山东省滨州市2019中考数学 第四章 几何初步与三角形 第六节 解直角三角形及其应用课件

1、考点一考点一 锐角三角函数锐角三角函数 (5(5年年1 1考考) ) 例例1 1 (2018 (2018德州中考德州中考) )如图，在如图，在4 44 4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为 格点，格点，ABCABC的顶点都在格点上，则的顶点都在格点上，则BACBAC的正弦值是的正弦值是 【分析分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出先根据勾股定理的逆定理判断出ABCABC的形状，再由锐角三角函数的定的形状，再由锐角三角函数的定 义即可得出结论义即可得出结论 【自主解答自主解答】由勾股定理可得由勾股定理可得ABAB2 23 32 24 42 22525，BC

2、BC2 21 12 22 22 25 5，ACAC2 22 22 24 42 2 2020， ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，ACBACB9090， ABCABC为直角三角形，为直角三角形， 求三角函数值的方法求三角函数值的方法 在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角形的高，构造一个包在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角形的高，构造一个包 含所求角的直角三角形，然后利用三角函数的定义解决在网格图中求锐角的三含所求角的直角三角形，然后利用三角函数的定义解决在网格图中求锐角的三 角函数值，要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定理角函数值

3、，要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定理 解答解答 1 1在正方形网格中，在正方形网格中，ABCABC的位置如图所示，则的位置如图所示，则coscos B B的值的值 为为( )( ) A A 2 2(2018(2018滨州中考滨州中考) )在在ABCABC中，中，C C9090，若，若tantan A A ，则，则sinsin B B 考点二考点二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 (5(5年年0 0考考) ) 例例2 2 在在ABCABC中，若中，若| |sinsin A A | |( ( coscos B) B)2 2 0 0， A A，B B都是锐角，则都是锐

4、角，则C C 【分析分析】 根据绝对值及完全平方的非负性，可得出根据绝对值及完全平方的非负性，可得出A A及及B B的度数，再利用三的度数，再利用三 角形的内角和定理即可得出角形的内角和定理即可得出C C的度数的度数 【自主解答自主解答】 又又A A，B B都是锐角，都是锐角，A A4545，B B3030， C C18018045453030105105. . 故答案为故答案为105105. . 熟记特殊角的三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法 (1)(1)按值的变化：按值的变化：3030，4545，6060角的正余弦的分角的正余弦的分 母都是母都是 2 2，正弦的分子分别是

5、，正弦的分子分别是1 1， 余弦的分子余弦的分子 分别是分别是 ， ，1 1，正切分别是，正切分别是 ，1 1， . . (2)(2)特殊值法特殊值法 在直角三角形中，设在直角三角形中，设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那，那 么三边么三边 长分别为长分别为1 1， ，2 2； 在直角三角形中，设在直角三角形中，设4545角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那，那 么三边么三边 长分别为长分别为1 1，1 1， . . 3 3(2017(2017烟台中考烟台中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB2 2， BCBC ，则，则sinsin 1 2 4

6、 4(2016(2016临沂中考临沂中考) )一般地，当一般地，当，为任意角时，为任意角时，sinsin( )与与sinsin()的值可以用下面的公式求得：的值可以用下面的公式求得：sinsin( )sinsin coscos coscos sinsin ；sinsin() sinsin coscos coscos sinsin . . 例如例如sinsin 90 90sinsin(60(603030) )sinsin 60 60coscos 30 30 coscos 60 60sinsin 30 30 1.1. 类似地，可以求得类似地，可以求得sinsin 15 15的值是的值是 62 4

7、考点三考点三 解直角三角形解直角三角形 (5(5年年3 3考考) ) 例例3 3 (2017 (2017滨州中考滨州中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090， CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，tantanACDACD ，ABAB5 5，那么，那么CDCD的长的长 是是 【分析分析】 根据余角的性质得到根据余角的性质得到B BACDACD，然后利用三角函数及勾股定理得到，然后利用三角函数及勾股定理得到 ACAC，BCBC的长，最后根据三角形的面积公式即可得到的长，最后根据三角形的面积公式即可得到CDCD的长的长 【自主解答自主解答】 ACB ACB909

8、0，CDABCDAB， ACDACDBCDBCDBCDBCDB B9090， B BACD.ACD. 设设ACAC3x3x，BCBC4x.4x. ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2， (3x)(3x)2 2(4x)(4x)2 25 52 2， 解得解得x x1 1，ACAC3 3，BCBC4.4. 5 5(2014(2014滨州中考滨州中考) )在在RtRtACBACB中，中，C C9090，ABAB1010， 则则BCBC的长为的长为( () ) A A6 6 B B7.57.5 C C8 8 D D12.512.5 A A 6 6如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBA

9、CB9090，CDCD是边是边ABAB的中线，的中线， 若若CDCD6.56.5，BCBC12.12.sinsin B B的值是的值是 5 13 考点四考点四 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 (5(5年年0 0考考) ) 命题角度命题角度仰角、俯角问题仰角、俯角问题 例例4 4 (2017 (2017临沂中考临沂中考) )如图，两座建筑物的水平距离如图，两座建筑物的水平距离BCBC 30 30 m m，从，从A A点测得点测得D D点的俯角点的俯角为为3030，测得，测得C C点的俯角点的俯角 为为6060，求这两座建筑物的高度，求这两座建筑物的高度 【分析分析】 过点过点A A作作AE

10、CDAECD，交，交CDCD的延长线于点的延长线于点E E，在，在RtRtADEADE中，由题意求出中，由题意求出DEDE的的 长，在长，在RtRtACEACE中，由题意得出中，由题意得出CECE的长，进而得出的长，进而得出ABAB的长根据的长根据CDCDCECEDEDE即可得即可得 解解 【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点A A作作AECDAECD，交，交CDCD的延长线于点的延长线于点E.E. 在在ADEADE中，中，AEDAED9090，AEAE3030， 7 7(2018(2018聊城中考聊城中考) )随着我市农产品整体品牌形象随着我市农产品整体品牌形象“聊聊胜一筹！胜一筹！”的

11、推出，的推出， 现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚， 如图如图1.1.线段线段ABAB，BDBD分别表示大棚的墙高和跨度，分别表示大棚的墙高和跨度，ACAC表示保温板的长已知墙高表示保温板的长已知墙高ABAB 为为2 2米，墙面与保温板所成的角米，墙面与保温板所成的角BACBAC150150，在点，在点D D处测得处测得A A点，点，C C点的仰角分别点的仰角分别 为为9 9，15.615.6，如图，如图2.2.求保温板求保温板ACAC的长是多少米？的长是多少米？( (精确到精确到0.10.1米

12、米) ) ( (参考数据：参考数据： 0.860.86，sinsin 9 90.160.16，coscos 9 90.990.99， tantan 9 90.160.16，sinsin 15.6 15.60.270.27，coscos 15.6 15.60.960.96， tantan 15.6 15.60.28.)0.28.) 解：设解：设ACACx x，在，在ABDABD中，中， 如图，作如图，作CEBDCEBD，垂足为点，垂足为点E E，作，作AGCEAGCE，垂足为点，垂足为点G.G. 命题角度命题角度坡度、坡角问题坡度、坡角问题 例例5 5 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为某地的

13、一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 6 m m，坡面，坡面 BCBC的坡度为的坡度为1111，为了方便行人推车过天桥，有关部门决，为了方便行人推车过天桥，有关部门决 定降低坡度，使新坡面定降低坡度，使新坡面ACAC的坡度为的坡度为1 .1 . (1)(1)求新坡面的坡角求新坡面的坡角； (2)(2)原天桥底部正前方原天桥底部正前方8 8 m m处处(FB(FB的长的长) )的文化墙的文化墙FMFM是否需要拆除？请说明理由是否需要拆除？请说明理由 【分析分析】 (1) (1)由新坡面的坡度为由新坡面的坡度为1 1 ，可得，可得tantan ， 然后由特殊角的三角函数值求得答案；然后由特殊角的三角

14、函数值求得答案； (2)(2)由坡面由坡面BCBC的坡度为的坡度为1111，新坡面的坡度为，新坡面的坡度为1 1 ，即可，即可 求得求得ABAB的长，则可求得答案的长，则可求得答案 【自主解答自主解答】 (1) (1)如图，过点如图，过点C C作作ABAB的垂线，交直线的垂线，交直线ABAB于于 点点D D， (2)CD(2)CD6 6，坡面，坡面BCBC的坡度为的坡度为1111，BDBD6.6. 同理同理ADAD6 .6 . ABABADADBDBD6 6 6868， 文化墙文化墙FMFM不需要拆除不需要拆除 解决坡度、坡角问题时的注意点解决坡度、坡角问题时的注意点 首先要认真读题，弄清题意

15、，理解坡度、坡角的实际意义及坡度与坡角的关系，首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及坡度与坡角的关系， 其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正 确选择关系式确选择关系式 8 8(2018(2018枣庄中考枣庄中考) )如图，某商店营业大厅自动扶梯如图，某商店营业大厅自动扶梯ABAB的的 倾斜角为倾斜角为3131，ABAB的长为的长为1212米，则大厅两层之间的高度为米，则大厅两层之间的高度为 _ _ 米米( (结果保留两个有效数字结果保留两个有效数字)()(参考数据：参考数据：s

16、insin 31 31 0.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tantan 31 310.601)0.601) 6.26.2 9 9(2018(2018邵阳中考邵阳中考) )某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯 改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯ABAB长为长为10 10 m m，坡角，坡角 ABDABD为为3030；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACBACB为为1515，请你计算改造后，请你计算改造后 的斜

17、坡式自动扶梯的斜坡式自动扶梯ACAC的长度的长度( (结果精确到结果精确到0.1 0.1 m m参考数据：参考数据：sinsin 15 150.260.26， coscos 15 150.970.97，tantan 15 150.27)0.27) 解：在解：在RtRtABDABD中，中，ABDABD3030，ABAB1010， ADADAB AB sinsinABDABD1010sinsin 30 305.5. 在在RtRtACDACD中，中，ACDACD1515，sinsinACDACD 答：改造后的斜坡式自动扶梯答：改造后的斜坡式自动扶梯ACAC的长度约为的长度约为19.2 19.2 m

18、m. . 命题角度命题角度方向角问题方向角问题 例例6 6 (2016 (2016临沂中考临沂中考) )一艘轮船位于灯塔一艘轮船位于灯塔P P南偏西南偏西6060方向，方向， 距离灯塔距离灯塔2020海里的海里的A A处，它向东航行多少海里到达灯塔处，它向东航行多少海里到达灯塔P P南南 偏西偏西4545方向上的方向上的B B处处( (参考数据：参考数据： 1.7321.732，结果精确，结果精确 到到0.1)0.1) 【分析分析】 延长延长ABAB，交南北方向线于点，交南北方向线于点C C，则，则ACPACP9090，在，在RtRtACPACP中，解直角中，解直角 三角形，然后计算三角形，然

19、后计算ACACBCBC即可即可 【自主解答自主解答】如图，延长如图，延长ABAB，交南北方向线于点，交南北方向线于点C C，则，则ACPACP9090. . 解决方向角问题的方法解决方向角问题的方法 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已 知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中， 就需要添加辅助线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程就需要添加辅助线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程 ( (组组) ) 来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力 1010如图，在某监测点如图，在某监测点B B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西处望见一艘正在作业的渔船在南偏西1515方向的方向的A A处，若处，若 渔船沿北偏西渔船沿北偏西7575方向以方向以4040海里海里/ /小时的速度航行，航行半小时后到达小时的速度航行，航行半小时后到达C C处，在处，在C C 处观测到处观测到B B在在C