高中数学必修一《方程的根与函数的零点》学案(含答案

1、第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点自主学习1 能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判定方法1对于函数y f(x)，我们把使f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)的 _2函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0 的 _ ，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的 _ 3方程f(x) 0 有实数根 ? 函数y f( x)的图象与x 轴有 _? 函数y f(x) 有_4函数零点的存在性的判定方法如果函数 y f(x) 在 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)_0

2、，那么 y f(x)在区间 (a， b)内有零点，即存在c (a， b)，使得 f(c)_0 ，这个 c 也就是方程 f( x) 0 的根对点讲练求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点：(1)f(x) x2 2x 3；(2)f(x) x4 1；(3) f(x) x3 4x.规律方法 求函数的零点， 关键是准确求解方程的根， 若是高次方程， 要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解变式迁移 1 若函数 f(x) x2 axb 的零点是2 和 4，求 a， b 的值判断函数在某个区间内是否有零点2【例 2】 (1) 函数 f(x) ln x

3、 的零点所在的大致区间是()A (1,2)B (2,3)C. 1，1和 (3,4)D (e， )e(2)f(x) ln x2在 x0 上共有 _个零点x规律方法 这是一类非常基础且常见的问题， 考查的是函数零点的判定方法， 一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论， 这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移A 02 方程 x23x 1 0 在区间B1C2(2,3)内根的个数为D 不确定()已知函数零点的特征，求参数范围【例 3】 若函数 f(x) ax2 x1 仅有一个零点，求实数a 的取值范围变式迁移 3

4、 已知在函数 f(x) mx2 3x 1 的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的范围1函数 f(x)的零点就是方程f(x) 0 的根， 但不能将它们完全等同如函数 f(x) x2 4x4 只有一个零点，但方程f(x) 0 有两个相等实根2并不是所有的函数都有零点，即使在区间a， b上有 f(a) f(b)0，也不能说明函数yf(x)在区间 (a， b)上无零点，如二次函数y x2 3x2在 0,3 上满足 f(0) f(3)0，但函数 f(x)在区间 (0,3)上有零点1和2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点课时作业一、选择题1若函数 f( x)唯一的零点在区间(1,3)， (

5、1,4)， (1,5)内，那么下列说法中错误的是 ()A 函数 f(x) 在(1,2) 或2,3) 内有零点B函数 f(x)在 (3,5)内无零点C函数 f(x)在 (2,5)内有零点D函数 f(x) 在(2,4) 内不一定有零点2函数 f(x) log3x 8 2x 的零点一定位于区间 ()A (5,6)B (3,4)C(2,3)D (1,2)3函数 f(x) ax2 bx c，若 f(1)0 ， f(2)0 ，则 f( x) 在(1,2) 上零点的个数为 ()A 至多有一个B有一个或两个C有且仅有一个D一个也没有4已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且在 (0， )内的零点有 1 00

6、3 个，则 f(x)的零点的个数为 ()A1 003B 1 004C 2 006D 2 0075若函数 y f(x)在区间 0,4 上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x) 0 在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0) f(4)的值 ()A大于 0B小于 0C等于 0D 无法判断二、填空题6二次函数 f(x) ax2 bx c 中， ac0 ，则函数的零点有_个7若函数f(x) ax b (a 0)有一个零点是2 ，那么函数 g(x) bx2 ax的零点是_8方程 2ax2 x 1 0 在 (0,1) 内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是 _ 三、解答题9判断下列函数在给定区间上是否存在零

7、点(1)f(x) x2 3x 18，x 1,8 ；(2)f(x) x3 x 1， x 1,2 ；(3) f(x) log 2(x 2) x， x1,3 10已知函数f(x) x2 (k 2)x k2 3k 5 有两个零点(1)若函数的两个零点是1 和 3，求 k 的值；22(2)若函数的两个零点是和 ，求 的取值范围第三章函数的应用3.1函数与方程31.1方程的根与函数的零点答案自学导引1零点2实数根横坐标3交点零点4对点讲练2【例 1】 解(1)由于 f(x) x 2x3 (x 3)(x 1)故函数的零点是3,1.(2)由于 f(x) x4 1 (x2 1)( x1)( x1)，所以方程 x

8、4 1 0 的实数根是 1,1，故函数的零点是1,1.(3)令 f(x) 0，即 x3 4x 0， x(x2 4) 0，即 x( x 2)( x2) 0.解得： x10， x2 2，x3 2，3所以函数 f(x) x 4x 有 3 个零点，分别是2,0,2. f(2) 0， f(4) 0.2a b 4a 2即，解得.4a b 16b 8【例 2】 (1)B(2)1解析 (1) f(1) 20，f(2) ln 2 10，在 (1,2)内 f(x)无零点， A不对；2f(3)0 ， f(2)3 f(x)在(2,3) 内有一个零点(2)f(x) ln x 2在 x0 上是增函数，且 f(2) f(3

9、)0 ，x故 f(x) 有且只有一个零点变式迁移 2 B令 f( x) x2 3x1，其对称轴为x 3， f(x)在(2,3) 内单调递增，又 f(2) f(3)0 ，2方程在区间 (2,3)内仅有一个根 【例 3】 解 若 a 0，则 f(x) x 1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；若 a 0，则函数 f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2 x1 0 仅有一个实数根，故判别式 1 4a 0，则 a 1.4综上，当 a 0 或 a 1时，函数仅有一个零点4变式迁移 3 解(1)当 m 0 时， f(0) 3x 1，直线与 x 轴的交点为 1， 0 ，即函数3的零点为 13，在原

10、点右侧，符合题意图(2)当 m0 时， f(0) 1，抛物线过点(0,1)若 m0， f(x) 的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9 4m 0 即可，解得 0m9，4综上所述， m 的取值范围为 ，94 .课时作业1 C2 B f(3) log 33 82 3 10.又 f(x) 在(0 ， )上为增函数，所以其零点一定位于区间 (3,4) 3 C 若 a 0，则 f( x) bx c 是一次函数，由 f(1) f(2)0 ，与已知矛盾故 f(x)在 (1,2)上有且仅有一个零点 4D 因为 f(x)是奇函数，则f(0) 0，又在 (0， )内的零点有1 003 个，所以

11、 f(x)在( ， 0)内的零点有 1 003 个因此 f(x)的零点共有1 003 1 003 1 2 007 个 5 D 考查下列各种图象上面各种函数yf(x)在 (0,4)内仅有一个零点，但是 (1)中， f(0) f(4)0 ，(2)中 f(0) f(4)0，方程ax2 bx c 0有两个不等实根，即函数f(x)有2 个零点17 0， 2解析由 2a b 0，得 b 2a， g(x) bx2ax 2ax2 ax，令 g(x) 0，得 x 0 或 x 1， 2 g(x) bx2 ax 的零点为 0， 1. 28 (1， )解析令 f(x) 2ax2 x 1， a0 时不符合题意；1a 0

12、 且 0 时，解得 a 8，12 x1 0，也不合题意；此时方程为 x4只能 f(0) f(1)1.9 解(1) 方法一 f(1) 200， f(1) f(8)0.故 f(x) x2 3x 18 在 1,8 上存在零点方法二令 x2 3x 18 0，解得 x 3 或 x 6，函数 f(x) x2 3x 18 在 1,8 上存在零点(2) f( 1) 10 ， f( 1) f(2)log 22 10，f(3) log 2(3 2) 3log 283 0， f(1) f(3)0.故 f(x) log 2(x 2) x 在1,3 上存在零点10 解(1) 1 和 3 是函数 f(x)的两个零点， 1 和 3 是方程 x2 (k 2)x