直线与圆锥曲线(理)

1、知识讲解3一、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离. 这三种位置关系的判定条件可归纳为：Ax 亠 By 亠 C = 0设直线I : Ax By C =0，椭圆方程C : f（x，y） =0，由 lf（x, y）=0消去y （或消去x ）得：ax?亠bx亠c = 0 A =b2 -4ac， 0= 相交； 0= 相离；厶-0= 相切.二、弦长公式连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间 的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ,被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为（Xi ,

2、y） ,（X?, y?），则弦长公式为 | AB |=Jl +k2 側-x2 = jl + 丄| % - y2 两根差公式：如果x , x?满足一元二次方程：ax2 bxC=0,贝V x _x2 = J（Xi +x?）2 _4xix?b I _4，c=獰 （也0 ）.八 a 丿 a|a|a|三、直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基 础。要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性 质. 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.OOIIOIIIIII III

3、1 / 10mimiiii 111题型一、应用韦达定理【例1】 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(，0)，右顶点为(2，0)(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线I : y = kx亠.2与椭圆C恒有两个不同的交点 A和B,且 OA OB 2(其中O为原点)，求k的取值范围.题型二、垂直，平分【例2】 已知点A( -1,0) , B(1,0)，动点P满足|PA| - |PB|=2、., 3，记动点P的轨迹为 W.(I)求W的方程；(n)直线y=kx 1与曲线w交于不同的两点C, D，若存在点M(m,0)，使得CMDM成立，求实数m的取值范围.milllllll IIIIIIIII002 / 1

4、0J000II0III 1110101002 2【例3】设椭圆C : % +爲=i(ab0)的左、右焦点分别为F2，上顶点为A ,过点A与AF? a b垂直的直线交X轴负半轴于点Q，2F,F2 F2Q=0，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l : x - . 3y _3 = 0相切.过定点M (0, 2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间).(I)求椭圆C的方程;(n)设直线li的斜率k 0,在x轴上是否存在点 P(m, 0)，使得以PG , PH为邻边的平行四边形 是菱形。如果存在，求出 m的取值范围，如果不存在，请说明理由；(川)若实数 入满足MG vmh，求的取值范围.

5、2231【例4】已知椭圆C :- -y- =1 (a b 0)经过点M(1,),其离心率为一.a2 b222(I)求椭圆C的方程；1(n)设直线l : y = kx m (I k匸2)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C 上, O为坐标原点求 OP的取值范围.111100：3 / 10J000IIIIII IIIII02 2【例5】 已知椭圆1- =1 ( a.b.O)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e a b(I)若e =三，求椭圆的方程;2(n)设直线y二kx与椭圆相交于 a , B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点

6、O在以MN为直径的圆上，且 -2 ：:，求k的取值范围.2 2【练一练】 已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2，短轴长为23 (I)求椭圆C的标准方程；(n)若直线丨：y = kx m k = 0与椭圆交于不同的两点 M、N ( M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A 求证：直线丨过定点，并求出定点的坐标.000IIIIIIII I川川皿4 / 10JOIIIIII 111110100题型三、判断三角形形状【例6】设代B分别为椭圆 冷詁“(a . b . 0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,f)在该椭圆上.(I) 求椭圆的方程；(H) 设P为直线

7、x = 4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线 AP与椭圆相交于异于 A的点M ,证明： MBP为钝角三角形.题型四、面积问题V222【例7】 已知点A(1, J2)是离心率为 一的椭圆C :务+当=1(a a b 0)上的一点.斜率为 J2的2b a直线BD交椭圆C于B、D两点，且 A、B、D三点不重合.(I)求椭圆C的方程；(H) ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？(川)求证：直线 AB、AD的斜率之和为定值.lllllllll IIIIIIIII005 / 10imiii mnm2 2【例8】 已知直线x_2y JrO经过椭圆c：笃笃=1(a .

8、 b . 0)的左顶点A和上顶点D,椭圆 a b10C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于X轴上方的动点，直线AS,BS与直线飞分别交于M ,N两点，如图所示.(I)求椭圆C的方程；(n)求线段 MN的长度的最小值；1(川)当线段 MN的长度的最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点 T，使得；TSB的面积为丄？若存5在确定点T的个数，若不存在，请说明理由.随堂练习?I 【练1】 已知定点C(-1,O)及椭圆x2 3y2 =5，过点c的动直线与椭圆相交于 A , B两点.1(1) 若线段AB中点的横坐标是 -，求直线AB的方程；2(2) 在x轴上是否存在点 M，使mA MB为常数？若存在，求出点M的坐

9、标；若不存在, 请说明理由.0IIIIII 1111006 / 10iiiii mm22巧【练2】 已知椭圆 笃 =i（a b .0）的离心率e二上，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.a2 b22求椭圆的方程； 设直线l与椭圆相交于不同的两点A , B，已知点A的坐标为（-a , 0），点Q（0, y。）在线段AB的垂直平分线上，且 QA QB =4，求yo的值【练3】 已知椭圆C： xy2 =论.b . 0），左焦点F（3,0），且离心率e二上？a b2（I）求椭圆C的方程；（n）若直线丨：y二kx m（k = 0）与椭圆c交于不同的两点M , N（ M , N不是左、右顶点），且以M

10、N为直径的圆经过椭圆 C的右顶点A .求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.IIIIIIIIIII IIIIIIIII007 / 10J000II0III 111110100x2v2F2【练4】已知椭圆C：r 2 -1(a b . 0)的长轴长为2、2，离心率e二ab2(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 若过点B(2, 0)的直线l (斜率不等于零)与椭圆 C交于不同的两点 E、F( E在B、F之间)1且厶OBE与厶OBF的面积之比为，求直线I的方程.22 2【题1】已知椭圆E:仔+答=1(a, b 0)的焦点坐标为F1 (- 2,0)，点M (- 2 , J2)在椭圆上. a b(I)求椭

11、圆E的方程；(H)设Q (1, 0),过Q点引直线I与椭圆E交于代B两点，求线段 AB中点P的轨迹方程；(川)O为原点，O O的任意一条切线与椭圆E有两个交点C , D且OC _ OD，求0 O的半径.miiiiiiii iiii皿呱8 / 10lllllllH Hillel 咖3【题2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在 X轴上，左右焦点分别为 F，F2，且|RF2|=2，点(1 , 3 ) 在椭圆C 上.(I)求椭圆C的方程；(H)过Fl的直线l与椭圆C相交于A,B两点，且JAF2B的面积为 耳2，求以F2为圆心且与直线I相 切的圆的方程.【题3】 在直角坐标系xOy中，点M到片(_、_3,0)、F2C，3,0)的距离之和是4点M的轨迹C与X 轴的负半轴交于点 A，不过点A的直线I : kx b与轨迹C交于不同的两点 P和Q .(I)求轨迹C的方程;I过定点.(n)当AP AQ =0时，求k与b的关系，并证明直线mnn moor【题4】已知椭圆 % .与 j(a . b .0)的离心率为 丄6，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直a b3线l : y = kx m交椭圆于不同的两点 A， B (I)求椭圆的方程；(n)若 m = k，且 OAOB =0，求k的值(O点为坐标原点)；(川)若坐标原点 O到直线l的距离为 上3，求：AOB面积的最大值.2【题5】已知A(-2, 0)