微积分同步辅导及考研指南

1、第一章 函数一 内容提要：1. 集合：集合的概念；集合的运算.2. 区间和邻域:(1). 区间：实数区间r=(-，+)；自然数全体n=0,1,2,3,；整数全体z=,-3,-2,-1,0,1,2,3, ； 开区间(a,b)=|ab；闭区间a,b= |ab；半开半闭区间(a,b= |ab；a,b)=|ab；（2） 邻域：邻域的概念是本章的重要概念，在以后的应用中经常出现，这里有必要把这个概念再详细复习一下:l 的邻域：设为一个实数，0，满足不等式的一切实数，即集合的全体实数叫的邻域. 叫邻域的中心，叫邻域的半径，的邻域记作u(,),即.满足的一切实数，即满足的一切实数，就是开区间内的一切实数，从

2、几何上讲的邻域就是以为中心，2为长度的开区间. .l 的去心邻域：记作,oy称为的左邻域，称为的右邻域.3. 函数的概念(1). 函数的定义.(2). 会求函数的定义域.(3). 函数的基本性质：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性.4. 分段函数、取整函数：因为分段函数今后经常遇到，有必要在这里强调一下.(1). 分段函数：有的函数在定义域的不同部分用不同的解析式子表达，这样的函数叫做分段函数. 例如:yo1-1绝对值函数： 符号函数：(2). 取整函数：也是一个分段函数，我们单独拿出来讨论一下. 设是一个实数.表示不超过的最大整数，即 y= =n，,叫做取整函数，它的图形是一个阶梯曲线.

3、5. 复合函数、反函数：(1). 复合函数:两个或者更多函数如何复合成复合函数，在后面典型例题中给几个例子.(2). 反函数：设函数的定义域是d(f)、值域是r(f),如果对于每一个r(f),都有唯一的d(f)与之对应且满足y=f(),则是定义在r(f)上以y为自变量的函数，记此函数为：.并称为的反函数，通常将的、对调得函数，我们称互为反函数.如何求一个函数的反函数，也在典型例题分析中给出例子.6. 基本初等函数与初等函数.7. 函数关系的建立.8. 经济学中常用的函数.(1). 需求函数：q=f(p),其中p表示某商品的价格，q表示需求量.(2). 供给函数：q=(p),其中p表示某商品的价

4、格，q表示供给量.(3). 成本函数：c=c0+c(q),其中c0为固定成本，c(q)为可变成本，q为销售量.(4). 收益函数：r=pq，其中p表示某商品的价格，q表示销售量.(5). 利润函数：l= r(q)- c(q),其中r(q)为总收益、c(q)为成本.二 典型例题解析：例1 用区间表示下列不等式中的变量的变化范围:(1) ; (2); (3) .分析：解上面问题要由绝对值不等式的几何意义以及数轴上点的位置关系将点集用区间表示.解：(1).根据绝对值的性质有+1或+1无解，-(+1)得：，即. (2).解法1：两边平方去掉绝对值符号得： 解法2：根据绝对值定义: . .综上知：.(3

5、)解法1.根据绝对值的性质:.解法2.根据邻域的定义，满足不等式的一切就是1的去心邻域.例2 求下列函数的定义域： 分析：函数定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.例3 判定下列函数在指定区间的单调性:分析：这里利用单调函数的定义或者几何意义进行讨论.例4 下列函数哪些是奇函数，哪些是偶函数，并说明理由. 分析：判断函数的奇偶性，只能利用函数奇偶性的定义，验证等式或者是否对任意实数均成立.例5 判断下列函数那个是有界函数、哪个是无界函数？例6 判定下列函数是否为周期函数，若为周期函数求其周期:例7 求下列函数的反函数以及反函数的定义域:例8 .例9 设三 本章习题全解习题111. 按下列要

6、求举例： (1).一个有限集; (2).一个无限集; (3).一个空集;（4）.一个集合是另一个集合的子集.解：(1).大于5而小于10的正整数组成的集合6,7,8,9.(2).大于5而小于10的实数组成的集合|55, r ; (2). ;(3). .3. 用列举法表示下列集合: (1).方程的根组成的集合; (2). ; (3).集合|-1|5的整数解.解：(1). 得：=3或=4解集为3,4.(3).解|-1|5得 -46,|-1|5的整数解为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.4. 下列哪些集合是空集：a=|+1=0 ； ；.解：上述集合中b、c、e为空集.5. 写出a=

7、0,1,2的所有子集.解：a=0,1,2子集有空集、0、1、2、0,1、0,2、1,2、0,1,2共八个.6. 如果集合a有n个元素，问a共有几个子集、几个真子集？解：集合a有n个元素，a的不含任何元素的子集只有一个为空集，含有1个元素的子集有含有r个元素的子集有.，含有n个元素的子集有个. 7. 如果a=0,1,2、b=1,2，下列各种写法，哪些是对的？哪些不对？ 其他都是错误的.8. 设a=1,2,3，b=1,3,5，c=2,4,6求：9. 如果i=1,2,3,4,5,6，a=1,2,3，b=2,4,6求: . 10. 如果a是非空集合，下列各个等式哪些是正确的？哪些是错误的？aa=、aa

8、=a、a=、a=a 、a=、a=a、aa=a解：下列等式是错误的：aa=、a=、a=a、aa=a，其余等式是正确的.11. 如果a=a,b,c,d,b=a,b,c，求ab解：ab=(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),(d,a),(d,b),(d,c)12. 设集合.13. 用区间表示满足下列不等式的所有的集合：(1). |3; (2).|-2|1; (3). |-a|0) ; (4). |5; (5).|+1|2.14. 用区间表示下列各点集，并在数轴上表示出来.(1). a=| |+3|2; (2). b= | 1|-2

9、|3 .解：(1). |+3|2可得：-5-1 (-5,-1) .(2). 1|-2|3可得：-11或35,(-1,1)(3,5). 习题121. 下列对应关系是否为映射？ x=平面上一切三角形.y=平面上全体点，x、y之间的对应关系是：每个三角形与其重心对应.解：构成映射，按照映射的定义，只要x中每一个元素按照对应法则在y中都有一个确定的元素与之对应即可构成映射，x中每一个三角形在平面内都有一个确定的点是该三角形的重心，所以构成映射.2. 求下列函数的定义域：;3. 下列各题中函数f()和g()是否相同？为什么？ 4. 确定函数 函数图像见下图：5. 判断下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数

10、？哪些是非奇非偶函数？6. 判断下列函数单调性： 7. 下列各个函数哪些是周期函数？如果是指出其周期. 8. 设为定义在(-2,2)上的奇函数，若函数在(0,2)内单调递增，求证在(-2,0)内也单调增加. 9. 设下面所考虑的函数都是定义在区间(-2,2)内的证明：(1)两个偶函数的和还是偶函数；两个奇函数的和还是奇函数. (2)两个偶函数的积还是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数.10.习题131. 求下列函数的反函数:2. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这个函数分别对应的给定自变量值的函数值. 3. 指出下列函数的复合过程： 4. ;.5. . 6

11、. 设的定义域是d=0,1，求下列函数的定义域. 习题141. 求下列函数的定义域:2. 下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？3. 4. 5. 由的图像做出下列函数的图像. 6. 由的图像做出下列函数的图像.7. 若是以2为周期的周期函数，且在-1,1上有 做出在内的图像.8. 设是在实数集r上有意义的偶函数，且对任意的r，都有，求在上的表达式，并做出在r上的图像.习题151. 某运输公司规定货物的运输价格为：在a公里以内，每公里k元，超过a公里，超出部分每公里元，求运价和里程s之间的函数关系.2. 拟建设一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价为四周

12、单位面积造价的2倍.试将总造价表示成池底边长的函数，并确定其函数的定义域.解:设k为四周单位面积的造价，底面边长的，则容器的高为，则四周的总造价为，底面的总造价为，则容器的总造价为y,3. 设一个矩形的面积为a，试将周长s表示成宽的函数，并求其定义域. 4. 在半径为r的球内嵌入一个圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定其函数的定义域.5. 用铁皮做一个容积为v的圆柱形罐头桶，试将它的全面积表示成底面半径的函数，并确定此函数的定义域.6. 按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2，半年期存款的年利率是4.0，每一笔存款到期后银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为a单位货币的

13、该种外币存入银行，两年后取出，问存入何种期限的存款能有较多的收益？多多少？7. 某工厂生产某种产品，年产量为，每台售价为250元，当年产量为600台以内时，可以全部售完，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多本年就售不出去了，试建立本年的销售总收入r与产量的函数关系.解：当产量在600台（含600台）以内时，销售收益为元；当产量超过600台而小于800台时，销售收益为r=230+20600=230+1200(元)当产量超过800台时，销售收益为r=230800+20600=196000元习题1-61. 某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每

14、台元的价格卖出时.消费者每月(200-)台,请将该厂的月利润表达为价格的函数.解：销售收入为(200-),成本为50(200-)月利润为y=(200-)-50(200-)=(200-)(-50)元.2. 当某商品价格为p时消费者对该商品的月需求量为d(p)=12000-200p.（1） 画出需求函数的图像.（2） 将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格p的函数.（3） 画出月销售额的图像，并解释其经济意义.解:(1).需求函数d(p)=12000-200p,做出函数图像如右图. (2).r(p)=(12000-200p)p. (3)做出月销售额r(p)的函数图像，其意义是销售价格为p

15、时月销售总金额.3. 某报纸的发行量以一定速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份.pdo60（1） 写出发行量依赖于时间的函数关系，并画出图像；（2） 两个月后的发行量是多少？解：(1).由题设知发行量每月按4000份的增速增加.因此发行量y与时间的函数关系为:y=44000+4000t , (2).当t=2时，得:y=52000(份),即两个月后发行量为52000份.4. 某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1).要卖多少台厂家可以收回成本.(2).如果卖掉100台，厂家赢利或者亏损了多少？(3).要获得1250元利润，需要

16、卖多少台？解：总利润=总收益总成本（总成本=固定成本+可变成本）,所以l()=110-(7500+60)=50-7500.(1).要使厂家收回成本，利润不能为负数, ，所以出售150台就可以收回成本.(2). l(100)= 5000-7500= - 2500(元),即卖出100台，该厂亏损2500元.(3).令50-7500=1250，解得：=175(台).即出售175台能获利1250元.5. 有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择那一家俱乐部（根据健身次数决定）？解：若每月健身次数为，在第一家会费余额

17、为（300-）元，在第二家会费余额为（200-2）元，即若每月健身次数小于100时，则在第二家余额大于第一家，所以当次数少于100时选第二家俱乐部.6. 设某商品的需求函数与供给函数分别是(1).找出均衡价格，并求出此时的供给量和需求量；d(p)s(p)pos/d807010(2).在同一坐标系下画出供给与需求曲线；(3).何时供给曲线过p轴，这一点的经济意义是什么？（2）做出需求曲线和供给曲线如图.（3）当价格p=10时供给曲线过p轴经济学意义是：当价格低于10元时，供给商停止向市场供应商品.7. 某化肥厂生产某产品1000吨，每一吨定价130元，销售在700吨以内时，按原价出售，超过700

18、吨时，超过部分需要打9折出售，试将销售总收益和总销售量函数关系用数学表达式表出. 解：设销售量为，总收益为r,8. 某饭店有高级客房60套，目前租金每天每套200元，则基本客满，若提高租金，预计每套租金提高10元，均有一套客房空出来，试问租金定为多少时，饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店空出多少客房？解:设每间客房每天租金为元，总收入列表分析如下： 租金总收入=200r=60200=200+10r=(60-1) (200+10)=200+20r= (60-2) (200+20)=200+30r= (60-3) (200+30)=200+10nr= (60-n) (200+10n)=-10n

19、2+400n+12000所以总收入r= -10n2+400n+12000,这是一个二次函数，二次项系数a= -1015000,所以利润函数是:y=(1.20-1.22)15000+(-15000)10=0.1-1800,令y=0得：=18000,即至少销售18000本才可以保本.令y=1000得0.1-1800=1000所以=28000,即销售28000本才可以获利1000元.四 考研真题精选:1. （90，01）设函数 （ b ）a. 偶函数 b. 无界函数 c. 周期函数d. 单调函数解：本题主要考察函数的四个基本性质.即单调性、奇偶性、周期性、有界性.由于2. （92,02）的定义域是

20、3. （2000，数一）设函数.4. （04年）函数 a . a. (-1,0) b. (0,1) c. (1,2)d. (2,3) 第二章 极限与连续一 内容提要：1. 数列的极限：数列极限的定义：收敛数列与发散数列、收敛数列的性质（极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子数列的关系），数列极限的四则运算法则、夹逼定理、数列收敛定理（单调有界数列一定收敛）.2. 函数的极限：（1） 自变量趋于有限值时函数的极限： l .l .l 极限存在的充要条件：.（2） 自变量趋于无穷大时函数的极限： l .l .（3） 函数极限的性质： 函数极限的唯一性定理；函数极限的局部有界

21、性定理；函数极限的局部保号性定理；函数极限的夹逼定理.3. 无穷大和无穷小:（1） 无穷小的定义:此定义可简写为：.l 有极限的变量和无穷小的关系：时的无穷小量.l 无穷小具有的性质：有限个无穷小的和还是无穷小；无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小，常量与无穷小的积是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小.（2） 无穷大的定义: l 无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷小量，则为无穷大量.4. 极限运算法则：l .l （复合函数求极限法则）：则有：.5. 极限存在准则： （1）.极限存在准则：l l . l 准则2：单调有界数列一定有极限. (2).两个重要极限： (3).连续复利

22、问题： 设一笔贷款(称为本金)，年利率为r，则k年后本息和为（n为每年计息期数）如果每年计息期数也即是每时每刻都计算复利（称为连续复利），则k年后本息和为： .6. 无穷小的比较：设、为在同一自变量变化过程中的无穷小，0,llllll 常用的几个等价无穷小： 7. 函数的连续性：（1）.函数在一点处连续的定义： l 根据定义，在处连续必须满足下面三个条件：在处有定义，即有确定的函数值；在处的极限存在，即；.l 左连续、右连续的定义：如果满足:，那么称在处左连续（右连续）.l 在区间a，b上连续的定义：如果在(a，b)内每一点都连续，且在=a处右连续，在=b处左连续，那么称在a，b上连续. 函数

23、的间断点：的不连续点称为函数的间断点，在处有以下三种情况之一，为的间断点： l 间断点的分类： 第一类间断点：为间断点，但是在处左、右极限都存在且相等的，这样的间断点称为第一类间断点.第一类间断点又分为可去间断点和不可去间断点. 可去间断点里面有在处无定义，但是存在，这种间断点可以通过补充定义使其连续；另一种间断点是在处有定义，也存在但是，这种间断点可以通过改变函数值使其连续. 不可去间断点是指左、右极限存在且不相等的情形，这种间断点又叫跳跃间断点.第二类间断点：震荡间断、无穷间断点都是属于第二类间断点. （2）.初等函数的连续性：l 函数的和、差、积、商的连续：设、在处连续，则.l 反函数的

24、连续性：如果在处连续，则其反函数在处也连续.l 复合函数的连续性：设函数.l 基本初等函数、初等函数的连续性： 基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的，这时我们强调：初等函数连续性不能说成在定义域内连续，只能说是在定义区间内处连续.举例说明如下： 8. 闭区间上连续函数的性质：l 最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；l 有界性定理：闭区间上的连续函数一定有界；l 零点存在定理：设在a，b上连续，且则在(a，b)内至少存在一点，使得.l 介值定理：设在a，b上连续，,无论c是取在a、b间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.介值定理

25、的推论：设在a，b上连续，m为在a，b上的最大值，m为在a，b上的最小值，无论c是取在m、m间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.二 典型例题解析：例1 求下列数列的极限：例2 求下列函数的极限： 例3 设a0，b0,且例4 .解：求，需要先求的表达式，再根据函数的连续性例5 . ,例6 证明: 三 本章习题全解习题211. 观察下列数列变化趋势.判断那些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限:2. 才能使与极限之差的绝对值小于0.0001？ 3. 分别取怎样的n,才能使nn时成立？并利用极限定义证明此数列极限为1.4. 用极限定义考查下列结论是否正确，为什么？ 5. 利用极限

26、性质判别下列结论是否正确，为什么？ 6. 利用数列的证明下列极限: 7. 8. . 习题221. 用极限的定义证明： ;2. 利用极限定义证明: 3.提示：因为2,所以不妨设10,b0均为常数，则.6 （2003.数四，4分）. 7 （2003.数四，8分）.8 （2005.数四，8分）.9 （2005.数四，8分）.10 （2008.数四，10分）.结论：通过以上10个题目，我们可以看出考研题目中求极限的问题，经常利用罗比达法则和等价无穷小的关系，特别是等价无穷小的几个等价式子要熟记.在利用等价无穷小的关系式时，乘积和商的形式才可以用，和与差的式子不能使用.（二） 有关函数的连续性以及间断点

27、问题：1. （1987.数四，2分）下列函数在其定义域内连续的是 （ a ） 2. （98.数四，3分） 3. (04.数四，4分) 4. （2008.数四,4分）. 第三章 导数、微分、边际与弹性一 内容提要：1. 导数概念：1）. 函数在一点处的导数的定义：存在则称此极限为在处的导数，记为；即： .2）. 单侧导数：函数在处可导的充要条件是：在处的左、右导数存在且相等.3）. 函数在区间（a,b）内可导的定义：如果在区间（a,b）内每一点处都可导，称在区间（a,b）内可导.如果在区间（a,b）内每一点处都可导，且在处右可导，在处左可导，就称在区间a,b上可导.4）. 函数的可导性与连续性之

28、间的关系：如果函数在处可导，则在处一定连续，其逆命题不真.所以函数连续是可导的必要不充分条件.2. 求导法则与基本初等函数的求导公式：1）. 求导法则：可导函数的和、差、积、商仍为可导函数.：l .l .l .l 反函数求导法则：如果单调可导，且，则他的反函数在对应区间内可导，并有:.也就是说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.l 复合函数的求导法则：若函数可导，函数在处可导，则复合函数在处可导且，简写为： .简言之，复合函数的导数等于外函数的导数与内函数的导数的积，这个法则也叫做链式法则.2）. 基本初等函数的求导公式：这里不在一一写出基本初等函数的导数公式，但是要求熟练掌握并灵活应用.3

29、）. 导数的几何意义：函数在在几何上表示曲线在点处的切线的斜率.3. 高阶导数：一阶导数：;二阶导数：如果叫n阶导数：如果的(n-1)阶导数仍然可导，则(n-1)阶导数的导数叫4. 隐函数以及由参数方程所确定的函数的导数：i. 隐函数的导数：在多元函数的微分中要介绍，这里不再复习.ii. 由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数：.5. 函数的微分： (1).函数，其中a是不依赖于的常数，的高阶无穷小，称(2).可导与可微之间的关系：函数在处可微的充要条件是在处可导.(3).函数在处微分的几何意义：表示曲线在处当自变量取得改变量时图像上的点的纵坐标的改变量，而函数的微分在几何上表示曲线在处的切

30、线上点的纵坐标的改变量.(4).基本初等函数的微分公式以及微分法则：(5).复合函数的微分法：设，则:.6. 边际与弹性：1）. 边际：l 边际函数的定义：设在处可导，则称为的边际函数，在处的值叫边际函数值，即当时，改变一个单位，改变个单位. 有了边际函数的定义，在经济学中常见的边际函数就好理解了.l 边际成本：c=c(q)为成本函数，叫边际成本函数，当时叫做边际成本值，即当q在处改变一个单位时，总成本改变了个单位.边际平均成本.l 边际收益：设函数为总收益函数，,由于r(q)=pq,叫总收益函数在处的边际收益值，即当q在处改变一个单位时，总收益改变了个单位.l 边际利润：叫边际利润函数，即,

31、叫总利润函数在处的边际利润值，即当q在处改变一个单位时，总利润改变了个单位.l 边际需求：叫边际需求函数，即.即当p在处改变一个单位时，需求量改变个单位.2）. 弹性：l 弹性函数的定义：设函数在处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从两点间的平均相对变化率，或称为两点间的弹性，当时，的极限为处的相对变化率，也就是相对导数或称弹性，记为或，即.对一般的，如果可导，且, 则有:是的函数，称为的弹性函数(简称弹性)表示在处,当产生1的改变时,近似的改变(应用中略去近似二字).l 经济学中常见的弹性函数：l 需求的价格弹性：设需求函数是q=q(p)表示当p在处产生1的改变时，需求

32、量改变了,需求弹性总用正值表示，所以要加绝对值符号称为.l 几种特殊的价格弹性：=0，这是完全没有弹性的商品，其需求量不发生变化.为无穷大，表明商品在一定条件下有多少可以卖掉多少，然而当价格稍微提高一点，就可能一个也卖不出去.1，表示是富有弹性的商品，即需求量变化的幅度大于价格变化的幅度；如某商品的价格在处上涨（下跌）1，需求量减少（增加）的百分数大于1.=1，表示是单位弹性商品，即价格变化幅度等于需求的变化幅度.l 需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系：设总收益函数r=pq=pf(p)边际总收益： .下面对上式进行分析：当0,r增加.即价格上涨（下跌），总收益增加（减少）.当1时，需求量变

33、化的幅度大于价格变化的幅度；此时0,r减少，即价格上涨（下跌）总收益减少（增加）.当=1时，需求量变化幅度等于价格的变化幅度，此时=0,r取得最大值.这个分析可以用下图表示：=11orl 供给弹性：设供给函数，为供给弹性.l 收益弹性：设总收益函数r=r(p)，为收益弹性.二 典型例子解析： 例1 利用定义求下列函数的导数： 例2 判定在=0处是否可导.解：求出函数在=0处的左右导数，进行比较即可.例3 设求a,b使得在=0, =1处可导. 解:根据函数可导与连续间的关系来确定a，b的值，由于在=0处可导，可导必然连续、连续一定极限存在.例4 设 解：利用导数定义以及等价无穷小的关系可以求得，

34、不过需要对原式极限先进行变形，再用导数定义.例5 求下列函数的导数： .再利用复合函数的求导法则求导，例6 设是由函数方程求以及在(0,0)处的法线方程以及切线方程. 解：所给方程为隐式方程，求需要先对方程两边求导数，方程两边求导数得：例7 计算由参数方程所确定的函数的一阶导数和二阶导数. 解：两个方程对t分别求导：例8 设是由函数方程 解:求微分，我们先求,方程两边同时对求导：.例9 某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，已知总收益r是年产量q的函数： 问年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解：求利润函数需要有总收益、总成本函数，这里r(

35、q)已知，总成本函数 c=c(q)=20000+100q,从而利润函数是:即当年产量是300单位时总利润最大，最大利润是25000元.例10 设某商品需求函数为，求:（1）需求弹性函数；（2）当p=6,12,24时的需求弹性，并说明其经济意义.从经济意义上讲：当在p=6处价格上涨（下跌）1，需求量减少（增加）0.5；p=12处价格上涨（下跌）1，需求量减少（增加）1，当在p=24处价格上涨（下跌）1，需求量减少（增加）2.例11 设某商品的需求函数为, (1)求需求弹性函数；（2）求p=6时的需求弹性，说明其经济意义；（3）在p=6时若价格上涨1，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？其经济意

36、义是：当价格在p=6处上涨(下降)1，需求量将减少（增加）0.33.这种商品缺乏弹性，因此当p=6时价格上涨1，总收益增加0.33.例12 某商品的需求函数为,(1) 当p=4时的边际需求，并说明其经济意义.(2) 当p=4时的需求弹性，并说明其经济意义.(3) 当p=4时若价格p上涨1，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？(4) 当p=6时若价格p上涨1，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？(5) 当p为何值时，总收益最大？,其经济意义是：当价格从p=4上涨(或下跌)1个单位，需求减少(或增加)8个单位.,其经济意义是：当价格从p=4上涨（下降）1，需求减少（增加）0.54.,当价格从p

37、=4上涨1，总收益增加0.46.，其经济意义：当p从p=6上涨（下降）1，需求减少（增加）1.8.经济意义是：当价格p从p=6上涨1，总收益减少0.85.三 本章习题全解：习题311 现有一根细棒位于轴的闭区间0,2处，对于棒上任意一点，细棒分布在0, 上的质量为m(),用导数表示在点处的线密度（对均匀棒，单位长度的质量叫该棒的线密度）.解：让在处取得增量，从而质量的增量为m=m-m.平均质量 .在处的质量的变化率.2 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度t与时间t的关系为t=f(t),用导数确定该物体在时刻t时冷却速度.解：温度变化的增量.平均变化速度.温度的瞬时变

38、化速度就是物体在时刻t的冷却速度.3 质量为1g的某种金属从加热到t所吸收的热量为q=f(t),它从t升温到(t+t) 所需的热量为q，称为这种金属从t升温到(t+t) 的平均比热，用导数表示该金属在t时的比热. 4 设，试按定义求5 下列各题中均假定存在，按照导数定义求下列极限，指出a表示什么？ 6 答：全部正确.7 求下列函数的导数： 8 设函数可导.且. .9 如果为偶函数，且存在，证明=0. 10 求曲线y=sin上点处切线方程和法线方程. 11 求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线相切.解：设切点坐标是，切线方程是，解之得：.所以所求直线方程为：.12 讨论下列函数在指定点处的连续

39、性与可导性. 13 设函数 14 已知处连续，且.15 设函数解：根据连续性：16 设，其中在处连续，求 .17 证明：双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于. 习题321. 推导余切函数以及余割函数的导数公式：2. 求下列函数的导数： 3. 求下列函数在给定点处的导数： 4. 求曲线的切线方程，使该切线平行于直线. 5. 求下列函数的导数： 6. 求下列函数的导数： 7. 求下列函数的导数： 8. 设函数可导，且，试求函数的导数. 9. 设是可导函数，0,求下列导数： 10. 求下列函数的导数： 习题331. 求下列函数的二阶导数： 2. 求下列函数的导数值： 3. 试从. 4. 设f(u)二阶可导，求. 5. 验证函数满足关系式：.6. 验证函数满足关系式：.7. 求下列函数的n阶导数： 8. 求下列函数所指定阶的导数. ； 习题341. 求由下列方程所确定