中考数学难题汇总

1、1已知：如图，梯形abcd中，点e在bc边上，将cde沿de折叠，点c恰好落在ab边上的点处（1）求的度数；（2）求的面积2已知，如图，梯形abcd中，adbc,a=90，c=45，bedc于e，bc=5，ad:bc=2:5.求ed的长.（3题图） 3在abc中，ac=bc，acb=90，ab=6，过点c作射线cpab，在射线cp上截取cd=2，联结ad，求ad的长4在梯形abcd中，abcd，bdad，bc=cd，a=60，bc=2cm.(1)求cbd的度数；(2)求下底ab的长. 5已知：如图，在abcd中，adc、dab的平分线df、ae分别与线段bc相交于点f、e，df与ae相交于点g

2、（1）求证：aedf；（2）若ad=10，ab=6，ae=4，求df的长6已知：如图，在直角梯形abcd中，adbc,a=90,c=45，上底ad = 8，ab=12,cd边的垂直平分线交bc边于点g，且交ab的延长线于点e，求ae的长.7如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=4，将矩形abcd翻折，使得点b落在cd边上的点e处，折痕af交bc于点f，求fc的长图18.已知， 点p是mon的平分线上的一动点，射线pa交射线om于点a，将射线pa绕点p逆时针旋转交射线on于点b，且使apb+mon=180.（1）利用图1，求证：pa=pb；图2（2）若mon=60，ob=2，射线ap交on于点

3、，且满足且，请借助图2补全图形，并求的长. 9（本题满分4分）（1）如图两个正方形的边长均为3，求三角形dbf的面积.（2）如图，正方形abcd的边长为3，正方形cefg的边长为1, 求三角形dbf的面积. （3）如图，正方形abcd的边长为a，正方形cefg的边长为，求三角形dbf的面积. 从上面计算中你能得到什么结论. 图110（本小题满分7分）已知：等边三角形abc（1） 如图1，p为等边abc外一点，且bpc=120试猜想线段bp、pc、ap之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，p为等边abc内一点，且apd=120 求证：pa+pd+pcbd 11已知：如图，在四边形ab

4、cd中， ad=bc,a、b均为锐角(1) 当a=b时，则cd与a b的位置关系是cd ab，大小关系是cd ab；(2) 当ab时，（1）中c d与a b的大小关系是否还成立，证明你的结论12已知：abc和ade都是等腰直角三角形，abc=ade=90，点m是ce的中点，连接bm. （1）如图，点d在ab上，连接dm，并延长dm交bc于点n，可探究得出bd与bm的数量关系为 ； （2）如图，点d不在ab上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 1已知：如图，梯形abcd中，点e在bc边上，将cde沿de折叠，点c恰好落在ab边上的点处（1）求的度数；（2）求

5、的面积. 解：(1) 过点d作于f . , , , 四边形是正方形. , -1分 在rt中， , , -2分 -3分(2) 设 ， 则 ， 在rt中 解方程，得 -5分2已知，如图，梯形abcd中，adbc,a=90，c=45，bedc于e，bc=5，ad:bc=2:5.求ed的长.解：作dfbc于f,egbc于g. 1分a=90，adbc 四边形abfd是矩形. bc=5,ad:bc=2:5. ad=bf=2. .2分 fc=3.在rtdfc中， c=45， dc=.3分在rtbec中， ec=.4分 de=.5分（3题图） 3在abc中，ac=bc，acb=90，ab=6，过点c作射线cp

6、ab，在射线cp上截取cd=2，联结ad，求ad的长解：过点d作deab于e，过点c作cfab于f，则decfcpab，四边形defc是矩形-1分在abc中，ac=bc，acb=90，ab=6，cd=2af=cf=ab=3 -2分ef=cd=2,de=cf=3 -3分ae=1 -4分在ade中，aed=90,de =3,ae=1 ad= -5分4在梯形abcd中，abcd，bdad，bc=cd，a=60，bc=2cm.(1)求cbd的度数；(2)求下底ab的长. 解：,.,.1分cd, .2分bc=cd,. 3分.梯形abcd是等腰梯形. 4分ad=bc=2.在中，ab=2ad=4. 5分5已

7、知：如图，在abcd中，adc、dab的平分线df、ae分别与线段bc相交于点f、e，df与ae相交于点g（1）求证：aedf；（2）若ad=10，ab=6，ae=4，求df的长：（1）在abcd中， adc+dab=180df、ae分别是adc、dab的平分线， aedf2分（2）过点d作，交bc的延长线于点h，则四边形aehd是平行四边形，且fddhdh=ae=4，eh=ad=10. 在abcd中，adf=cfd，dae=beacdf=cfd，bae=beadc=fc，ab=eb在abcd中，ad=bc=10，ab=dc=6，cf=be=6，bf=bccf=106=4fe=bebf=64=

8、2 3分fh= fe+eh= 12 4分6已知：如图，在直角梯形abcd中，adbc,a=90,c=45，上底ad = 8，ab=12,cd边的垂直平分线交bc边于点g，且交ab的延长线于点e，求ae的长.解：联结dg 1分ef是cd的垂直平分线dg=cg 2分gdc=c, 且c =45dgc=90adbc,a=90abc=90四边形abgd是矩形3分bg=ad=8 fgc =bge =e= 45be=bg=8 4分ae=ab+be=12+8=205分7如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=4，将矩形abcd翻折，使得点b落在cd边上的点e处，折痕af交bc于点f，求fc的长：由题意，得ae

9、=ab=5,ad=bc=4,ef=bf. 1分在rtade中，由勾股定理，得de=3. 2分在矩形abcd中，dc=ab=5.ce=dc-de=2. 3分设fc=x，则ef=4-x.在rtcef中，. . 4分解得. 5分 即fc=.图18.已知， 点p是mon的平分线上的一动点，射线pa交射线om于点a，将射线pa绕点p逆时针旋转交射线on于点b，且使apb+mon=180.（1）利用图1，求证：pa=pb；图2（2）若mon=60，ob=2，射线ap交on于点，且满足且，请借助图2补全图形，并求的长. （1）在ob上截取od=oa，连接pd，op平分mon，mop=nop又oa=od，op

10、=op，aopdop1分pa=pd，1=2apb+mon=180，1+3=1802+4=180，3=4pd=pbpa=pb 2分（2）作beop交op于e，aob=600，且op平分mon， 1=2=30aob+apb=180，apb=120pa=pb，5=6=303+4=7，3+4=7=(18030)2=75在rtobe中，3=600，ob=24=150，oe=，be=14+5=450，在rtbpe中，ep=be=1op= 8分9（本题满分4分）（1）如图两个正方形的边长均为3，求三角形dbf的面积.（2）如图，正方形abcd的边长为3，正方形cefg的边长为1, 求三角形dbf的面积. （

11、3）如图，正方形abcd的边长为a，正方形cefg的边长为，求三角形dbf的面积. （1） （2分） （2）（2分）结论是：三角形dbf的面积的大小只与a有关， 与无关.（没写结论也不扣分）从上面计算中你能得到什么结论. 图110（本小题满分7分）已知：等边三角形abc（2） 如图1，p为等边abc外一点，且bpc=120试猜想线段bp、pc、ap之间的数量关系,并证明你的猜想；图2（2）如图2，p为等边abc内一点，且apd=120 求证：pa+pd+pcbd 猜想：ap=bp+pc -1分（1）证明：延长bp至e，使pe=pc，联结ce bpc=120 cpe=60，又pe=pc cpe为

12、等边三角形 cp=pe=ce，pce=60 abc为等边三角形 ac=bc，bca=60 acb=pce， acb+bcp=pce+bcp 即：acp=bceacpbce ap=be - -2分 be=bp+peap=bp+pc - - 3分（2）方法一：在ad外侧作等边abd - 4分则点p在三角形adb外 apd=120由（1）得pb=ap+pd 在pbc中，有pb+pccb， pa+pd+pccb - 5分 abd、abc是等边三角形 ac=ab，ab=ad，bac=da b=60 bac+cad=dab+cad 即：bad=cab abcadb c b=bd - 6分 pa+pd+pc

13、bd - 7分 方法二：延长dp到m使pm=pa，联结am、bm apd=120，apm是等边三角形， -4分am=ap，pam=60 dm=pd+pa -5分 abc是等边三角形ab=ac，bac=60ambapcbm=pc -6分在bdm中，有dm + bmbd， pa+pd+pcbd -7分11已知：如图，在四边形abcd中， ad=bc,a、b均为锐角(3) 当a=b时，则cd与a b的位置关系是cd ab，大小关系是cd ab；(4) 当ab时，（1）中c d与a b的大小关系是否还成立，证明你的结论）答：如图1，cdab ，cdab 2分（2）答：cdab还成立 3分证法1：如图2

14、，分别过点d、b作bc、cd的平行线，两线交于f点 四边形dcbf为平行四边形 ad=bc， ad=fd 4分作adf的平分线交ab于g点，连结gf adg=fdg 在adg和fdg中 adgfdg ag=fg 5分在bfg中， 6分 dcab 7分证法2：如图3，分别过点d、b作ab、ad的平行线，两线交于f点 四边形dabf为平行四边形 ad=bc， bc=bf作cbf的平分线交df于g点，连结cg以下同证法112已知：abc和ade都是等腰直角三角形，abc=ade=90，点m是ce的中点，连接bm. （1）如图，点d在ab上，连接dm，并延长dm交bc于点n，可探究得出bd与bm的数量

15、关系为 ； （2）如图，点d不在ab上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.图 图 解：(1)bd=bm. 2分(2)结论成立.证明:连接dm，过点c作cfed，与dm的延长线交于点f，连接bf，可证得mdemfc. 3分dm=fm, de=fc.ad=ed=fc.作anec于点n. 由已知ade=90，abc=90，可证得1=2, 3=4.4分cfed，1=fcm.bcf=4+fcm =3+1=3+2=bad.bcfbad. 5分bf=bd，5=6.dbf=5+abf=6+abf=abc=90.dbf是等腰直角三角形. 6分点m是df的中点，则bmd是等腰直角三角

16、形.bd=bm. 7分（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分）13(海淀)如图，在梯形abcd中，adbc，b=60，adc=105，ad=6，且acab，求ab的长14丰台.已知:如图，在四边形abfc中，=90,的垂直平分线ef交bc于点d,交ab于点e,且cf=ae.(1) 求证：四边形becf是菱形；(2) 当的大小为多少度时,四边形becf是正方形？15如图，梯形abcd中, ad/bc, abc=45 , adc=120 , ad=dc, ab=, 求bc的长.16西城已知：在梯形abcd中，adbc，b=45，bac=105，ad=cd=4求bc

17、的长17.已知:在abc中，bc=a，ac=b，以ab为边作等边三角形abd. 探究下列问题:（1）如图1，当点d与点c位于直线ab的两侧时，a=b=3，且acb=60，则cd= ；（2）如图2，当点d与点c位于直线ab的同侧时，a=b=6，且acb=90，则cd= ；（3）如图3，当acb变化,且点d与点c位于直线ab的两侧时，求 cd的最大值及相应的acb的度数. 图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分） 图 图（1） 已知：如图，rtabc中，acb=90，ac=bc，点d、e在斜边ab上，且dce=45. 求证：线段de、ad、eb总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角

18、形abc中，点d、e在边ab上，且dce=30，请你找出一个条件，使线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；19崇文（本小题满分分）在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为外一点，且,bd=dc. 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图2 图3（i）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是 ； 此时 ； （ii）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（i）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （iii） 如图

19、3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=，则q= （用、l表示）20.海淀在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知abc, acb=90 , abc=45，分别以ab、bc为边向外作abd与bce, 且da=db, eb=ec，adb=bec=90，连接de交ab于点f. 探究线段df与ef的数量关系.小慧同学的思路是：过点d作dgab于g,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是abc=30,adb=bec=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，

20、探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中df与ef的数量关系；（2）如图2，若abc=30，adb=bec=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若adb=bec=2abc, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 图1 图2 图313(海淀)如图，在梯形abcd中，adbc，b=60，adc=105，ad=6，且acab，求ac的长解：过点d作deac于点e，则aed=dec=90. .1分 acab， bac=90. b=60, acb=30. adbc， dac=

21、acb=30. .2分 在rtade中，de=ad=3，ae=，ade=60. .3分 adc=105， edc=45. 在rtcde中， ce=de=3. .4分 ac=ae+ce=.14丰台.已知:如图，在四边形abfc中，=90,的垂直平分线ef交bc于点d,交ab于点e,且cf=ae.(3) 求证：四边形becf是菱形；(4) 当的大小为多少度时,四边形becf是正方形？ ef垂直平分bc, cf=bf,be=ce ，bde=90 1 又 acb=90 efac e为ab中点， 即be=ae2 cf=ae cf=be cf=fb=be=ce 3 四边形是becf菱形. 4 当a= 45

22、时，四边形是becf是正方形. 515如图，梯形abcd中, ad/bc, abc=45 , adc=120 , ad=dc, ab=, 求bc的长.16西城已知：在梯形abcd中，adbc，b=45，bac=105，ad=cd=4求bc的长作aedc交bc于点e，afbc于点f（如图2）1分adbc，四边形adce是平行四边形2分dabcef图2ad=cd，四边形adce是菱形 ae=ec=cd=ad=43分eacacb，b=45，bac=105， acb=180bbac=30aeb=eacacb =60在rtaef中，4分在rtabf中， bc=bfefec=5分17.已知:在abc中，b

23、c=a，ac=b，以ab为边作等边三角形abd. 探究下列问题:（1）如图1，当点d与点c位于直线ab的两侧时，a=b=3，且acb=60，则cd= ；（2）如图2，当点d与点c位于直线ab的同侧时，a=b=6，且acb=90，则cd= ；（3）如图3，当acb变化,且点d与点c位于直线ab的两侧时，求 cd的最大值及相应的acb的度数. 图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分） 图 图（1） 已知：如图，rtabc中，acb=90，ac=bc，点d、e在斜边ab上，且dce=45. 求证：线段de、ad、eb总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形abc中，点d、e在边ab上

24、，且dce=30，请你找出一个条件，使线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（1）证明：如图，acb90，ac=bc，ab45.以ce为一边作ecfecb，在cf上待添加的隐藏文字内容3截取cf=cb，则cf=cb=ac. 图 连接df、ef，则cfecbe. 1分fe=be，1b45.dceecfdcf45，dcaecb45.dcfdca.dcfdca. 2分2a45，dfad.dfe2190.dfe是直角三角形.又ad=df，eb=ef，线段de、ad、eb总能构成一个直角三角形. 4分（2）当ad=be时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形.如图

25、，与（1）类似，以ce为一边，作ecf=ecb，在cf上截取cf=cb，可得cfecbe，dcfdca.ad=df，ef=be. 图dfe12ab120. 5分若使dfe为等腰三角形，只需df=ef，即ad=be.当ad=be时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形. 6分且顶角dfe为120.19崇文（本小题满分分）在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为外一点，且,bd=dc. 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图2 图3（i）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间

26、的数量关系是 ； 此时 ； （ii）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（i）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （iii） 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=，则q= （用、l表示）解：（i）如图1， bm、nc、mn之间的数量关系 bm+nc=mn 此时 （ii）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长ac至e，使ce=bm，连接de ,且又是等边三角形，在与中：(sas) dm=de, 在与中：(sas) mn=ne=nc+bm 的周长q=am+an+mn=am+an+(nc+bm) =(am+bm)+(an+nc) =ab+ac =2ab而等

27、边的周长l=3ab. （iii）如图3，当m、n分别在ab、ca的延长线上时，若an=，则q= 2+ （用、l表示）25怀柔如图1，在abc中，acb为锐角点d为射线bc上一动点，连接ad，以ad为一边且在ad的右侧作正方形adef解答下列问题：（1）如果ab=ac，bac=90图1图2图3当点d在线段bc上时（与点b不重合），如图2，线段cf、bd之间的位置关系为 ，数量关系为 当点d在线段bc的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果ab=ac，bac90，点d在射线bc上运动在图4中同样作出正方形adef，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；如果bac=90

28、，abac，点d在射线bc上运动在图5中同样作出正方形adef，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；图4图5答：（3）要使（1）问中cfbc的结论成立，试探究：abc应满足的一个条件，（点c、f重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（1）cf与bd位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；1分当点d在bc的延长线上时的结论仍成立（如图3）由正方形adef得 ad=af ，daf=90bac=90，daf=bac ， dab=fac.又ab=ac ，dabfac. cf=bd. acf=abdbac=90， ab=ac ，abc=45，acf=45，bcf=acb+acf= 90即 cfbd.3分（2）画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立.画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立.4分（3）当bca=45时，cfbd（如图6） 理由是：过点a作agac交bc于点g，ac=ag.图6可证：gadcaf acf=agd=45 .bcf=acb+acf= 90 即cfbd.5分20.海淀在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知abc, acb=90 , abc=45，分别以ab、bc为边向外作abd与bce, 且da=db, eb=ec，adb=bec=90，连