向量基础知识及应用

1、向量基础知识及应用 基本知识： 1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则） 2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则） 3.实数与向量的积入a.向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数入，使得b=Xa 。 4.向量a和b的数量积：a b =| a | | b |cos ，其中 为a和b的夹角。 向量b在a上的投影：|b |cos ，其中为a和b的夹角 a b =0 5.向量的坐标表示： 0A Xi ，则 |a| Jx2 丨 P1 P2 F J( X2 x 1 )( y 2 y1 )2 向量的坐标运算及重要结论： 若 H

2、 a = ( X1, y1) , b = (X2 , y2),则 a bX1X2, y1 y2 a bX1X2 ,y y2 aX1,y1 a ? b X1 X2y y H a/bX1 y2 X2y1 0 a bx1 x2 + -y1 y2=0 cos =X1X 2y 1 y2 （为向量的夹角） Jx12 y； J 2 X2 y 2 2 点P分有向线段PP2所成的比的 :PP PF2，或 RP PP2 P内分线段PP2时， 0; P外分线段 RP2 时， 0. X1 X2 X X 定比分点坐标公式： 1 1 ，中点坐标公式： y1 y2 y y 若 pi ( xi , yi )、 Pi P2 6

3、. X2 P2 ( X2, y2)，则 X1, y y1 X1X2 2 y y2 2 7. 精选文档 9.三角形重心公式及推导（见课本例 2）: 三角形重心公式：（；，普占 10.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形， 将F上所有的点按照同一方向移动同样长 度（即按向量a平移），得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移。 平移公式：x x h y y k x x h y y k 平移向量a = PP= （ h, k） 应用： 1.禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题 例1已知向量OaOOP；满足条件Op1 OP2 OF30， OR OF2 OF31，求 证：PRR是

4、正三角形 解：令0为坐标原点，可设 P cos i,sin 1 ,R cos 2, sin 2 ,R cos 3,sin 3 由 OR OF2 OF3，即 cos 1,s in 1 cos 2,sin 2 cos 3 sin cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 cos 3 sin 3 两式平方和为1 2cos 1 cos 1 由此可知 2的最小正角 为1200，即OP与OP2的夹角为1200, 1200, Op7与O百的夹角为1200，这说明PAB三点均匀分部在 一个单位圆上，所以PER为等腰三角形. 例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数 解：如图，分别以等腰直

5、角三角形的两直角边为 轴建立直角坐标系， 同理可得OP与OF3的夹角为 设 A2a,0 ,B 0,2a，则 D x轴、y a,0 ,C 0,a ， 1 jt 从而可求: AC 2a, a , BD a, 2a ,cos AC BD AC BD 2a, a a, 2a J5a V5a 4a2 =5a2 2.利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题 -AB2 AC2 2 arccos 例3已知 ABC，AD为中线，求证 AD2 2 BC 2 证明：以B为坐标原点, c D -,0 ，则 AD 2 以BC所在的直线为 2 a 0 b2 x轴建立如图2直角坐标系，设Aa,b,Cc,0 , 2 -ac

6、 a2 b2, 4T 精选文档 9 BC AB AC 2 a b2 c a 2 b2 c T 2 a b2 ac 2 2 1 2 2 BC AD 1 AB AC ,AD2 2 2 2 从而 1 2 2 c 7 3.利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 例4已知点O是 -AB2 AC2 2 2 BC 2 ABC内的一点，AOB 1500, BOC 900, 设 OA a,OB b,OC c,且 a 2,b 1, c3,试用a,和b表示c 解：以O为原点, 由 OA=2 ， B 0,-1，C 3,0 OC, OB所在的直线为 AOx 1200 x轴和y轴建立如图3所示的坐标系. A2cos1

7、200,2sin12O0 ,即A-1,，3 ,易求 OA 1OB 2OC,即-1,31 0,-12 3,0,； 3 2 43 - 1 例5如图，OA Ob i,OA与Ob的夹角为i2oo,OC与OA的夹角为3o0, OC 5, 用OA,OB表示OC. 解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 ，即C哼，5 , 2 2 由 COA 300，所以 C5cos300,5sin 30 A 1,0 , 同理可求B OC 1OA 2OB,即 5丿3 5 2 2 11, 1 V3 2 - 2, 2 5J3 2 5 2 10U3 3 5 . 3 也OB. 3 2 必OA 3 4

8、利用向量的数量积解决两直线垂直问题 OC 例6求证：三角形的三条高交于同一点 分析如图，已知 ABC中，由AD BC, BE AC， 可；证明中，要充分利用好 AH BC 0 , BH CA 0这两个条件. 证明：AD BC,H在 AD上, AH BC 0而 AH (CH CA) BC 0,即 CH BC CA BC 0 又 BH aC,BH ch cB , BH AC 0 即(CH CB) AC 0 CH AC CB AC 0 -得：CH BC CH AC 0,即 CH BC AC 0 从而 CH BA 0 , CH AB, CH AB. CH CA , 5.利用向量的数量积解决有关距离的问

9、题，距离问题包括点到点的距离， 点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 例7求平面内两点 A(xi，yi), B(x2，y2)间的距离公式 分析已知点A(x,y1), B(X2,y2)求A, B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出 向量 Ab，那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |, AD BE H ,要证明CH AB,利用向量法证明CH AB，只要证得CH AB 0即 A SD t 点的线的距离, 根据向量模的公式得|AB| J(X2 X1)2 (y2 yj2，从而求得平面内两点间的距离公式 为 |AB| 7(X2 X1)2 (y2

10、yj2. 解：设点 A(X1, yj, B(X2, y2), AB 122 |AB| V(X2 X1) (y2 1) (X2xi,讨2yi) ，而 | AB| | AB| 点A与点B之间的距离为：| AB | 7(X2 X1)2 6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题 例 8 证明：cos( ) cos cos 分析如图，在单位圆上任取两点 边，OA,OB为终边的角分别为， sin sin A,B,以 Ox为始 设出A,B两点的坐 为向量OA,OB的 (y2 yi)2 and 以OA,OB为终边的角分别为 J ,则A点坐标为 (cos ,sin ),B 占坐 八、一1- 标为

11、(cos , sin ); OA (cos ,sin ), OB (cos ,sin )，它们的夹角为， |OA| |Ob| 1, OA Ob cos cos sin sin ，由向量夹角公式得: cos( ) OA OB cos cos sin sin ，从而得证. |OA|OB| 注：用同样的方法可证明 cos( ) cos cos sin sin 则 标，即得到OA,OB的坐标，贝y 夹角；利用向量的夹角公式，即可得证 证明：在单位圆 O上任取两点A, B，以Ox为始边, 7.利用向量的数量积解决有关不等式、 例9 最值问题 . y22)(X1X2 证明柯西不等式(x. 2 / 2 y1 ) (X2 证明：令a (X1, yjb (X2, y2) (1)当a 0或b 0时，a (2)当a 0且b 0时，令 b b a x1x2 yy 为a,b的夹角， x1x2 y1y2 |a|b|cos .又 |cos | 1 0，结论显然成立; 则 0, |a b| |XiX2 |a |b | (当且仅当 yiy21 Jxi2 a/b时等号成立） (X,2 2 / 2 yi )(X2 sin2 X 解：原函数可变为 y