第9章实验八曲线拟合

1、第9章实验八曲线拟合 实验目的：明确曲线拟合的含义，会求数据的曲线拟合。 9.1最小二乘拟合曲线 在科学工程试验中，经常需要从试验数据中寻找拟合曲线。曲线拟合是指用函 数g（x）拟合给定的节点（Xi,yi）,i =1,2，n，通常所拟合的节点数n必须大于未知数 个数k。确定函数g（x）参数，使得拟合函数与节点的偏差最小，这种方法称为最小 二乘法。当n=k时，由于拟合曲线通过所用节点，可使问题得到简化。 数据的线性拟合 已知（Xi, yj, i =1,2,，n ,最小二乘拟合曲线：y =Ax + B的系数是下列线性方 程组的解, Z xk A + S Xk 着XkVk F n)n Z Xk A+

2、 nB =送 yk J 仝/k 土 (9.1) 例 9.1 给定一组数据点（-1,10），（0,9），（ 1,7）， (2,5),(3,4),(4,3),( 5,0), （6，-1）,求其最小二乘拟合曲线。 解：（1）在MATLAB中作散点图 输入数据点并作图: x=-1 0 1 2 3 4 5 6;y=10 9 7 5 4 3 0 -1; plot(x,y, 得到: 10 - -2 -1 8 6 4 2 0 图9.1 散点图 0123456 可以知道x,y近似成线性关系y=Ax+B , 这里的A与B是待定常数。 （2）求解方程组: K8 2 厂8、 8 Z Xk A + Z Xk B = =

3、Z Xk yk （7 丿 J 丿 k 2 f 8）8 I Z Xk A +nB =2 yk (9.2) 使用表9-1中的值很容易得到方程组（9.2）的解。 表（12-1）求方程组（3.2）的系数 含有参数A和B的线性方程组为: (9.3) (92 A +20 B = 25 20 A + 8B = 37 线性方程组的解为 A-1.071429和8.6428571。因此最小二乘拟合曲线函 数为: y=-1.071429x+8.6428571 最小二乘拟合曲线图如下: 图9.2最小二乘拟合曲线 程序9.1: X=-1 0 1 2 3 4 5 6 ; 丫=10 9 7 5 4 3 0 -1; xmea

4、 n=mea n(X) ymea n=mea n(Y) sumx2=(X-xmean)*(X-xmean) sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean) A=sumxy/sumx2 B=ymea n-A*xmea n x=-1:0.1:7; y=A*x+B; plot(X,Y, . ,x,y, grid on 非线性曲线拟合 对于某一类型的数据，通常做拟合函数为: (9.3) g(x)= 其中a邛为待定的系数。为确定系数，首先将上式两边取对数得: (9.4) logg)l o g x) +l ogP) 令: G =log( g) A =a B =log P) 式（9.4）可写为: X =

5、 logx) (9.5) G =AX +B 则问题化为数据的线性拟合，其拟合的数据点为: (log( yQ, log( Xk )。 例9.2给定一组数据点如下: t=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; y=4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60*10.A(-3); 求其最小二乘拟合曲线。 解：（1）在MATLAB中作散点图。 输入数据点，作散点图9.3: t=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6、 14 15 16; y=4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50. 10.55 10.58 10.60*10.A(-3); plot(t,y, o) 得到: -3 图9.3散点图 a 观察散点图易知变量 t、y不成线性关系，但是近似成y = P e t关系，或成 (2)对于近似成y a =Pe关系，令: 丫 =iogy), B = l o g ) ， T =1 /t， A =a。 则有: 丫 = AT + B (3)程序 clear clf ,clc t=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7、 11 12 13 14 15 16; y=4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00 10.2010.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60*10八(-3); 求出A与 B系数 plot(t,y,.) C=p olyfit(1./t,log(y),1) t1=1:0.1:16; y1=ex p(-4.4807)*ex p(-1.0567*1./t1); hold on plot(t1,y1, b-) 绘出y与t的近似函数关系曲线图 grid on -3 9.4 y与t的近似函数关系曲线图 从这幅拟合曲线图 9.4知道效

8、果非常好。对于用近似关系 a 效果也可以，但是比用近似 y = Pe下关系效果差。 例9.3用二次多项式拟合数据: x=0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9; y=0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03; 并作出数据点和拟合曲线图。 解：用polyfit求二次多项式的系数，作出曲线图为图9.5，程序如下: clear,clf, cic x=0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9; y=0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03; cc=po lyfit(x,y,2) xx=x(1):0.1:x(le ngth(x); yy=pol yval

9、(cc,xx); plot(xx,yy, -) hold on plot(x,y, x) axis(0,1,0,3) xlabel( x) ylabel( y) 图9.6二次多项式拟合曲线 二次项的系数为： cc = 0.05909178064681 0.58711619583280 1.72954748817589 练习题： 1.用最小二乘法确定拟合曲线（先用手算一遍，再用polyfit命令验证）。 x=1.0 1.5 2.0 2.5 3.0; y=2.0 3.2 4.1 4.9 5.9. 2.用三次多项式拟合下面数据，作出图形。 x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1; y=0 7.78 10.68 8.37 3.97 0. 3.拟合函数有如下形式: y = a e X p px) 试确定系数，并分别用线性尺度和对数尺度做出拟合曲线的图形。