大学生数学建模竞赛太阳能小屋的设计

1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，

2、在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳能小屋的设计摘要太

3、阳能作为一种新兴的可再生能源，在生产和生活中具有广泛的应用，太阳能电池作为一种将太阳辐射能转换为电能的新型电源，具有永久性、清洁性和 灵活性三大优点，但其发电量受诸多因素影响，成本也较高，因此研究光伏电池在房表面的优化铺设是一个很重要的问题。一、 问题的重述在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220v交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方

4、式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kwh计算）及投资的回收年限。在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池

5、板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。二、 问题的分析

6、该问题要求我们设计小屋外表面光伏电池的铺设方案，使得小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。通过分析，我们发现以下三点：由于不同种类电池的发电量和价格不尽相同，因此我们需要对电池进行筛选，再进行铺设；总铺设费用包含电池的费用和逆变器的费用，为把问题简化，我们先考虑电池的选用与铺设，确定了电池的铺设方案后，再选择合适的逆变器，使得逆变器的费用尽可能小；由于小屋各表面形状、太阳辐射强度均不同，不同表面的电池也不能进行串并联，因此我们将各个表面分开考虑。针对问题一，电池仅考虑贴附安装方式，为寻找最优方案，在不考虑逆变器的情况下，我们首先引入电池单位面积收益以及每块电池总收益

7、这两个评价标准，并引入面积利用率这一概念，在进行铺设时，可以利用模拟退火算法的思想，先选择单位面积收益较高的电池铺设，观察面积的利用率，对于面积利用率不高的部分电池，用总收益更高的电池进行替换，最后用小面积电池填充，逐步优化，找到最佳铺设方案。确定了铺设方案后，再对光伏电池进行分组，确定串并联方式，同时考虑逆变器的分配，保证光伏分组阵列的端电压满足逆变器直流输入电压范围，光伏阵列的最大功率不超过逆变器的额定容量，综合考虑这几方面内容，进行最经济实用的分配,必要时电池可进行适当的替换。针对问题二，联系实际，我们不考虑墙面，仅考虑屋顶的电池架空安装。首先，我们确定电池架空时的倾斜角，同时，考虑到电

8、池架空后房屋表面会出现阴影，影响到后一排的电池受光，我们在安装电池时前后排应保持一定的间距，此间距可由电池架空时的倾斜角大致算得，在电池的选择和铺设方面仍然采用第一问的方法和思想，三、 模型假设与说明1、根据附件3，单晶硅电池的太阳光辐照阀值在太阳辐照强度低于200w/时， 电池转换效率转换效率的5%，假设此时电池转换效率为原转换效率的4%；2、根据相关资料，电池逆变器应避免安装在阳光直射处，否则可能会导致额外的逆变器内部温度，逆变器为保护内部元件而降额运行【1】，因此我们不必考虑逆变器所占用的面积；3、根据附件3，c薄膜电池c1、c2型号的太阳光辐照阀值在光照强度为200 w/是较1000

9、w/性能提高1%，我们将此理解为光照强度小于200w/且大于30w/时，电池转换效率提高1%；4、计算电池发电量时，当根据太阳辐射量计算出的电池发电量超过电池额定功率时，按照电池额定功率计算；5、假设任意放置的电池之间都可以进行串并联；6、假设屋顶前坡的梯形天窗为宽为1383.7mm的矩形；7、假设问题二中架空仅针对于屋顶，而墙面不考虑架空方式；8、假设问题二中太阳辐射不考虑散射量9、根据相关资料，倾斜面上的散射辐射量可由下式得到：其中，指倾斜面上散射辐射量，指水平面上散射辐射量，指倾斜面与水平面之间的夹角10、根据附件3的标注，所有光伏组件在0-10年效率按100%，10-25年按照90%折

10、算，25年后按80%折算，经换算，相当于光伏电池的寿命期为31.5年四、 符号说明及名词定义4.1 符号说明 ：房屋各面电池单位面积收益 ：房屋各面每块电池总收益 ：房屋各面电池每年单位面积发电量 ：房屋各面电池每年发电量 ：各面各时刻太阳辐射强度 ：各面全年太阳辐射总强度 ：单位功率电池价格 ：电池额定功率 ：电池转换效率 ：电池面积 ：小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量 ：小屋光伏电池35年寿命期内的经济效益 ：每个面上每种电池的个数 ：电池投资的回收年限 ：电池架空时关于水平面的倾斜角 ：房屋屋顶前坡与水平面的夹角4.2 名词定义 1、电池收益：电池发电所产生的效益扣除电池成本（不考虑

11、逆变器）； 2、房屋各面电池单位面积收益：房屋各面电池单位面积发电量 民用电价-电池价格/电池面积； 3、房屋各面每块电池总收益：房屋各面电池发电量民用电价-电 池价格； 4、面积利用率：各表面上铺有电池的表面面积/表面总面积 五、 模型的建立与求解5.1 问题一 5.1.1 评价各类电池性能 首先，我们根据房屋各面的形状，太阳照射强度差异，将房屋表面分为东面，南面，西面，北面，屋顶前坡，后坡分别进行讨论。为简化模型，先不考虑逆变器的选用，只考虑电池的最优铺设。然后借助于c+，对附件所提供的数据进行分析和计算，求出各类电池每年在房屋各面单位面积收益及每块电池每年在房屋各面总收益。具体算法如下：

12、设在房屋各面电池每年单位面积发电量为，总发电量为，各面各时刻太阳辐射强度为，电池额定功率为，电池面积为则（单位） （单位）其中单晶硅电池当时，；单晶硅电池和多晶硅电池当时，；c薄膜电池c1、c2型号当时，；c薄膜电池当时，；所有型号电池当时，设房屋各面电池单位面积收益为，房屋各面每块电池总收益为，电池价格为（），民用电价为则 利用c+计算结果如下（具体程序见附录1）：产品型号每年单位面积发电量（)东南西北前坡后坡a168740.51474711176068307.7524588111936.3a267924.11457201162108209.0824296111794.5a376333163

13、7601305969225.3527303913254.6a467352.71444941152328140.0124091711695.3a561148.11311831046177390.1421872310617.9a661678.71323211055257454.2822062110710b18468116334812889121397.325232129323.7b285621.316516213032321634.925512329649.3b383479.416103112706321093.724874128907.6b477315.114914011768019536.12

14、3037426773b583479.416103112706321093.724874128907.6b679404.715317112086120064.123660027496.6b778307.715105411919119786.923333127116.7c140571.773054.961133.617136.311041820681.9c235812.264484.853962151269746518255.7c3368576636655536.215567.310030818788.3c433896.861035.851075.81431792252.217279.3c5376

15、69.667829.256760.615910.510252019202.5c621069.437938.431747.58899.0957341.710740.4c721069.437938.431747.58899.0957341.710740.4c821243.638251.932009.98972.6457815.610829.1c921243.638251.932009.98972.6457815.610829.1c1023971.64316436120.410124.96524012219.8c1124784.244627.237344.810468.167451.512634产品

16、型号单位面积收益东南西北前坡后坡a1-1426.66 -186.65 -657.03 -2378.47 1363.30 -2321.32 a2-1428.39 -203.11 -667.89 -2368.91 1328.44 -2312.44 a3-1132.01 244.97 -277.37 -2188.95 1966.11 -2125.49 a4-1395.55 -180.58 -641.45 -2328.15 1338.09 -2272.15 a5-1269.43 -166.38 -584.80 -2116.12 1212.37 -2065.28 a6-1296.16 -183.54 -

17、605.58 -2150.19 1207.18 -2098.91 b1-692.08 546.92 4.23 -1688.80 1948.25 -1563.96 b2-715.03 537.74 -10.97 -1722.81 1954.63 -1596.59 b3-470.74 750.70 215.70 -1453.31 2132.13 -1330.24 b4-626.31 504.93 9.44 -1536.33 1784.37 -1422.35 b5-489.00 732.44 197.45 -1471.57 2113.87 -1348.50 b6-649.80 512.01 3.13

18、 -1584.42 1826.02 -1467.36 b7-640.15 505.60 3.76 -1561.86 1801.46 -1446.41 c1303.34 814.95 627.19 -65.77 1403.42 -9.92 c2267.63 719.22 553.49 -58.18 1238.66 -8.89 c3275.77 740.54 569.97 -59.54 1275.13 -8.81 c4253.36 680.79 523.92 -55.03 1172.45 -8.37 c5281.61 756.62 582.29 -61.10 1303.00 -9.25 c6157

19、.38 423.06 325.56 -34.31 728.67 -5.30 c7158.40 424.09 326.58 -33.28 729.69 -4.28 c8158.70 426.58 328.27 -34.57 734.71 -5.33 c9158.22 426.10 327.79 -35.04 734.23 -5.80 c10179.20 481.48 370.54 -38.89 829.18 -5.89 c11185.44 497.97 383.27 -40.04 857.45 -5.93 产品型号总收益东南西北前坡后坡a1-1821.33 -238.29 -838.79 -30

20、36.46 1740.45 -2963.50 a2-2768.80 -393.71 -1294.64 -4591.88 2575.04 -4482.42 a3-1445.17 312.74 -354.10 -2794.51 2510.02 -2713.49 a4-2285.62 -295.74 -1050.56 -3813.03 2191.51 -3721.32 a5-2075.72 -272.06 -956.23 -3460.18 1982.41 -3377.05 a6-2512.47 -355.77 -1173.85 -4167.92 2340.00 -4068.53 b1-1131.66

21、 894.30 6.91 -2761.44 3185.68 -2557.31 b2-1386.00 1042.35 -21.27 -3339.49 3788.84 -3094.81 b3-692.05 1103.64 317.11 -2136.58 3134.54 -1955.65 b4-1018.93 821.47 15.36 -2499.42 2902.96 -2313.99 b5-948.82 1421.19 383.11 -2855.37 4101.66 -2616.57 b6-1260.85 993.49 6.08 -3074.33 3543.12 -2847.19 b7-1067.

22、78 843.34 6.27 -2605.18 3004.84 -2412.62 c1433.78 1165.38 896.88 -94.05 2006.89 -14.19 c2251.37 675.52 519.85 -54.64 1163.39 -8.35 c3434.40 1166.50 897.82 -93.79 2008.57 -13.87 c4390.17 1048.42 806.84 -84.74 1805.58 -12.89 c5433.68 1165.20 896.73 -94.09 2006.62 -14.24 c617.32 46.56 35.83 -3.78 80.19

23、 -0.58 c717.54 46.95 36.15 -3.68 80.78 -0.47 c834.65 93.13 71.67 -7.55 160.41 -1.16 c951.68 139.17 107.06 -11.45 239.80 -1.90 c1052.04 139.82 107.60 -11.29 240.78 -1.71 c11217.19 583.24 448.90 -46.89 1004.28 -6.94 5.1.2 确定电池铺设方案由此，我们可以筛选出收益较高的电池为各个表面铺设。我们利用模拟退火算法逐步找最优解的思想设计铺设方案，主要步骤如下：第一步，选择几个单位面积收益

24、相对较高的电池，分别对表面进行铺设，尽可能将表面铺满，计算每种电池铺设的面积利用率，选择其中面积利用率最高的；第二步，对面积利用率最高的铺设方案进行优化，将留有较大空隙的那部分电池换为每年总收益较之更高的电池进行铺设，将其尽可能铺满，若每年总收益更高的有几个，则按从大到小的次序分别尝试，选择面积利用率最高的；第三步，对铺设方案进行最终的优化，将表面上仍留有的空隙用面积较小的电池进行填充，使得表面利用率达到最大。各表面最终铺设方案如下：1 屋顶前坡 由于屋顶前坡表面上有一个梯形天窗，但上下边长相差不大，因此我们将其看为宽为1383.7mm的矩形以简化问题。根据上述结果，前坡a3电池的单位面积收益

25、最高，因此，我们先用a3将屋顶前坡尽量铺满，其结果如下图1注：下列各图中打阴影部分均为门窗 图1此时屋顶表面左侧所留空隙较大，因此我们选择每年总收益比a3大的电池b1配合a3再重新进行铺设，结果如下图2（其中灰色矩形代表b1，白色矩形代表a3） 图2此时表面空隙较小，不能再铺设其他电池，为最优方案。2 东面对于小屋东面，我们先选择单位面积收益最高的c1进行铺设，并与其他单位面积收益也较高的电池铺设方案进行对比，发现其面积利用率较高，定为初步方案，再用小面积电池c10填充，最优方案如下图3： 图33 南面对于小屋南面，鉴于其表面形状的复杂性，我们将圆先看作是正方形，选择收益最高的电池进行铺设，再

26、经过层层优化，得到如下结果 图3然后，我们再将正方行替换为圆，继续填充空隙，得到最终结果如下图4 图44 西面对于小屋西面，c1的单位面积收益最高，因此我们先选用c1对表面进行铺设，铺满后发现存在较多空隙，因此我们再用每年总收益更高的c2配合c1铺设，剩余部分再用面积较小的c7，c8，c10进行填补，其结果如下图5 图55 北面及屋顶后坡根据附件所提供的数据，大同市位于北纬，小屋北面及屋顶后坡属于背阴面，受太阳辐射较少，由上述结果，我们也可以发现，各类电池受北向太阳辐射时，其单位面积每年收益及总收益均为负，因此北面和屋顶后坡并不适合安装光伏电池。 5.1.3 光伏电池分组及逆变器的选择在确定了

27、电池铺设方案后，我们对光伏电池进行分组和串并联，其中相同型号的电池进行串联，多个光伏组件串联后再进行并联（并联的光伏组件端电压相差不应超过10%），再为各组分配逆变器，并保证光伏分组阵列的端电压满足逆变器直流输入电压范围，光伏阵列的最大功率不超过逆变器的额定容量，综合考虑这几方面内容，进行最经济实用的分配,必要时电池可进行适当的替换。分配结果如下：1 屋顶前坡经过分配，我们将a3分为4组，b1作为一组，每组电池先串联，再将5个组并联，此时光伏组件端电压相差不超过10%，满足条件，总容量为9250w，按此规格，我们可以选取一个型号为sn17的逆变器与之相连，具体结果见下表1组别电池型号个数连接方

28、式端电压/v连接方式逆变器型号分组阵列容量/w屋顶前坡第一组a38串联368.8并联sn179250a38串联368.8a38串联368.8a39串联414.9b110串联379.1 表1分组阵列图形及组件连接方式如下图6 图62 东面经分配，我们将c1分为13组，c10分为两组，并联，具体配备结果如下表2组别电池型号个数连接方式端电压/v连接方式逆变器型号分组阵列容量/w东侧第一组c113并联138并联sn7 1420c105串联133.5c105串联133.5 表2分组阵列图形及组件连接方式如下图7c10c10 : 13个c1 : : 图73 南面 经过反复的尝试与比较，为配合逆变器的使用

29、，我们将图4中标号为1的c8电池换为两个c7，结果如下图8 图8 电池分组和逆变器的配备情况如下表3：组别电池型号个数连接方式端电压/v连接方式逆变器型号分组阵列容量/w南侧第一组c12并联138并联sn7652c22串联124.6c22串联124.6c65串联133.5c710串联126c710串联126c85串联133.5c85串联133.5c85串联133.5第二组c23并联62.3并联sn3194c75串联63第三组c82并联26.7并联sn116 表3分组阵列图形及组件连接方式如下图9第一组：c7 c8 c6 c2 c1 第二组： c7 c2 第三组： c8 图9 4 西面经过反复的

30、尝试与比较，我们图5中标号为1的c2替换为两个c10和一个c8，因为c10与c8每年总收益相对较高，并且此时房屋表面的面积利用率也较高，如下图10 图10此时可以将电池分为两组分别组成分组阵列，具体分组及配备结果如下表4组别电池型号个数连接方式端电压v连接方式逆变器分组阵列容量/w西侧第一组c113并联138并联sn71532c22串联124.6c22串联124.6第二组c84并联26.7并联sn1108c105并联26.7c72串联25.2c72串联25.2 表4分组阵列图形及组件连接方式如下图11第一组： c2 13个c1 : 第二组： c7 c10 c8 图115 北面及屋顶后坡北面及屋

31、顶后坡未贴电池，不必考虑。下面，我们计算小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限，设每年的发电量为（单位：kwh)，逆变器的总价格为，每个面上每种电池的个数为，光伏组件效率为 则 通过计算得到 18071.255 ，0-10年 年发电量 16264.130，10-25年 14457.044，25-35年 发电总量 经济效益 元 发电量*0.5-总成本49681.6635电池及逆变器总成本为234940.6元，前25年收益为212337.25元，后10年每年收益为7228.522元，故 回收年限5.2 问题二 5.2.1 确定电池倾斜角问题二要求我们选择架空方式安装电池，而

32、在四周墙面和屋顶后坡若用架空方式安装电池，其效率不高，因此我们不考虑墙面和后坡，只考虑在屋顶前坡架空安装电池。为使电池所受太阳辐射强度最大，则要使太阳辐射光线与电池垂直，因此，首先需确定电池的倾斜角。屋顶前坡主要受太阳水平面辐射和东向辐射，而不同方向的散射难以合成，散射强度所占比例较小，因此，我们只考虑水平面直射辐射和东向直射辐射，将其合成为坡面太阳总辐射。由下图12可知，电池倾斜角满足条件 东向太阳辐射 电池板 水平面太阳辐射 水平面 图12设全年东向太阳辐射总强度为，水平面太阳辐射总强度为，每一时刻东向太阳辐射强度为，水平面太阳辐射强度为则 经计算得电池最佳倾斜角为 屋顶前坡相对水平面倾斜角为 5.2.2 确定电池铺设方案在此基础上，我们按照问题一所采用的电池选择方法，选择合适的电池进行铺设，综合考虑电池转换效率，表面面积利用率，电池成本等条件，选出几种效益较高的电池待用。由于电池架空后在屋顶上会有阴影，前一排电池会影响后一排电池的受光（见下图13），我们根据电池倾斜角大致算出阴影部分的长度，作为前一排电池与后一排电池的间距，并且由于屋顶最后一