高中数学 第二章233 空间两点间的距离公式目标导学 北师大版必修2

1、3.3空间两点间的距离公式学习目标重点难点1通过特殊到一般的过程推导出空间两点间的距离公式2灵活运用空间两点间的距离公式解决有关问题.重点：空间两点间的距离公式的推导及其应用难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导疑点：如何建立空间直角坐标系解决立体几何问题.1长方体对角线长一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2空间两点间的距离公式给出空间两点a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则|ab|.特别地，点a(x，y，z)到原点的距离公式为|oa|.预习交流1(1)空间两点a(1，2,1)，b(3,2，1)间的距离是_(2)点a(2，1,2)到原点的距离为

2、_，到y轴的距离为_，到yoz平面的距离为_提示：(1)2(2)322预习交流2已知点p(x，y，z)，如果r为定值，那么x2y2z2r2表示什么图形？提示：由为点p到原点的距离，结合x2y2z2r2知点p到原点的距离为定值|r|，因此r0时，x2y2z2r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r0时，x2y2z2r2表示原点1求空间两点间的距离设有长方体abcdabcd，如图所示，长、宽、高分别为|ab|4 cm，|ad|3 cm，|aa|5 cm，分别以ab，ad，aa所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(1)求a，b，c，d，a，b，c，d的坐标；(2)求这个长方体的对角线

3、ac的长度思路分析：首先写出各点的坐标，然后利用空间两点间的距离公式求ac的长度. 解：(1)由题意可知a(0,0,0),b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,3,0)，a(0,0,5)，b(4,0,5)，c(4,3,5)，d(0,3,5)(2)方法一：|ac|5.方法二：|ac|5.1已知a(x,2,3)，b(5,4,7)，且|ab|6，求x的值解：由两点间的距离公式可得|ab|6.即(x5)216，解得x1或x9.所以x的值为1或9.2如图，正方体oabcdabc的棱长为a，|an|2|cn|，|bm|2|mc|.求mn的长解：以o为原点，分别以oa，oc，od所在的直线为x轴、y轴

4、和z轴建立空间直角坐标系，如图过n作neoa于点e，则neoc，ane为等腰直角三角形又|an|2|cn|，|en|oc|，|oe|oa|，点n的坐标为.同理作mfbc于f，则mfxoy平面，且|mf|cc|，易得f.m.|mn|.空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标在此基础上，利用坐标间的关系代入求解在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解2求空间中点的坐标(1)在z轴上求一点，使它到点a(4,5,6)与到点b(5,0,10)的距离相等；(2)已知点p到原点o的距离为2，且它的x坐标，y坐标，z坐标都相等，求该点的坐标思路分析：(1)解答的关键是设出

5、点的坐标为p(0,0，z)，利用|pb|pa|，求z；(2)利用|op|2及xyz，求解点的坐标解：(1)由题意可知，设该点的坐标为p(0,0，z)，则|pa|，|pb|.又|pa|pb|，所以z6，所以所求点的坐标为(0,0,6)(2)由题意可设p点的坐标为(x，y，z)所以|op|2.又xyz，所以2.所以xyz2或xyz2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(2，2，2)(1)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点p，使它与点p0(4,1,2)的距离为；(2)已知a(1,2，1)，b(2,0,2)，在xoz平面内的点m到a点与到b点等距离，求点m的坐标满足的关系式解：(1)设点p的坐标是(x,

6、0,0)，由题意知，|p0p|，即，整理得(x4)225，解得x9或x1.所以，p点的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)(2)设m的坐标为(x,0，z)，则有，得2x6z20，即x3z10.已知点在坐标轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解在设点的坐标时，一般根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算3空间两点间距离公式的应用已知a(1,1,2)，b(4，5，6)，c(7,6,8)，试判断abc的形状，并求该三角形的面积思路分析：先利用空间中两点的距离公式求三边的长，再比较各边长的关系，从而判断三角

7、形的形状，然后求出面积解：由两点间的距离公式得|ab|5，同理|ac|5，|bc|，所以abc是等腰三角形，bc边中点是d，于是bc边上的高|ad|.于是abc的面积s.已知三角形的三顶点a(1，2，3)，b(1，1，1)，c(0,0，5)，试证明它是直角三角形证明：因为|ab|3，|bc|3，|ac|3，所以|ab|2|ac|29918|bc|2，所以abc是直角三角形已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出三边，从三边的关系上考虑解决1若已知a(1,1,1)，b(3，3，3)，则|ab|为()a4 b2 c4 d3解析：|ab|4.答案：a2坐标原点到下列各点的距离最小的是()ae(1,1,1) bf(1,2,2)cg(2，3,5) dh(3,0,4)解析：|oe|，|of|3，|og|，|oh|5.答案：a3点b是点a(1,2,3)在yoz平面内的投影，则|ab|为()a. b. c1 d3解析：b(0,2,3)，|ab|1.答案：c4在z轴上与点a(4,1,7)和点b(3,5，2)等距离的点c的坐标为_解析：由题意设c(0,0，z)，由题意知，解得z，故