全等三角形几种常见辅助线精典题型

1、全等三角形几种常见辅助线精典题型 一、截长补短 1、已知ABC中, 试判断BE、CD、 /A =60； , BD、CE 分别平分.ABC 和.ACB , BC的数量关系，并加以证明. BD、 CE交于点 2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上 任意一点（点B除外），作.DMN =60 ,射线MN与/ DBA 外角的平分线交于点 系？ N , DM与MN有怎样的数量关 3、如图，AD丄AB, CB= k，/AMD =75 BD、 CB丄AB, DM = CM= a , AD= h , ，层MC=45 ，求AB 的长。 4、已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD二/FAE求证: BE

2、+ DF= AE. C 5、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 ABD、 连结CD、BE相交于点O .求证：OA平分.DOE . 6、如图所示，ABC是边长 E 为1的正三角形，BDC是顶 角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在AB、AC 上，求AMN的周长. 7、如图所示，在ABC中， AB = AC , D是底边BC上的一点, 点，且-BED =2 CED 二/BAC，求证 BD =2CD . 8、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD,Z 【MeiWei_81-优质适用文档】 E是线段AD上的一 A ABC+ ZAED=180 ，求证

3、：AD 平分/CDE 二、全等与角度 1、如图，在 ABC 中，.BAC =60 , AD 是.BAC 的平分线，且 AC =AB BD，求.ABC 的度数 2、如图所示，在 ABC中，AC =BC，C =20，又M在AC上, N 在 BC 上，且满足.BAN =50 ，. ABM =60，求.NMB . 3、在正 ABC内取一点 D，使 DA二DB，在 ABC外取一点 E，使 -DBE 二/DBC，且 BE =BA，求/BED. 4、如图所示，在 abc 中，-BAC = /BCA=44，M 为 ABC 内一 点，使得 MCA =30， MAC =16，求.BMC的度数. 5、如图：在 AB

4、C 内取一点 M，使得 MBA = 30,， - MAB =10；. 设 ACB =80：， AC =BC，求 AMC . 6、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM 的数量关系？如是正五边形，正六边形呢? B F C 且与/ ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样 参考答案：一、截长补短 1、BE CD 二BC , 理由是：在 BC上截取BF =BE，连结OF , 利用 SAS证得 BEO :BFO . 1 =2 , 1 /A=60 , BOC =90A =120；,二.DOE =120 , 2 A ： _DOE =180 AEO ADO =180 , 1 ：._3

5、=180 , 24 =180 ，三 1 Z2，二 3 - 4 , 利用 AAS 证得 CDO:CFO , CD 二 CF , BC 二 BF CF 二 BE CD . 2、DM 二MN . 过点 M 作 MG / BD 交 AD于点 G , AG =AM , GD =MB 又/ ADM /DMA =120； , / DMA / NMB =120 /ADM =/ NMB，而/ DGMMBN =120 , ：DGM 也.MBN , DM 二 MN . 3、过点D作BC的垂线，垂足为E. vzAMD =75。，启MC=45 ADMIC =60 VDM = CM .-CD=DM AD 丄AB , DE

6、丄BC, CB丄AB, ZAMD =75 ZADM = /EDC zADM /CDE AD= DE 故ABED为正方形，AB = AD= h，选D. 4、延长CB至M，使得BM=DF，连接AM . AB二AD，AD 丄 CD，AB 丄 BM，BM= DF 4ABM 幻ZDF ZAFD= ZAMB，/DAF二 /BAM AB /CD ZAFD= ZBAF= ZEAF+ /BAE二 ZBAE+ /BAM = Z EAM ZAMB= /EAM AE二 EM = BE+ BM = BE+ DF. 5、因为 ABD、 ACE 是等边三角形，所以 AB=AD， AE = AC， - CAE BAD=60,

7、， 贝卩 /BAE DAC，所以 BAE DAC， 贝y有 NaBE =NADC，NaEB 二NaCD， BE =DC . 在DC上截取DF -BO，连结AF，容易证得 ADF ABO， ACF AEO . 进而由 AF 二 A0 .得.AFO =/AOF ； 由. AOE 二/AFO 可得.AOF 二.AOE，即 0A 平分.DOE . 6、如图所示，延长 AC到E使 CE =BM . 在BDM与CDE中，因为 E BD=CD， MBD EECD =90， BM=CE , 所以 BDM CDE，故 MD 二 ED. 因为 ZBDC =120；，乙MDN =60；，所以/BDM NDC =60

8、；. 又因为 BDM = CDE，所以 MDN = EDN =60 . 在. MIND 与 END 中,DN = DN , MDN 一 EDN =60 , DM =DE , 所以：MND也END，则NE二MN，所以AMN的周长为2. E 7、如图所示，作 BED的平分线交 BC于F，又过 A作AH II EF交BE于G，交BC于H，则知 1 ZEAG ZDEF ZBEF ZAGE BAC，从而 GE =AE . 2 1 又/AGEBED ZCED，则 AGB =/CEA. 2 由 ABE BAE 二 BED = BAC = CAE BAE 可得 ABG = CAE . 注意到 AB =CA，故

9、有 ABG 也 CAE，从而 BG 二 AE , AG =CE , 是 BG =GE . 又由AH II EF 而 /CED /FED , 若 “ l -1口 AH HD ,有 BH = HF , GHEF，且 2EF FD CD EC AG AH -GH AH 1 HD 1 2 FD 2， 1 即 CD =HDFD 2 从而 一一一 FD EF EF EF 丄11丄11皿 =HF FDBF FDBD ，故 22 22 EF 8、延长DE至F,使得EF=BC,连接AC. BD =2CD . A B H F DC VZABC+ ZAED=180 ,AEF+ ZAED=180 ABC二 ZAEF

10、VAB=AE, BC= EFZABCAEF EF=BC, AC=AF VBC+ DE= CDCD二 DE+ EF= DF /ADC SDFzADC= ZADF 即AD平分/CDE. 、全等与角度 1、如图所示，延长 AB至E使BE=BD，连接ED、EC . 由 AC 二 AB BD 知 AE 二 AC， 而 BAC =60；，则 AEC为等边三角形. 注意至U EAD =/CAD，AD 二 AD， AE 二 AC， 故 AED 也.ACD . 从而有 DE =DC， DEC DCE， 故 NBED =NBDE =NDCE +NDEC =2/DEC . 所以 /DEC DCE =20 , /AB

11、C BEC BCE =60； 20： =80 【另解】在AC上取点E，使得AE-AB，则由题意可知CE =BD . 在 ABD 和 AED 中，AB=AE，/BAD ZEAD， AD =AD , 贝U ABD 也 AED，从而 BD =DE， 进而有 DE =CE，/ECD ZEDC， .AED =. ECD . EDC = 2 ECD. 注意至U ABD 二-AED，贝U： 13p ZABC ZACB ZABCABC ABC =180 ZBAC =120， 2 2 故 ABC =80. jlb 【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三 角形.同

12、样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法. 2、过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P. 连接PN，易知APB、MKP均为正三角形. 因为 BAN =50 ， AC 二 BC，- C =20 ， 所以 ANB =50 ， BN =AB =BP，- BPN = BNP =80 ， 贝yZpKN =40，厶KPN =1806080 = 40， 故 PN =KN .从而 MPN 也 MKN . 进而有PMN

13、KMN，匚NMB =- ZKMP =30 2 3、如图所示，连接DC .因为AD二BD，AC二BC，CD二CD， 贝卩ADC也 BDC， 故/BCD =30；. 而DBE = . DBC , BE = AB = BC , BD = BD , 因此匕.BDE BDC , 故.BED 二.BCD =30. 4、在 l-ABC 中，由BAC =. BCA = 44 可得 AB = AC , ABC = 92 如图所示，作BD _AC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA , 贝U有 ZOAC ZMCA =30， ”ddc c o /BAO ZBAC OAC =44 -30 =14 , “ “ “ *

14、 * * ZOAM ZOAC ZMAC =30 -16 =14 , 所以 BAO MAO . O000 又因为 AOD =90 - OAD =90 -30 =60 = COD , 所以 /AOM =120=. AOB ./BOM =120 而 AO 二 AO，因此 ABO 也 AMO , 故 OB =OM . 由于 ZBOM =120 , 则.乙OMB ZOBM =型=30 , 2 故.BMC =180 - OMB =150 5、如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E，则AE=BE. 而/EAM EAB MAB =30： -10 =20 , 1 1 _ACEACB =40 , 2 .EAC = C