抛物线的简单几何性质(2)学案.

1、3.1 【学习目标】 【学习难点】 【学习过程】 一、自主学习 二、合作探究 三、课堂练习 四、能力拓展 五、课堂小结 我的收获 我的困惑 课题： 3 .在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时. 教 具：多媒体、实物投影仪 - 教学过程： 一、复习引入： 抛物线的几何性质: 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦占 八、八、 准线 离心率 y2 2px p 0 0,0 x轴 卫,0 2 x上 2 e 1 y22px p 0 0,0 x轴 卫,0 2 x卫 2 e 1 x2 2py p

2、0 B 0,0 y轴 0纹 y 1 e 1 二、讲解新课： 1.抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点 M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径* 焦半径公式： 抛物线y2 2 px( p 0)，PF 抛物线y2 2px(p 0)，PF 抛物线 X2 2py(p 0)， PF Xo Xo yo yo 抛物线X2 2py(p 0)， PFyo -pp -p yo 2 直线与抛物线： （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） F面分别就公共点的个数进行讨论：对于y2 2px（p o） 当直线为y yo，即k 0 ,直线平行于对称轴时，与抛

3、物线只有唯一的交点 当 k 0 ,设 l : y kX b 将l: y kX b 代入 C : Ax2 Cy2 Dx Ey F 0，消去y，得到 关于 x的二次方程 ax2 bx c 0 * (*) 若 0，相交； 0，相切； 0, 相离 综上, 得： 联立 y kx b 2 y 2px 得关于x的方程 2 ax bx c 0 当a 0 （二次项系数为零），唯一 个公共点（交点） 当a 0，则 若0，两个公共点（交点）. 0, 个公共点（切点）+ 0，无公共点 （2）相交弦长： （相离）” 弦长公式：d - 、：；1 k2，其中a和分别是ax2 bx c 0（*）中二次项系数和判 别式，k为直

4、线l : y kx b的斜率. 当代入消元消掉的是y时，得到ay2 by c 0，此时弦长公式相应的变为: （3）焦点弦： 定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 焦点弦公式：设两交点A（xi，yi）B（x2, y2），可以通过两次焦半径公式得到: 当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关: 抛物线 y22 px( p 0)， AB p (xi X2)* 抛物线 y22 px( p 0)， AB p (% x2) 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关: 抛物线 x2 2 py(p 0)， I AB p (yi 抛物线x2 2py(p 0)， AB (yi 丫2）

5、（4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径: 2p + （5）若已知过焦点的直线倾斜角 则y k(x勺 2小 y 2px 2py yi y2 yi y2 2p k 2 p yiy2 4p2 p sin AB yiy2 sin 2p .2 sin （6）常用结论: y k(x 自 y2 2px 2p 2 2 x (k p 2p)x yiy2 p2禾口 x1x2 3.抛物线的法线： 过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的 线，抛物线的法线有一条重要性质： 经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴， 经过这一点的法线平分这条直线

6、和这点与焦点连线的 如图. 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用例如， 学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光 过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、 切线/ 轴 乂乂平行于轴 法线x 那 夹 在 线 手电筒就是利用这个光学性质设计 的反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的 2 4.抛物线y 2px（p 0）的参数方程: 三、讲解范例: 例正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 2 y 2px(p 0)上，求这 个正三角形的边长. 分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明 则容易求出三角形边长. x轴是它们公

7、共的对称轴, 解：如图，设正三角形 OAB的顶点 A B在抛物线上，且坐标分别为 （xyj、（x2,y2），则 2px2 又 |OA| = |OB| , 所以X, 22 yi 2 X2 2 y2 即 2 xi 2pxi 2 X2 2px2 (Xi2 X22) 2p(Xi X2) 0 (Xi X2) 2p(Xi X2) 0 Xi 0,X2 0,2p 0 , Xi X2. 2 2 yi 2pxi, y2 y 1 A B 由此可得 因为x轴垂直于 AB且/ AOx= 30，所以上 Xi ta n30 I yi I I y2 I，即线段ab关于x轴对称. A 所以y12 px1 2、3p,| AB |

8、 2y14.3p + yi 四、课堂练习 y2 2px p 0上，求这 1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 个正三角形的边长，（答案：边长为4 3p） 2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0上，求正 三角形外接圆的方程. 分析：依题意可知圆心在 x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：x y2 Dx 0, 又圆过点A6p, 2、. 3 , 所求圆的方程为x2 y2 8px 0 3 已知 ABC的三个顶点是圆 x2 y2 9x 0与抛物线y2 2 px p 0的交点，且 2 ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：y 4x ） 4

9、已知直角 OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y2 2px p 0上，（1）分 别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过， 求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段 AB上的射影M的轨迹方程+ 答案：（1） y1 y24 p2 ; （2）直线 AB 过定点 2p , 0 （3）点M的轨迹方程为 x p 2 y2 p2 x 0 . 2 5已知直角 OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y 2px p 0上，原点在 25 直线AB上的射影为D 2, 1 ,求抛物线的方程（答案：y2 x） 2 6已知抛物线y22 px p 0与直线y x 1

10、相交于A、B两点，以弦长 AB为直径 的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：y2 x） 7.已知直线y x b与抛物线y2 2px p 0相交于A、B两点，若OA OB, （ O为 坐标原点）且Saob 2 5,求抛物线的方程* （答案：y2 2x） &顶点在坐标原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线 y 2x 1截得的弦长为.15，求抛物 线的方程+（答案：y2 12x或y24x） + 五、小结：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 六、课后作业：+ 七、板书设计（略） 八、测试题：+ 1.顶点在原点，焦点在 y轴上，且过点P （4, 2）的抛物线方程是（） (A) x2= 8y(B) x2 = 4y(C) x2= 2y(D) x2 2 2抛物线y2 = 8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)(2, 4) (B) (2， 4)(C)( 1，2 2)(D)( 1，土 2 2) 3 抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8,则抛