2014-2015第二学期《高等数学1》9月考前辅导资料

1、高等数学1考前辅导一、考试复习所用教材高等数学(第5版)（上册）同济大学应用数学系 高等教育出版社 2002年7月二、考试题型介绍单项选择（每题5分，共5个小题）、填空（每题5分，共5个小题）、计算题（每题10分，共4个小题）、证明题（每题15分，共1个小题）三、针对性习题讲解第一章 函数与极限1. 掌握常见初等函数的性质(包括定义域、值域、奇偶性等)、复合函数的求法例1 试问函数的单调性.在r上都是单调递增的例2 如何判断两个函数是否是同一函数？ 解：1、定义域相同；2、对应法则相同 例3 试问定义域 解：解得，又因为，所以定义域为例4 如何判断函数的奇偶性？ 解：偶函数的定义：；奇函数的定

2、义：。另外：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数*奇函数=偶函数，偶函数*偶函数=偶函数，奇函数*偶函数=奇函数2. 掌握极限的计算方法（重点如例5的洛必达法则等）例1例2例3例4例5例63. 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限.例1例2例34. 了解无穷小、无穷大，有界以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限.例1 1注：极限值为一个非零的常数，因此这是一个有界量。在例3中，极限为0，因此它是一个无穷小量。例2注：第一个等式我们用了一次等价无穷小代换，常见的等价无穷小代换有：当时， 第二个等式我们用了一次洛必达法则，第三次个等式我们又用了

3、一个等价无穷小代换。利用等价无穷小代换、洛必达法则这两种常用求极限的方法必须掌握。例35. 理解函数在一点连续的概念例1 试判断：若在点连续，则存在的某个邻域使在该邻域内连续（）定义函数，容易知道函数在处连续，但在的任何邻域内都不连续。例3 证明：方程至少有一个正根，且它不大于例4 证明函数在（-2,2）之间至少有两个零点例5 ，若在处连续，求的值解：，在处连续，则，则第二章 导数与微分1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系.例1 试判断：若函数在处连续，则不一定在处可导（）可导必定连续；但是连续却不一定可导。例2 若函数在处可导，则一定在处连续（）可导

4、必定连续；但是连续却不一定可导。这个命题的逆否命题也是成立的：不连续的函数一定不可导例3 若注：复合函数求导法则：因变量先对中间变量求导再乘以中间变量对自变量求导例4 函数在x=1处可导，求解：2. 会用导数求曲线的切线方程例1 已知，求其在（0,1）点的切线方程。解：3. 了解高阶导数概念4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法例1 若，则 120 ，则例2 设，试求.例3 试求函数的一阶导数。例4 设，求第三章 中值定理与导数的应用1. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.例1 借助于函数的单调性证明：当时，解：令，则。故函数在区间上单调递增，因而有，即。例1 求函

5、数的单调区间与极值解：， 当时，单调递减，解得或 当时，单调递增，解得或 当时，取得极值。显然是个极大值，是个极小值，例2 求函数的单调区间和极值。解：容易知道，进而由可知。因而可知该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所求极值在处取得，且极值为1.第四章 不定积分1. 理解不定积分的概念及性质例1 试判断：连续函数一定有原函数。（）例2 试判断：对于同一函数的任意两个原函数来说，其和是一个常数（）：对于同一个函数的任意两个原函数来说，其差是一个常数（）例3 不定积分与导数的关系。解：2. 掌握不定积分的基本公式，不定积分换元法与分部积分法.例1 求不定积分.例2 求不定积分例3 求不定积分 （ c ）a. b. c. d. 注：将看成一个整体例4 求不定积分例5 求不定积分解：原式 令 将反代回去 3. 会求简单的有理函数的积分例1 求不定积分例2 求不定积分解：第五章 定积分及其应用1. 掌握定积分的概念与计算方法，重点掌握第一换元法、第二换元法的应用例1 试求函数在区间0,3上的平均值例2 已知函数，则例3 设求 例4 例5 设求解 令原式一方面： 令则另一方面：综上所述：原式