联立方程计量经济学模型

1、 联立方程计量经济学模型理 论与方法 联立方程计量经济学模型的联立方程计量经济学模型的 提出提出 一、经济研究中的联立方程计量经济学一、经济研究中的联立方程计量经济学 问题问题 经济系统问题：国民经济、地区经济、经济系统问题：国民经济、地区经济、 某一项经济活动等。某一项经济活动等。 以一个国内生产总值（以一个国内生产总值（Y Y）、居民消费总额（）、居民消费总额（C C）、投资总额（）、投资总额（I I）和政府消费额（）和政府消费额（G G）构成的）构成的 简单宏观经济系统为例。简单宏观经济系统为例。 如果将政府消费额由系统外部给定，并对系统内部其它的变量产生影响，就国内生产总值、居如果将政

2、府消费额由系统外部给定，并对系统内部其它的变量产生影响，就国内生产总值、居 民消费额、投资总额来讲是互相影响并互为因果的。居民消费和投资当然取决于国内生产总值，民消费额、投资总额来讲是互相影响并互为因果的。居民消费和投资当然取决于国内生产总值， 但反过来又影响国内生产总值。所以就无法用一个方程描述它们之间的关系，就需要建立一个但反过来又影响国内生产总值。所以就无法用一个方程描述它们之间的关系，就需要建立一个 由多个方程组成的方程系统。如，可以建立如下的模型：由多个方程组成的方程系统。如，可以建立如下的模型： 二、计量经济学方法中的联立方程问题二、计量经济学方法中的联立方程问题 联立方程用单方程

3、模型估计的问题联立方程用单方程模型估计的问题 1 1 随机解释变量问题随机解释变量问题 2 2 损失变量信息问题损失变量信息问题 3 3 损失方程之间的相关性信息问题损失方程之间的相关性信息问题 tttt tttt ttt GICY YYI YC 21210 110 6.26.2联立方程计量经济学模型的若干联立方程计量经济学模型的若干 基本概念基本概念 变量变量 结构式模型结构式模型Structural ModelStructural Model 简化式模型简化式模型Reduced-Form ModelReduced-Form Model 参数关系体系参数关系体系 内生变量内生变量 （Endo

4、genous Variables） 内生变量是由模型系统决定的，同时也对内生变量是由模型系统决定的，同时也对 模型系统产生影响。模型系统产生影响。 内生变量是具有某种概率分布的随机变量内生变量是具有某种概率分布的随机变量, , 一般情况下，内生变量与随机项相关一般情况下，内生变量与随机项相关. . 内生变量既作为被解释变量，又可以在不内生变量既作为被解释变量，又可以在不 同的方程中作为解释变量。同的方程中作为解释变量。 tttt tttt ttt GICY YYI YC 21210 110 一般情况，内生变量满足一般情况，内生变量满足 )Y(E )E(E(Y-)E(Y )Y(EYE( )(E(

5、)Y(EYE),( 0),(E 0),( ii iiii iii iiii ）（ ）（ 因为 即 ii ii ii YCov Y YCov 外生变量外生变量 (Exogenous Variables) 外生变量一般是确定性变量外生变量一般是确定性变量, ,外生变量影响外生变量影响 系统，但本身不受系统的影响。系统，但本身不受系统的影响。 一般情况下，外生变量与随机项不相关。一般情况下，外生变量与随机项不相关。 前定（先决）变量前定（先决）变量（Predetermined Variables） 外生变量与滞后内生变量外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)

6、统称为先决统称为先决 变量。变量。 先决变量只能作为解释变量。先决变量只能作为解释变量。 如果如果 0s 0)E(Y 0s 0)E( i i si si 那么 结构式模型的定义结构式模型的定义 根据根据经济理论经济理论和和行为规律行为规律建立的描述经济变建立的描述经济变 量之间直接结构关系的计量经济学方程系统量之间直接结构关系的计量经济学方程系统 结构式模型中的每一个方程都是结构式模型中的每一个方程都是结构方程结构方程 各个结构方程的参数被称为各个结构方程的参数被称为结构参数结构参数 结构方程的方程类型结构方程的方程类型 行 为 方 程 技 术 方 程 随 机 方 程 制 度 方 程 统 计

7、方 程 定 义 方 程 恒 等 方 程 平 衡 方 程 经 验 方 程 完备的结构式模型完备的结构式模型 具有具有g个内生变量、个内生变量、k个先决变量、个先决变量、g个结构方个结构方 程的模型被称为程的模型被称为完备完备的结构式模型。即每个内的结构式模型。即每个内 生变量都分别由一个方程来描述，结构方程的生变量都分别由一个方程来描述，结构方程的 数目等于内生变量的数目。数目等于内生变量的数目。 完备的结构式模型的矩阵表示完备的结构式模型的矩阵表示 习惯上用习惯上用Y Y表示内生变量，表示内生变量，X X表示先决变表示先决变 量，量，表示随机项，表示随机项，表示内生变量的表示内生变量的 结构参

8、数，结构参数，表示先决变量的结构参数表示先决变量的结构参数 XY X Y )( Y Y Y Y yyy yyy yyy g n n gggn 1 2 11121 21222 12 X X X X xxx xxx xxx k n n kkkn 1 2 11121 21222 12 1 2 11121 21222 12 g n n gggn 11121 21222 12 g g gggg gkgg k k 21 22221 11211 简单宏观经济模型的矩阵表示简单宏观经济模型的矩阵表示 tttt tttt ttt GICY YYI YC 21210 110 n n n t t t YYY III

9、 CCC Y I C 21 21 21 YX 1111 1011 12 Y G YYY G GG t t n n 1 2 11121 21222 0000 n n 100111 010 0001 )( 201 01 简化式模型：定义简化式模型：定义 用用所有先决变量所有先决变量作为每个内生变量的解释变作为每个内生变量的解释变 量，所形成的模型称为量，所形成的模型称为简化式模型简化式模型。 不反映经济系统中变量之间的直接关系。不反映经济系统中变量之间的直接关系。 简化式模型中作为解释变量的变量中没有内简化式模型中作为解释变量的变量中没有内 生变量，可以采用生变量，可以采用OLS估计每个方程的参数

10、。估计每个方程的参数。 简化式模型中每个方程称为简化式方程，方简化式模型中每个方程称为简化式方程，方 程的参数称为简化式参数。程的参数称为简化式参数。 2 2、简单宏观经济模型的简化式模型、简单宏观经济模型的简化式模型 tttt tttt tttt GYY GYI GYC 33213130 22212120 11211110 3 3、简化式模型的矩阵形式、简化式模型的矩阵形式 YX 11121 21222 12 k k gggk 1 2 11121 21222 12 g n n gggn 参数关系体系：参数关系体系： 该式描述了简化式参数与结构式参数该式描述了简化式参数与结构式参数 之间的关系

11、，称为之间的关系，称为参数关系体系参数关系体系。 1 YX YX YX 11 YX 作用作用 利用参数关系体系，首先估计简化式参数，利用参数关系体系，首先估计简化式参数， 然后可以计算得到结构式参数。然后可以计算得到结构式参数。 简化式参数反映了先决变量对内生变量的简化式参数反映了先决变量对内生变量的 直接直接与与间接间接影响之和，这是简化式模型的影响之和，这是简化式模型的 另一个重要作用。另一个重要作用。 例如，在上述模型中存在如下关系：例如，在上述模型中存在如下关系： 21 212 11 2 12 11 11 21反映反映Yt-1对对It的的直接与间接影响之和；直接与间接影响之和； 其中的

12、其中的2是结构方程中是结构方程中Yt-1对对It的结构参的结构参 数，它只反映数，它只反映Yt-1对对It的的直接影响直接影响。 在这里，在这里，2是是Yt-1对对It的部分乘数，的部分乘数，21 反映反映Yt-1对对It的完全乘数。的完全乘数。 tttt tttt ttt GICY YYI YC 21210 110 21 212 11 2 12 11 11 6.3 6.3 联立方程计量经济学模型的识别联立方程计量经济学模型的识别 一、识别的概念一、识别的概念 (4.3.1)(4.3.1) 为一个不可识别模型。为一个不可识别模型。 1 1 识别的定义：识别的定义： 如果联立方程模型中个结构方程

13、不具有确定的统计如果联立方程模型中个结构方程不具有确定的统计 形式，则称该方程不可识别。形式，则称该方程不可识别。 如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成 与某一个方程相同的统计形式，则称该方程不可识与某一个方程相同的统计形式，则称该方程不可识 别。别。 , 2 , 1 t 210 110 ttt ttt ttt ICY nYI YC 根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如 果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结 构参数估计值，则称该方程

14、不可识别。构参数估计值，则称该方程不可识别。 其中第一种可看成定义后两种为判断方法。其中第一种可看成定义后两种为判断方法。 2 2 模型的识别模型的识别 模型的识别与方程（随机）的识别的关系。模型的识别与方程（随机）的识别的关系。 3 3 恰好识别与过度识别恰好识别与过度识别 随机方程的参数的估计量只有一组为恰好识别；某一方随机方程的参数的估计量只有一组为恰好识别；某一方 程有多组参数估计量为过度识别。例程有多组参数估计量为过度识别。例 模型模型1 1 (6.3.1) (6.3.1) , 2 , 1 t 210 110 ttt ttt ttt ICY nYI YC 模型的简化式为模型的简化式为

15、 参数关系体系为参数关系体系为 模型模型2 2 (6.3.2) (6.3.2) tt tt tt Y I C 330 220 110 11 00 30 11 10010 20 11 01100 10 1 1 1 , 2 , 1 t 21210 110 ttt tttt ttt ICY nYYI YC ttt ttt ttt YY YI YC 313130 211120 111110 11 00 30 11 10010 20 11 01100 10 1 1 1 11 2 31 11 210 21 11 11 11 1 1 1 模型模型3 3 (6.3.3) (6.3.3) 简化式模型中解释变量增

16、加了滞后的消费量略。参数简化式模型中解释变量增加了滞后的消费量略。参数 关系体系关系体系 , 2 , 1 t 21210 11210 ttt tttt tttt ICY nYYI CYC 11 00 30 11 10010 20 11 01100 10 1 1 1 11 2 31 11 210 21 11 11 11 1 1 1 11 2 32 11 12 22 11 122 12 1 1 1 , 2 , 1 21210 1131210 ttt tttt ttttt ICY ntYYI PCYC 模型模型4 4 (6.3.4) (6.3.4) 此时已有此时已有8 8个有效方程但有个有效方程但有

17、7 7个待估参数模型为过度个待估参数模型为过度 识别。识别。 1 1 1 11 00 30 11 10010 20 11 01100 10 11 2 31 11 210 21 11 11 11 1 1 1 11 2 32 11 12 22 11 122 12 1 1 1 11 3 33 11 13 23 11 133 13 1 1 1 二、结构式识别条件二、结构式识别条件 中的第中的第 个方程包含个方程包含 个内生变量和个内生变量和 个先决变量，模型个先决变量，模型 系统中的内生变量和先决变量数目仍设为系统中的内生变量和先决变量数目仍设为 和和 ，矩阵，矩阵 表示第表示第 个方程中未包含的变量

18、在其它个方程中未包含的变量在其它 个方程中对个方程中对 应系数所组成的矩阵。于是，判断第应系数所组成的矩阵。于是，判断第 个结构方程识别个结构方程识别 状态的结构式条件为状态的结构式条件为 如果如果 ，则第，则第 个结构方程不可识别；个结构方程不可识别； 如果如果 ，则第，则第 个结构方程可以识别，且个结构方程可以识别，且 如果如果 ，则第，则第 个结构方程恰好识别，个结构方程恰好识别， 如果如果 ，则第，则第 个结构方程过度识别。个结构方程过度识别。 XY i i g i k gk )( 00 B i1g i 1)( 00 gBR i 1)( 00 gBR i 1 ii gkki 1 ii

19、gkk 例例6.3.1 6.3.1 以模型（以模型（6.3.46.3.4）为例解释结构式条件的应用，）为例解释结构式条件的应用， 模型为模型为 结构参数矩阵为结构参数矩阵为 对于第对于第1 1个结构方程的识状态有个结构方程的识状态有 所以该方程是恰好识别的。所以该方程是恰好识别的。 类似的可证第类似的可证第2 2个结构方程为过度识别的。个结构方程为过度识别的。 , 2 , 1 t 21210 1131210 ttt tttt ttttt ICY nYYI PCYC 0000111 0010 001 201 3201 B 01 1 2 00 B 12)( 100 gBR1 ii gkk 三、简化

20、式识别条件三、简化式识别条件 模型模型 的识别条件为的识别条件为 如果如果 ，则有第，则有第 个结构方程不可识别；个结构方程不可识别； 如果如果 ，则有第，则有第 个结构方程可以识别，且个结构方程可以识别，且 如果如果 ，则有第，则有第 个结构方程恰好识别，个结构方程恰好识别， 如果如果 ，则有第，则有第 个结构方程过度识别。个结构方程过度识别。 其中其中 是简化式参数矩阵中划去第是简化式参数矩阵中划去第 个结构方程所不个结构方程所不 包含的内生变量所对应的行和第包含的内生变量所对应的行和第 个结构方程中包含个结构方程中包含 的先决变量所对应的列之后，剩下的参数按原次序的先决变量所对应的列之后

21、，剩下的参数按原次序 组成的矩阵。组成的矩阵。 YX 1)( 2 i gR i 1)( 2 i gRi 1 ii gkk 1 ii gkk i i 2 i i 例例6.3.36.3.3 有有 ， 且已知简化模型参数阵且已知简化模型参数阵 则对于第二个结构式方程有则对于第二个结构式方程有 ， 所以该方程可以识别，又由于所以该方程可以识别，又由于 所以该方程是过度识别的。所以该方程是过度识别的。 对其它两个结构方程用同样办法判断。对其它两个结构方程用同样办法判断。 , 2 , 1 3332213 232312 1231211 iiii iiii iiii xyy nixyy xxy 3k3g 01

22、2 112 324 1 2 k 2 2 g 12 12 2 11)( 22 gR 12 22 gkk 四、实际应用中的经验方法四、实际应用中的经验方法 6.46.4一种特殊的联立方程一种特殊的联立方程递归系统递归系统 一、递归系统模型一、递归系统模型 如果如果 则这类模型被称为递归系统模型。则这类模型被称为递归系统模型。 二、递归系统模型的估计二、递归系统模型的估计 XY 1 01 001 0001 321 2231 21 kkk B gkgg k k 21 22221 11211 6.4 6.4 联立方程计量经济学模型的估计联立方程计量经济学模型的估计 一、概述一、概述 联立方程的两种估计方

23、法：单方程估计方法；系统估联立方程的两种估计方法：单方程估计方法；系统估 计方法。计方法。 单方程估计方法：最小二乘原理法（间接最小二乘法、单方程估计方法：最小二乘原理法（间接最小二乘法、 两阶段最小二乘法、工具变量法）；有限信息估计方两阶段最小二乘法、工具变量法）；有限信息估计方 法。法。 一、狭义的工具变量法（一、狭义的工具变量法（IVIV） 1.1.工具变量的选取：工具变量的选取： （6.4.1） 中的每个结构方程如中的每个结构方程如 （6.4.2） XY 1121211113132121 1111 NXXXYYYY kkgg 中包含中包含 个内生解释变量和个内生解释变量和 个先决解释变

24、量，写个先决解释变量，写 成矩阵形式为成矩阵形式为 （6.4.36.4.3） 其中其中 ) 1( 1 g 1 k 1 0 0 001 ),(N B XYY ngnn g g g yyy yyy yyy YYY 1 1 1 1 32 23222 13121 320 Y nknn k k k xxx xxx xxx XXX 1 1 1 1 21 22212 12111 210 X 1 1 13 12 0 g B 1 1 13 12 0 k n y y y Y 1 12 11 1 n N 1 12 11 1 欲估计方程（6.4.3）须克服随机解释变量的问题有须克服随机解释变量的问题有 效的方法是工具

25、变量法。这里用方程中没有包含的效的方法是工具变量法。这里用方程中没有包含的 个先决变量去作为方程中包含的个先决变量去作为方程中包含的 个内生解个内生解 释变量的工具变量。如此选择工具变量的方法被称为释变量的工具变量。如此选择工具变量的方法被称为 狭义的工具变量法。狭义的工具变量法。 如果结构方程是恰好识别的即满足如果结构方程是恰好识别的即满足 ，那，那 么工具变量的选择就很简单。么工具变量的选择就很简单。 如果结构方程是过度识别的即满足如果结构方程是过度识别的即满足 ，那，那 )( 1 kk ) 1( 1 g ) 1()( 11 gkk ) 1()( 11 gkk 么，工具变量的选择就较麻烦，

26、且参数估计的结果有么，工具变量的选择就较麻烦，且参数估计的结果有 一定的任意性。所以一般认为这种工具变量的方法只一定的任意性。所以一般认为这种工具变量的方法只 适用于恰好识别的结构方程的估计。适用于恰好识别的结构方程的估计。 2.IV2.IV参数估计量及其统计特性参数估计量及其统计特性 当选则当选则 作为作为 的工具变量时，得到的参数估计量为的工具变量时，得到的参数估计量为 其中其中 该方法在小样本下有偏，在大样本下渐进无偏。若工该方法在小样本下有偏，在大样本下渐进无偏。若工 具变量与方程随机误差项完全不相关，其参数估计量具变量与方程随机误差项完全不相关，其参数估计量 是无偏的。是无偏的。 *

27、 0 X 0 Y 10 * 0 1 000 * 0 0 0 ) () () ( YXXXYXX B IV nknknk kkk kkk kkk xxx xxx xxx XXX ,2, 1 2,2,22, 1 1 ,1 ,21 , 1 21 * 0 11 11 11 11 X 3.3.参数估计量与工具变量的次序无关参数估计量与工具变量的次序无关 二、间接最小二乘法（二、间接最小二乘法（ILSILS） 原理：先对简化式方程应用普通最小二乘法，然后通原理：先对简化式方程应用普通最小二乘法，然后通 过参数关系体系得到结构式参数的估计量。过参数关系体系得到结构式参数的估计量。 特点：只适用于恰好识别的结

28、构方程特点：只适用于恰好识别的结构方程 1.1.一个简单的例子一个简单的例子 可以证明第一个结构方程恰好识别，可用间接最小二可以证明第一个结构方程恰好识别，可用间接最小二 乘法进行其参数估计。模型乘法进行其参数估计。模型1 1有两个内生变量简化式为有两个内生变量简化式为 33332321313 23233232 12121112121 XYYY XYY XXYY 23232221212XXXY XXXY 100001 NXYBY 应用普通最小二乘法，对每个简化式方程估计参数，应用普通最小二乘法，对每个简化式方程估计参数， 得到参数估计量得到参数估计量 ，将简化式代入第

29、一，将简化式代入第一 个结构方程得到参数关系体系及应用该体系和简化个结构方程得到参数关系体系及应用该体系和简化 式参数估计量式参数估计量 ，得到的结构式参数估，得到的结构式参数估 计值如下：计值如下： 2.2.一般间接最小二乘法的估计过程一般间接最小二乘法的估计过程 将将（6.4.3）改写成改写成 即即 3 , 2 , 1, 2 , 1,ji ij 1223221312 1123211311 231312 / / / 0 231213 12221212 11211211 3 , 2 , 1, 2 , 1,ji ij 1 0 0 1 00 )1 (N X Y Y B 1 0 00 0000 )

30、(N X Y B 其中其中 内生变量的简化式模型为内生变量的简化式模型为 （6.4.6） 代入结构式模型得到代入结构式模型得到 )1 ( 000 BB 000 0 1 00 Y Y Y EXY 0000 0 0000000 XXB 0 000* 0 0 0000 X X X B 将将 分成两部分，一部分对应结构方程中包含的先分成两部分，一部分对应结构方程中包含的先 决变量决变量 ，一部分对应结构方程中未包含的先决变，一部分对应结构方程中未包含的先决变 量量 ，即，即 （6.4.7） 于是得到参数关系体系于是得到参数关系体系 用普通最小二乘法估计简化式模型（用普通最小二乘法估计简化式模型（6.4

31、.66.4.6），得到），得到 其参数代入参数关系体系（其参数代入参数关系体系（6.4.76.4.7），先由第），先由第2 2组方组方 程得到程得到 ，再代入第，再代入第1 1组方程得到组方程得到 。于是得到了。于是得到了 结构方程（结构方程（6.4.26.4.2）的结构参数估计量。）的结构参数估计量。 3.3.间接最小二乘法参数估计的统计性质（同工具法）间接最小二乘法参数估计的统计性质（同工具法） 4.4.间接最小二乘法也是一种工具变量方法间接最小二乘法也是一种工具变量方法 00 0 X * 0 X )( 2 00 1 0000 0 2 0000 0 1 0000 B B 00 B 0 1

32、1 00 0 0 ) ( YXXYX B ILs 可以证明，采用间接最小二乘法估计结构方程等价于可以证明，采用间接最小二乘法估计结构方程等价于 一种工具变量方法，选择一种工具变量方法，选择 作为作为 的工具变量，的工具变量， 即用即用 依次作为依次作为 的工具变量，于是（的工具变量，于是（6.4.36.4.3）的间接最小二乘估计量可）的间接最小二乘估计量可 以写成以写成 （6.4.86.4.8） X),( 00 XY ),( 121 11 kkk XXXXX ),( 11 12kg XXYY 三、二阶段最小二乘法（三、二阶段最小二乘法（2SLS2SLS） 现实中很多方程是过度识别的，二阶段最小

33、二乘法现实中很多方程是过度识别的，二阶段最小二乘法 适用于这种方程，是一种普遍应用的方法。适用于这种方程，是一种普遍应用的方法。 1.1.二阶段最小二乘法二阶段最小二乘法 （6.4.16.4.1）中的第）中的第1 1个结构方程（个结构方程（6.4.36.4.3）不能直接采）不能直接采 用普通最小二乘法，但对于简化式用普通最小二乘法，但对于简化式 可直接应用普通最小二乘法得到可直接应用普通最小二乘法得到 用用 的估计量的估计量 替代（替代（6.4.36.4.3）中的）中的 ，得到新的方，得到新的方 程程 00000 EXY )( 0 1 00 YXXXXXY 0 Y0 Y 0 Y 1 0 0 001 ), (N B XYY 显然上述方程不存在随机解释变量问题，可以直接显然上述方程不存在随机解释变量问题，可以直接 应用普通最小二乘法估计参数，得到应用普通最小二乘法估计参数，得到 （6.4.136.4.13） 2.2.二阶段最小二乘法参数估计的统计性质二阶段最小二乘法参数估计的统计性质 小样本下有偏，大样本下渐进无偏小样本下有偏，大