2018全国三卷理科数学高考真题和答案

1、.2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题： 本题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax | x1 0 ， B0 ，1，2 ，则 A I BA0B 1C 1，2D 0，1，22 1i2iA3iB3iC 3iD 3i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4若 sin1 ，则 cos23A 8B 7C7D 8999955 x22的展开式中 x4 的系

2、数为xA 10B 20C 40D806直线 xy20 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B两点，点 P 在圆 x 222 上，则 ABP 面积的取值范围y2是A 2，6B 4，8C2，3 2D22，327函数 yx4x22 的图像大致为eord 完美格式.8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4，P X 4P X 6，则 pA 0.7B 0.6C 0.4D0.32229 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ABC 的面积为 abc ，则 C4A B C D 2

3、34610设 A，B ，C ，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为93 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A12 3B18 3C24 3D54 311设 F1 ，F2 是双曲线 C：x a22y（ a0 ，b0 ）的左，右焦点，O 是坐标原点过F2 作 C 的一条渐近线的221b垂线，垂足为 P 若 PF16 OP ，则 C 的离心率为A 5B 2C 3D 212设 a log 0.2 0.3， b log 2 0.3，则A a b ab 0B ab a b 0C a b 0 abD ab 0 a b二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。

4、eord 完美格式.13已知向量 a= 1,2 ， b=2, 2， c= 1,若 c 2a + b ，则_14曲线 yax 1 ex 在点0 ，1处的切线的斜率为2 ，则 a_15函数 f xcos 3 x 在 0， 的零点个数为 _616已知点 M1，1 和抛物线 C：y24x ，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A ，B 两点若 AMB90 ，则 k _三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）等比数列an 中， a11

5、 ，a54a3 （ 1）求an 的通项公式；（ 2）记 Sn 为an 的前 n 项和若 Sm63 ，求 m 18（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（ 1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（ 2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过

6、m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（ 3）根据（ 2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？2附： K2an adbc，b c da c bdP K2 k0.0500.0100.001k 3.841 6.635 10.82819（ 12 分）eord 完美格式.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧?CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于 C，D的点（ 1）证明：平面AMD 平面 BMC ；（ 2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值20（ 12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2y21 交于

7、A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M1，mm 0 43（ 1）证明： k1 ；2uuuruuuruuuruuuruuuruuur（ 2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FPFAFB 0 证明： FA ， FP ， FB 成等差数列，并求该数列的公差21（ 12 分）已知函数 fx2 x2ln 1x2 xax（ 1）若 a0 ，证明：当1x0 时， fx 0 ；当 x0 时， fx 0 ；（ 2）若 x0 是 fx 的极大值点，求a （二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （

8、 10 分）xOy 中， O 的参数方程为xcos ，为参数），过点 0 ， 2在平面直角坐标系y（且倾斜角为的sin直线 l 与 O 交于 A ，B 两点（ 1）求 的取值范围；（ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）设函数 fx2x1x1 （ 1）画出 yfx 的图像；（ 2）当 x 0 ， fx axb ，求 ab 的最小值eord 完美格式.参考答案：123456789101112CDABCADBCBCB13.114.315.316.2217.(12 分 )解：（ 1）设 an 的公比为 q ，由题设得 anqn 1 .由已知得 q44

9、q2 ，解得 q0 （舍去）， q2 或 q2 .故 an( 2) n 1 或 an2n 1 .（ 2）若 an(2)n 1 ，则 Sn1( 2)n. 由 Sm63得 (2)m188 ，此方程没有正整数解 .3若 an2n 1，则 Sn2n1 . 由 Sm63得 2m64 ，解得 m 6 .综上， m6.18. （ 12 分）解：（ 1）第二种生产方式的效率更高 .理由如下：（ i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟 . 因此第二种生产方式的效率更高.（ ii

10、）由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟 . 因此第二种生产方式的效率更高.（ iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（ iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生

11、产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了 4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（ 2）由茎叶图知 m798180 .2列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于 K 240(151555)210 6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.2020202019. （12 分）解：（ 1）由题设知 , 平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD. 因为 BC CD,BC 平面 ABCD,所以 BC平面

12、CMD,故 BCeord 完美格式.DM.?DM CM.因为 M为 CD 上异于 C， D的点 , 且 DC为直径，所以又 BCI CM=C, 所以 DM平面 BMC.而 DM 平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.uuur（ 2）以 D为坐标原点 , DA 的方向为x 轴正方向 , 建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz.?当三棱锥M- ABC体积最大时， M为 CD 的中点 .由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1) ，uuuuruuuruuurAM( 2,1,1), AB(0, 2,0), DA(2,0,0)设 n

13、 ( x, y, z) 是平面 MAB的法向量 , 则nuuuur0,2xyz 0,AMnuuur即2 y0.AB0.可取 n(1,0,2) .uuurMCDDA是平面因此的法向量 ,uuuruuur5n DAcos n, DAuuur，| n | DA |5sinuuur25 ，n, DA5所以面与面所成二面角的正弦值是25.MABMCD520. （ 12 分）解：（ 1）设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 x12y121, x22y221 .4343eord 完美格式.y1y2k 得两式相减，并由x2x1x1 x2y1y2 k 0 .43由题设知 x1 x21, y1

14、 y2m ，于是223k. 4m31由题设得 0m，故 k.22（ 2）由题意得F (1,0) ，设 P(x3, y3 ) ，则(x3 1, y3 )(x1 1, y1 )( x21, y2 )(0,0).由（ 1）及题设得 x3 3 (x1x2 )1, y3( y1y2 )2m 0.又点 P在 C上，所以 m3 ，从而 P(1,uuur3.3)，| FP|422于是uuur21)221)2x1 )x1 .|FA |( x1y1( x13(1242uuur2x2 .同理|FB|2uuuruuur1x2 ) 3所以|FA| |FB| 42 (x1.uuuruuuruuuruuuruuuruuur

15、故2|FP |FA| FB | ，即 | FA |,| FP |,| FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d，则uuuruuur1 | x11x2 ) 22 | d | | FB | | FA |x2|( x14x1 x2 . 22将 m3 代入得 k1 .4eord 完美格式.所以 l的方程为 yx7 ，代入 C的方程，并整理得7 x214x10 .44故 x1x22, x1x21，代入解得 | d |321.2828所以该数列的公差为321 或321.282821.(12 分 )解：（ 1）当 a0 时， f ( x)(2x)ln(1x)2 x ， f( x)ln(1x)x1.x设函数

16、 g (x)f (x)ln(1x)xx，则 g ( x)(1x.1x)2当 1x0 时， g ( x)0 ；当 x0 时， g ( x)0 .故当 x1 时， g( x)g (0)0，且仅当 x0 时，g( x)0 ，从而 f (x)0 ，且仅当 x0 时， f (x)0.所以 f ( x) 在 (1,) 单调递增 .又 f (0)0，故当1x0 时， f ( x)0 ；当 x0 时， f (x)0 .（ 2）（ i ）若 a0 ，由（ 1）知，当 x0 时， f ( x)(2x)ln(1x)2x0f (0)，这与 x0 是 f ( x)的极大值点矛盾 .（ ii ）若a0，设函数h( x)f

17、 ( x)ln(1x)2x.2xax22x ax2由于当 | x |min1,1时，2xax20，故 h( x) 与 f ( x) 符号相同 .| a|又 h(0)f(0)0 ，故 x0 是 f ( x) 的极大值点当且仅当x0 是 h(x) 的极大值点 .h ( x)11x2(2xax2 )2x(12ax)x2 (a2 x24ax6a1) .(2 xax 2 ) 2( x 1)(ax2x 2) 2如果 6a10，则当 0x6a1 ，且 | x |min1,1 时， h ( x)0，故 x 0 不是 h(x) 的极大值点 .4a| a|如果 6a 10 ，则 a2 x24ax6a10 存在根

18、x10 ，故当x( x1,0)，且 | x | min1,1 时，| a|eord 完美格式.h ( x)0 ，所以 x0 不是 h(x) 的极大值点 .如果 6a1 0 ，则 h (x)x3(x24). 则当 x (1,0) 时，h ( x)0 ；当 x(0,1) 时，h ( x) 0 .22( x1)(x6x 12)所以 x0 是 h( x) 的极大值点，从而x0 是 f (x) 的极大值点综上， a1.622 选修 4 4：坐标系与参数方程 （10 分）【解析】（1） e O 的直角坐标方程为x2 y2 1当时， l 与 e O 交于两点2当时，记 tank ，则 l 的方程为ykx2 l 与 e O 交于两点当且仅当21 ，解得|21k2k 1 或 k 1 ，即(, ) 或( ,4) 422综上，的取值范围是 (,) 44xt cos,(t 为参数，) （ 2） l 的参数方程为2t siny44设 A ， B ， P 对应的参数分别为tA ， t B ， tP ，则 tPtAtB ，且 tA ， t