几何图形求11111222342n 的值22（ 2）请你用图，在设计一个能求111112222342n 的值的几何图形2（辽宁省大连市中考试题）解题思路： 求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键【例 6】记，令 TnS1 S2Sn 称 Tn 为 a1, a2 ,an 这

5、列数的 “理想数”，已知 a1 ,a2 , a500n的“理想数”为 2004求 8, a1, a2 ,a500 的“理想数” （安徽省中考试题）解题思路： 根据题意可以理解为Sn 为各项和， Tn 为各项和的和乘以1 n能力训练A 级1若 x, y 互为相反数， m, n 互为倒数 a = 1 ， a2( x y) 2011( mn)2012的值为 _ （湖北省武汉市调考试题）2若 M ( 1) 21(1)322 ，则 M =_2(1)1（“希望杯”邀请赛试题）3计算：（ 1）1111 _ ；35577919971999（ 2）4832461 _ 0.252324将 1997 减去它的1 ，

6、再减去余下的1 ，再减去余下的1 ，再减去余下的1 ，依次类推，2345直至最后减去余下的1，最后的答案是 _1997（“祖冲之杯”邀请赛试题）5右图 是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着1， 2， 3， 4， 5， 6 六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是_（湖北省仙桃市中考试题）6如果有理数 a, b,c 满足关系式 ab 0c ，那么代数式 bc - ac的值（）ab2 c3A 必为正数B 必为负数 C可正可负 D 可 能为 0（江苏省竞赛试题）7已知有理数x, y, z 两两不相等，则x - y， y - z ， z - x 中负数的个数是（）y

7、 - zz - x x - yA 1 个B 2 个 C 3 个 D 0 个或 2 个（重庆市竞赛试题）8若 a 与 (-b) 互为相反数，则1898 a2 + 99b2（）1997abA 0 B 1C 1 D 1997（重庆市竞赛试题）9如果 (a + b)2001 = -1 ， (a - b)2002 = 1，则 a2003 + b2003 的值是（）A 2 B 1C 0 D -1（“希望杯”邀请赛试题）10若 a,b,c, d 是互为不相等的整数，且 abcd = 9 ，则 a + b + c + d 等于（）A 0B 4C 8D无法确定11 把11， 3.7 ， 61， 2.9 ， 4.

8、6分别填在图中五个内，再在每个中填上和它相连的三个52中的数的平均数，再把三个中的平均数填在中找出一种填法，使中的数尽可能小，并求这个数（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12已知 a, b,c 都不等于零，且a+ b +c +abc 的最大值为 m ，最小值为 n ，求 1998( m+ n+1) 的abcabc值B 级1计算： 1+ (1+3) + (1+3+5) + ?+ (1+3+ ?+97 ) _ 244666989898（“五羊杯”竞赛试题）2计算： 2 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 + 210 _ _（“希望杯”邀请赛试题）3计算：(

9、 12 4 + 24 8+ ?+ n ?2n ?4n )2 _ 139 + 2 618 + ?+ n ?3n ?9n4据美国詹姆斯马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020 年甚至要达每 73 翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”已知 2000 年底，人类知识总量a ，假入从 2000 年底 2009 年底每 3 年翻一翻；从2009 年底到2019 年底每 1 年翻一番； 2020 年是每 73 天翻一翻（ 1） 2009 年底人类知识总量是：_ ；（ 2） 2019 年底人类知识总量是： _ _ ；（ 3） 2020 年

10、按 365 天计算， 2020 年底类知识总量会是_ _（北京市顺义区中考试题）5你能比较20012002 和 2002 2001 的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn+ 1 与 (n + 1) n 的大小（ n 是自然数），然后我们从分析n=1， n=2， n=3中发现规律，经归纳、猜想得出结论（ 1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“” “ =”“”） 12 _ 21 ， 23 _ 32 ； 34 _ 43 ； 45 _ 54 ； 56 _ 65 ?（ 2 ） 从 第 （ 1 ） 题 的 结 果 中 ， 经 过 归 纳 ， 可 以 猜 想 出

11、nn +1 与 (n + 1) n 的 大 小 关 系 是_ ；（ 3）根据以上归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20012002 _ 20022001 ：（福建省龙岩市中考试题）6有 2009 个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和若第一个数是 1，第二个数是 1，则这个 2009 个数的和是（ ）A 2B 1C 0D 2（全国初中数学竞赛海南省试题）t1t2t3= 1 ，那么t1t2t 3）7如果+的值为（tt2t3t1t2t 31A 1B 1C 1D 不确定（河北省竞赛试题）8三进位制数201 可用十进制数表示为232 + 031 + 1 = 29 +

12、 0 +1 = 19 ；二 进制数 1011 可用十进制法表示为123 + 0 22 + 121 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11前者按 3 的幂降幂排列，后者按2 的幂降幂排列，现有三进位制数A a bB a = bCa = 221 ，二进位制数 b = 10111，则 a c + d ，则（）A a -1 + b + 1 c + d B a2 + b2 c2 + d 2C a3 + b3 c3 + d 3D a4 + b4 c4 + d 4（“希望杯”邀请赛试题）10有 1998 个互不相等的有理数，每1997 个的和都是分母为3998 的既约真分数，则这个 1998个有理

13、数的和为（）999997998999A BC D1997199719981998（学习报公开赛试题）11观测下列各式： 13= 1 =112 22，413 + 23 = 9 = 1 22 32 ，413 + 23 + 33 = 36 = 1 32 42413+ 23 + 33 + 43 = 100 =142 524回答下面的问题：（ 1）猜想 13 + 23 + 33 + ?+ (n -1)3 + n3 _ （直接写出你的结果）（ 2）利用你得到的（1）中的结论，计算13 + 23 + 33 + ?+ 993 + 1003 的值（ 3）计算 113 +12 3 + ?+ 99 3 + 1003

14、 的值； 23 + 43 + 63 + ?+ 983 + 1003 的值专题 06有理数的 计算例 1 28 或-26例 2 D提示 ： abcd=51（-1 ）（ -5 ）， a=-5，b=1，c=-1 ，d=-5.例 3（ 1） 200提示：1n1=2= 2 11.10112 3n( n 1)n n 1nn12（ 2） 719997提示：设 s= 7727371998 ，则 7s= 77273719996（=1113263）原式11111+11355779912203042567290=1+1-1111223311111 =2-1 =1 94899101010例 4（ 1） A= 111

15、1111 1111123m23m= 12m 1 34m 1 = m 123m23m2m同理 B= n 12n由 A-B= m 1 - n 1 = 11 = 1 得 1112m2n2m2n26mn13 m= 13n=13- 1313 ，又 m， n 均为正整数，13+n 为 1313 的因数， 13+n= 213 n13n13 n156，m=12.1例 5（ 1）原式 =1-，（ 2）例 6由 题 意 知Tn1 a1 a1a2a1a2 a3a1a2an， 即nTn1 na1n 1 a2n 3 a32an 1an.又n1T500498a32a499a500500a1 499a2500 500a14

16、99a2498a32a499a500 =20 04 500.故8，a1，a2， ，a500的“ 理想数“为T50115018500a1 499a2498a32a499a500”501=150182004500 =2008.501A 级1.2提示：原式 =120201120122=1+1=2.2.2提示： M-1+ 122，解得 M=2.2 13. （ 1） 998 ；（ 2） -859974.1提示：设a=1997，由题意aa1aa1= aaaaa= aa326413243199719962225. -136.B7.B提示：不妨设 xyz.8.B9.D10.A11.提示：设内从右到左填的数分别为a1，a2a1 2a2 3a3，a3 ，a4 ，a5 则内填的数为9要使中填的数尽可能小，则 a31 1， a2 ， a4 分别为 2， 9，3， 7，而剩下的两个为512.1998 提示 ： x1 时， m=4； x1时， n-4.xx原 式2a4a5 .a1 ， a5 .B 级1.612.5提示：倒叙相加 .2.6提示： 2n 12n2n3. 644. （ 1） 23 ? a（ 2） 213 ? a（ 3） 218 ? a7295. （1）略（ 2）当 n001-00076. A 提示：先写出前面一些数：1， 1， 2， 1， 1， 2， 1， 1，经观察发现每