浙江专用高考数学新增分大一轮复习第六章平面向量复数6.3平面向量的数量积讲义含解析

1、 6.3平面向量的数量积取新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意主要考查利用数量积的定义解决数量积的运义.算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数曰占At zfz 丄一 . 入t 曰、占At-P+*【2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一量积与两个向量的夹角之间的关系.般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.解答题中出现，属于中档题.基础知识自主学习回扣皐础辺识 训练墓砒题目一亍知识梳理1. 向量的夹角已知两个非零向量 a和b,作0A= a, 0B= b,则/ AO

2、B就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0 ， n .2 平面向量的数量积定义设两个非零向量 a, b的夹角为0，则数量| a| b| cos 0叫做a与b的数量积，记作 a b投影| a|cos 0叫做向量a在b方向上的投影，| b|cos 0叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积3.向量数量积的运算律(1) a b= b a.(2) (入 a) b=入(a b) = a (入 b).(3)( a + b) c = a c+ b c.4 .平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a= (xi, yi) , b= (X2,

3、 y2), a与b的夹角为 0 .结论几何表示坐标表示模丨a| = Qaa| a| =px2 + y2夹角a bcos 0 |a|b|x1x2 + y1y2cos 0; t寸 x2 + y2 寸 x2+ y2a丄b的充要条件a b 0X1X2+ yw 0| a b| 与| a| b| 的关系| a b|a| b| X1X2+wyj(x1+ y2 Jx2+ y2)【概念方法微思考丨1. a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗?提示 不相同.因为 a在b方向上的投影为| a|cos 0 ,而b在a方向上的投影为| b|cos 0 , 其中0为a与b的夹角.2 两个向量的数量积大于0,则夹角一

4、定为锐角吗？提示 不一定当夹角为 0时，数量积也大于 0.r基础自测题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“ x”)(1) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( V )(2) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.由a b= 0可得a= 0或b= 0.( x )(4)( a b)c = a(b c) . ( x )两个向量的夹角的范围是|0, n 1( x )若a -b AB= AM MBAC=亦 MG= AMI- MB AB- AC= (AMl+ MB ( AM-=AlM-mB= |AM| 2- |MB|2 =9- 25=-

5、16.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1) 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a -b = | a| b|cos a，b. 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a= (xi, yi) , b=(X2,讨2，则a -b = X1X2+ yiy2(3)利用数量积的几何意义求解.题型二 平面向量的模7灯例1 (1)(2018 浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCDK E, M分别为DC的两个三等分点，F, N分别为BC的两个三等分点，且 AE- AF= 25, AM- AN= 43,则|AC|2 + |BD|2等于( )A. 45B. 60C. 90D. 180答案 C1

6、1解析 设AB= a, AD= b,依题意得 AE= AD+ DE= -a+ b, AF= AB+ BF= a + 3b, AM= AD+ Dm= 332 t t t23a+ b, AN= AB+ BN= a+ 3b,3 3 / ae- AF= 25, Am- an= 43,1a+ 3b = 25, a+3b =43,12以3a + b102 , 2a + b = 45,+ ya b= 25,13,+ a b= 43,I AC| + |BD| = |a + b| + | b a| = (a + b) + (b a) = 2(a + b ) = 90.故选 C.(2) (2017 浙江)已知向量

7、a,b满足|a|= 1,|b|= 2,则| a+ b| + |a-b|的最小值是最大值是.答案 42.5解析设a, b的夹角为0 ,I a| = 1, |b| = 2,I a+ b| + | a b| = a b12 n=TT一2，所以向量a，b的夹角为T，故选c. 已知ei, e2是互相垂直的单位向量.若3ei- e与ei+入e2的夹角为60,则实数 入的值是.答案33解析由题意知 | ei| = | e2| = 1, ei e2= 0,=p3e2 2ei e2+ e2 = p3 0+ i = 2.同理|ei+入e2| = i +入2.所以 cos60=加1- e2&+2| 寸3ei e2|

8、 ei + 入 e2|_ 心e2 + .3入 i ei e2 x e2小-入 _ i2寸1+入22寸1+入2 2,解得思维升华求平面向量的夹角的方法(i)定义法:cos 0 =abbf0的取值范围为0 ,坐标法：若a= (xi, yi),b= (X2, y2)，则cos 0 =xix2 + yiy2px2+ y2 7x2+ y2(3) 解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练2（1）（2011 浙江）若平面向量a , 3满足I a | = 1, | 3 | 1,且以向量a , 3为1 一邻边的平行四边形的面积为空，则a与3的夹角9的取值范围是.答案1解析 由题意知 S= | a | 3

9、 |sin 9 = sin 9 , 9 0 , n , 9 |才,（2018 浙江金华名校统考）已知向量a, b是夹角为-3的单位向量，当实数 入w 1时, 向量a与向量a+入b的夹角的取值范围是（）C.答案 Bn解析 根据向量a, b是夹角为的单位向量,画出图形，如图所示，设 张 a, OB= b,Z AOB=n,3当入=一 1 时，a+ 入 b = OA OC= OD此时a与a+入b的夹角为/ AO=nr;3当入1时，a+入b= OE OA= 6F,此时a与a+入b的夹角为/ AOF且/ AODZ AOFZ AOE 即30”是a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

10、.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若a b0,则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a b0,所以a b0”是a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2. (2018 台州调研)已知向量a= (2,1) , b= (1,3)，则向量2a- b与a的夹角为()A. 135 B. 60 C. 45 D. 30答案 C解析由题意可得 2a- b= 2(2,1) - (1,3) = (3 , - 1),则 |2a b| =32+ 1 2=10,| a| =22+ 12=5,且(2 a b) a= (3 , - 1) (2,1) = 6

11、- 1 = 5,设所求向量的夹角为0，由题意可得(2a b a 5 x/2|2 a-b| a| 寸T0x32则向量2a- b与a的夹角为45.3. 已知向量 a, b 满足 |a| = 1, | b| = 2,且 a-b=3, ,2)，则 |2 a- b| 等于()A. 2 2B.17C.15D. 2 5答案 A解析 根据题意，| a b| = U3+ 2= -J5,则(a b) 2= a2+ b2 2a b= 5一 2a b= 5,可得 a b= 0，结合 | a| = 1, | b| = 2,可得(2 a b) = 4a + b 一 4a b= 4 + 4 = 8,则 | 2a b| =

12、2 2，故选 A.4. (2018 宁波质检)在厶 ABC中, |AB + AC| = |AB AC , AB= 2, AC= 1, E, F 为 BC的三等分点，则 AE- XF等于()8102526答案 B解析 由|AB + AC = |AB ACC ,化简得Ab- aC= 0,又因为AB和AC为三角形的两条边， 它们 的长不可能为0,所以AB与 AC垂直，所以 ABC为直角三角形.以 A为原点，以AC所在直 线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0) , B(0,2) , Q1,0).不妨令E为BC的靠近C的三等分点，贝Ue|, 3 , F3 3 ,5 .

13、已知两个单位向量 a和b的夹角为60,则向量a b在向量a方向上的投影为（）A. - 1B. 1C.-2 2答案 D解析由题意可得| a| = | b| = 1,1且 a b= | a| x| b| x cos60=刁2 1a (a - b) = a - a b= 1 - 则向量a-b在向量a方向上的投影为1iara=2=1 故选 d| a|12故选6. （2018 温州“十五校联合体”联考)已知向量a, b的夹角为 0 , | a+ b| = 6, | a- b|2 ,3,贝U 0的取值范围是（）A. 0W 0 W nnB. W 0 332nn2 nCW 0 6 2D. 0 0 2,则a在b

14、方向上的投影的取值范围是 .-3、答案I-2, 0/解析 由(a+ b)2-b2= | a| = 3，得(a+ b)2-b2= | a|2+ 2a - b+ | b|2-1 b| 2= 9+ 2a- b= 3,解a b -3、得a - b=- 3，又因为|b| 2,则向量a在向量b方向上的投影为 币一 | ?, 0 .11已知 |a| = 4, | b| = 3, (2a-3b) - (2 a+ b) = 61.(1)求a与b的夹角0 ;求|a+ b| ; 若AB= a, EBC= 求厶ABC的面积.解(1)因为(2a-3b) - (2a+ b) = 61,22所以 4|a| 4a -b-3|

15、 b| = 61.又| a| = 4, |b| = 3,所以 64 - 4a -b-27= 61,所以 a -b = - 6,a *b 61所以 C0S 0 = |a|b|=衣3=- 2.又0W 0 W n，所以2n2172 2=4 + 2X ( 6) + 3 = 13,所以 |a+ b| =13.25(3)因为AB与 BQ的夹角2n0 = T所以/ ABQ= n又 |AB| = |a| = 4,|BC| = |b| = 3,所以 Sab 2|AB|BC| sin / ABC1=-X4X 3x2i3 = 3.3.PA-(Pb+ PC)的最小值.12已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A

16、BQ内一点，求解方法一设BC的中点为D, AD的中点为E,则有 PB+ PC- 2PD,则PA-(PB+ PC) = 2PA- PD=2(Pe+ EA) (PE- EA)- 2 - 2=2(PE EA) 当P与E重合时，呢有最小值0,故此时pa （ pb+ pq取最小值，F33最小值为一 2eA= 2X 4=一 2方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图,则 A 1,0），bu,o）, qo , 0，设P（x, y），取BC的中点D,则 PA-(PB+ PC) = 2PA- PD=2_x+ 42+ y-甲 2-4.Pa-（Pb+ PC）取最小值，为2XN技能提升练

17、13. （2018 浙江名校联盟联考 ）已知在 ABC中, AB= 4, AC= 2, ACLBC D为AB的中点,1 a1于于于 于点p满足AP=-A_AD则Pa-（Pb+ PC）的最小值为（）a aA. 2B.答案 C解析 由AP=：ACAD知点P在直线CD上，以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CAa a所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,2)，B(23，0)，C(0,0)，Q ,3,1),直线CD勺方程为y =-x，2-导，设 Px, fx，则 PA=4“33 当 x=,Pa-（Pb+ Pc）取得最小值A.|a - c|B.|a + c|C.| a C| min =

18、Pa-(Pb+ PC) = - x(2 3 2x) + |x2-8 2_ioV3 _8圈3x - 3 x = 3 x - 8，|514. （2018 杭州质检）记M的最大值和最小值分别为Max和Min.若平面向量a, b, c满足| a|=| b| = a b= c （ a+ 2b- 2c） = 2.则（）D.| a + C | min =答案 A解析由题意，建立平面直角坐标系(4,23).设 c = (x, y),(图略)，不妨取a= (2,0) , b= (1 , - 3)，贝U a+ 2b =2由 c (a+ 2b 2c) = 2 得(x 1) +即c对应的点在以1, 为圆心,三3为半径

19、的圆上,则 | a c| max=(2 1申)+ 芈=W故选 A.N拓展冲刺练115 .已知Sp，6b是非零不共线的向量，设亦市张+市玄，定义点集A =Fp. FM fq_fm 1斜冋1,当F1, Fa A时，若对于任意的 岱3,当F1, F2不在直线PQ上时,不等式| f?F2| w k| pQ恒成立，则实数k的最小值为 答案I4解析由0M=禽触誥和诈3)，可得P, Q M三点共线，且(耐1)0M= OF nOQ 即 nOMb oM= op nOQ 即 nQM= Mp 所以 pM= m由A= Ffp- fmFq- Fm1环11須可得 I制 cos / PFM | 制 cos / QFM即/

20、PFM=Z QFM则FM为/ PFQ勺角平分线,由角平分线的性质定理可得 QF= QM= m以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（图略），则P（0, 0）,C（1 + m 0）,x2 + y2F(x，y)，是=myj( x 1 n) 2+ y2( m2 2/化简得x+匚后+y = m7 ,故点F（x, y）是以m2m 1,0 j为圆心，洛为半径的圆.要使得不等式I F1F2| 3恒成立,只需 k(m+ 1),2m 21 m-_ m对m3恒成立， k16. （2019 嘉兴质检）已知|C| = 2,向量b满足2| b- c| = b c.当b, c的夹角最大时，求解 设OB=

21、b, OC= c,则/ BOC即卩向量b,c 的夹角，b-c = Cb 由 2| b- c| = b c,可知 2|BC| = 2|OB| cos / BO(C|BC|从而 cos / BO(= 0|OB|若|BC| = 0,则/ BO= 0,不符合题意;若|BC|0，则/ BOC为锐角,设 0B= m BC= n,n则 cos / BOC=n 在厶 OBC中,由余弦定理可知BO&OC廿 OB2- BC2 4+ m2- n22OC OB4m所以4 + m2 n24m2 2即 m= n + 4n 4,2从而 cos / BOC=n2_m2n2n2+ 4n 411所以 | b| sin 0 = 1,所以 | b|sin