固体物理学第二讲PPT演示课件

1、第1章 晶体结构,1-1 晶体的特性 1-2 晶格及其实例 1-3 晶格的周期性 1-4 晶向和晶面 1-5 晶体对称性与布拉菲格子 1-6 倒格子,晶体：原子排列长程有序（水晶，岩盐，金刚石）,晶体（规则点阵）,1-1 晶体的特性,物理：* 固定熔点（在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体 时对应一定的熔点）* 原子排列长程有序（微米量级的范围是有序排列的 ）* 解理性 （ Si的解理面为（111） 几何外形：* 凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒,晶体的晶面组合成晶带 晶面的交线是晶棱 相互平行 方向OO称为该晶带的带轴 重要的带轴通常称为晶轴,示例：不同生长条件下NaCl晶体的外形,1-1

2、晶体的特性,1-1 晶体的特性,金刚石：复式面心立方结构，最坚硬固体，绝缘体 石墨：层状结构，质软，润滑性好，导体 石墨烯：单层碳原子，优异电输运性能,晶体结构决定物理性能！,金刚石,石墨,石墨烯,1-2 晶格,怎样描述不同的晶体结构？每一个原子的坐标都写出来？原子数目1023cm-3量级，不可行！寻找规律！ 规律：金，银，铜虽然化学成分不同，如果不查究其化学成分，即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相同的，就是他们的结构完全相同！ 数学方法抽象描写：不区分物理，化学成分，每个原子都是不区分的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。,金刚石（立方）,

3、石墨（六方）,石墨烯（六方）,理想晶体：实际晶体的数学抽象以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完全相同的方式无限地排列而成 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 晶格（点阵）：格点（结点）的总和 原子种类和间距不同，但有相同的排列规则，则这些原子构成的晶体具有相同的晶格 简立方(cubic)，面心立方(bcc), 体心立方(fcc),六方(hcp),1-2 晶格,点阵,基元,晶体,晶体结构 = 点阵（数学几何点） + 基元（物理）,晶格的共同特点是周期性，用原胞和基矢描述。 原胞 (Primitive cell)：晶格的最小周期性单元。又称初基晶胞。 基矢：原胞的边矢量 晶胞

4、(Unit cell)：晶体学中，为了反映晶格的对称性，选取较 大的周期性单元，又称单胞。单胞不一定是原胞,原胞选取不唯一， 但有习惯的选取方式。 三维晶格原胞通常是平行六面体。,原胞和晶胞,1-3 晶格的周期性,简立方晶格：原胞和单胞相同,如何判断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？ 计算原胞体积所对应的原子数。原胞中只包含一个原子,1-3 晶格的周期性-简单立方晶格,基矢,原胞体积,原胞基矢,原胞的体积,单胞基矢,单胞的体积,单胞内原子数：4 原胞内原子数：1,1-3 晶格的周期性-面心立方晶格,单胞内原子坐标： （0,0,0）(1/2,0,1/2)（1/2,1/2,0)(0,1/2,1

5、/2),单胞内原子数：2 原胞内原子数：1,原胞基矢,原胞体积,1-3 晶格的周期性-体心立方晶格,单胞基矢,单胞的体积,单胞内原子坐标： （0,0,0）(1/2,1/2,1/2),以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞 对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的布拉菲格子有完全相同的对称性,特点： 1.仅包含一个格点，体积与惯用原胞相等 2.保留了晶格所有的对称性 3.平常很少用，在能带理论中对应布里渊区,1-3x Wigner-Seitz原胞,六角密排晶格的原胞和单胞一样,* 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 * 共两个原子,1-3 晶

6、格的周期性-密排六方晶格,基矢：,简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化学性质完全等价 复式晶格：包含两种或以上的等价原子 * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六 方密排结构,复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞， 在原胞中包含每种等价原子各一个,1-3晶格的周期性-简单晶格与复式晶格,简立方晶格在实际晶体中并不罕见（CsCl, NH4Cl,CuZn等）但一般常见的元素不结晶为简立方结构。,1-3 实例-简单立方晶格,*为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离， 正方排列的原子球并不是紧密靠在一起； *由几何

7、关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。 *具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na 、Cr、 W、 Fe等.,1-3 实例-体心立方晶格,ABCABC 密堆积方式排布,面心立方晶格的堆积比=? 配位数=？,具有面心立方晶格结构的金属：Au, Ag, Cu等,1-2 实例-面心立方晶格,堆积比率：被原子（球）所占据的可用体积的最大比率。 配位数：最近邻原子数。指原子间距最小并相等的原子个数,ABAB密排堆垛,六方晶格的堆积比=?配位数=？,1-3 实例-密排六方晶格,具有密排六方晶格结构的金属：Zn，Mg等,两套面心立方套构而成 第二套4个原子位于体对角线1/4处 第二套C原子与4个第

8、一套C原子形成正四面体 Si, Ge为金刚石结构,1-3 实例-金刚石晶格,单胞中的原子坐标？,Na和Cl分别构成面心立方格子，彼此在空间有一个位移,1-3 实例-NaCl晶格,Cs和Cl分别构成简立方格子，彼此在空间有一个位移 注意：CsCl不是体心立方，而是简立方结构！,1-3 实例-CsCl晶格,类似金刚石结构，Zn和S分别组成面心立方格子 化合物半导体如GaAs, InP等为闪锌矿结构,1-3 实例-闪锌矿ZnS结构,类似密排六方结构，Zn和S分别组成六方格子 化合物半导体如ZnTe, AgI等为纤锌矿结构,1-3 实例-纤锌矿ZnS结构,钙钛矿型的化学式可写为ABO3 * A代表二价

9、或一价的金属 * B代表四价或五价的金属 * BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点 * 重要介电晶体：钛酸钡（BaTiO3）、锆酸铅（PbZrO3）、 铌酸锂（LiNbO3）、钽酸锂（LiTaO3）,1-3 实例-钙钛矿结构,晶体 = 布拉菲格子 (lattice) + 基元 （basis） 简单晶格，任意格点均可表示为 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列， 又称点阵。,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice),复式晶格：任一原子A的位矢,为原胞中各种等价原子之间的相对位移,金刚石晶格中,对角线位移,* 碳1位置,* 碳2位置,1-4 布拉菲格子 (Bra

10、vais lattice),任意格点均可表示为 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列， 又称点阵。,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice),晶体结构 = 点阵（数学几何点） + 基元（物理）,简单晶格 基元是一个原子,复式晶格 基元是一个以上原子,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice),晶体结构 = 点阵（数学几何点） + 基元（物理）,晶体基本特点：各向异性,晶列 通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期-任意两相邻格点的间距。,晶列的特点 （1）一族平行晶列把所

11、有格点包括无遗 （2）在一平面中，同族的相邻晶列之间 距离相等 （3）通过一格点可以有无限多个晶列，每 一晶列都有一族平行的晶列与之对应 （4）有无限多族平行晶列,1-5 晶向和晶面,如何区分不同的晶列簇？晶向！两个格点的 连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到 最近邻格点的平移矢量即晶向 取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 沿晶向到最近的一个格点的位矢,# 晶向指数表示为,1-5 晶向和晶面,# 指数是整数，互质,# 晶胞和原胞类似,晶向指数,晶向指数,1-5 晶向和晶面,简单立方晶格的主要晶向,# 立方边OA的晶向,立方边共有6个不同的晶向,# 面对角线OB的晶向,# 体对角线OC晶向,

12、1-5 晶向和晶面,面对角线共有12个不同的晶向,体对角线共有？个不同的晶向,1-5 晶向和晶面,与晶列类似，晶格中的所有格点也可看成都在一族 族相互平行的、间距相等的平面上 晶体的晶面 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。这些相互 平行的平面称为晶体的晶面,如何区分不同的晶面？晶面的方向：密勒指数 以晶胞基矢定义的互质整数，用以表示晶面的方 向，又称为晶面指数,1-5 晶向和晶面-密勒指数,确定某平面在直角坐标系 3个轴上的截点，并以晶格常数为单位测得相应的截距。 取截距的倒数，然后约简为 3 个没有公约数的整数，即将其化简成最简单的整数比。

13、 将此结果以 “（hkl）”表示，即为此平面的密勒指数。,1/3:1/4:1/2=(436),？,如果某族晶面与某一基矢没有相交 截距是无穷大，例如 密勒指数为： 如果晶面与某一晶轴的负方向相交，则相应指数上 加负号，如 晶面间距：相邻两层平行晶面之间的距离 面密度：晶面上质点的密度 密勒指数小的晶面，格点密度大？什么样的面容易解理？ 晶体中重要的面指数都是简单的，如,1-5 晶向和晶面-密勒指数,1-5 立方晶格的主要晶面,#(110)表示一组平行晶面#110表示一组空间等同晶面，包括12个晶面如 #100面包括6个等同晶面#111包括？个等同晶面,六方结构中，为了能充分体现六方晶系的六重对

14、称性， 常常用4个坐标指数表示晶面，被称为密勒布拉菲指数（hkil） 其中h+k=-i, 此时选取4个晶轴a1,a2,a3,c。,1-5 晶向和晶面-密勒指数,1-7 晶体对称性,为何要引入晶胞？前面讲的原胞只涉及平移对称性 晶体宏观对称性：对晶体做某种几何操作后，晶体可以完全复原 的特性。其中的几何操作为对称操作 在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操 作称为点对称操作，晶体的这种对称性为宏观对称性 宏观对称反映在宏观物理性质上，如外形,四种基本的操作转动、反演、反映、象转轴。,1. 转动对称操作 设晶体外形为一立方体，沿图中所示转轴转动900，外形与原来重合。这样的转动称为

15、转动对称操作。该轴称为转动轴。,1-7 晶体的点对称操作,转动轴,由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。,AB是晶列上最近邻两格点的距离。,1-7 转动,1-7 转动,2.中心反演 如图所示，有对称心i，晶体中任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A，使Ai= Ai, A与A是等同点，i点称为对称心。 表示方式 (1)熊夫利符号表示Ci; (2)国际符号表示i。 例：立方体的中心就是对称中心。,1-7 中心反演,3. 反映 （镜象、对称面）如图所示，A和A 表示方式 (1)熊夫利符号表示; (2)国际符号表示m。,1-7 反映,1.旋转-反演轴(象转轴

16、) (1)定义先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重合，则称u轴为n度旋转反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。 (2)符号表示,n度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，只有 是独立的。,1-7 象转轴,(1) 象转轴实际上就是对称心i。,A点绕旋转轴(z轴)旋转3600，在经过中心反演到A点，晶体完全重合。实际上即为中心反演。,1-7 象转轴,(2) 象转轴实际上就是对镜象m。,和O-xy对称面的操作相当。,1-7 象转轴,(3) 象转轴实际上就是3度转轴对称心(i),晶体的点为1,2,3,4,5,6.它们符合3度转轴加对称中心,即可以先3度转轴操作得到1,3,5

17、点，然后对称心操作得到2,4,6.,(4) 象转轴实际上就是3度转轴对称面(m),晶体的点为1,2,3,4,5,6.它们符合3度转轴加对称面，即可先3度转轴得到1,3，5点，然后对称面操作得到2,4,6点。,(5) 象转轴,甲烷分子,晶体的点为1,2,3,4.它们不符合4度转轴加对称中心或对称面操作，是独立的对称操作,结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作：1，2，3，4，6，i, m, 。 这些基本的操作组合起来，就可以得到32种宏观操作类型（32点群）。 平移对称性（周期性）+ 转动对称性（点群）= 空间群 (230种）。,1-7 晶体对称性,布拉菲格子的对称群所包含的对称操作

18、,1. 点对称操作（宏观对称性）：转动、 反演、平面反映等 2. 点阵平移操作 上述两种形式的连续操作 点群：点对称操作集合 空间群：点对称+平移对称操作集合,布拉菲格子和晶体结构的点群和空间群,群代表一组“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质,1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性,2)存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A,3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,1-7 群的

19、概念,单位元素 不动操作,任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作 相当于C操作,A 操作 绕OA轴转动/2 S点转到T点,B 操作 绕OC轴转动/2 T点转到S点,S,1-7 群的概念,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为, 群的封闭性,可以证明, 满足结合律,1-7 群的概念,S,1-7 晶体对称性,三 斜,单 斜,1-7 晶体对称性,正交,1-7 晶体对称性,三角（三方）,四 方,1-7 晶体对称性,立 方,六角,1-7 晶体对称性,为什么要研究倒空间（reciprocal s

20、pace)?,一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写: 坐标表象r，动量表象k 为什么选择不同的表象？ * 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理 * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k守衡， 这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 正（坐标）空间的格矢（R）描写周期性，同样在倒（动量） 空间，倒格矢K也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是 存在一个变换（傅里叶变换）,1-8 倒格子,晶格的傅里叶变换（Fourier transformation）,势能和电荷密度等函数满足叠加原理的物理量,如果晶体具有平移周期性,对周期函数作傅里叶展开,1-8

21、倒格子,从以上公式中可推导得到,因为,故,得到,n为整数,只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在Kh矢量满足这个关系！,晶点的傅里叶变换（Fourier transformation）,数学上用 函数来描写格点,因为,当矢量Kh与Rl乘积是2的整数倍时，在坐标空间Rl处的 函数的傅里叶变换为在动量空间以Kh为中心的函数！ 坐标空间里，(r-Rl)函数表示在Rl的格点，当满足上述 条件时，其傅里叶变换也是(k-Kh)函数，表示的是倒空 间里的一个点！,1-8 倒格子,通过傅里叶变换可得到,定义：对于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh ，满足,的全部端点的集合，构成该

22、布拉菲格子的倒格子，这些点称为倒格点， Kh为倒格矢,布拉菲格子也称为正格子，它们满足傅里叶变换关系， 因此，倒空间也称为傅里叶空间,1-8 倒格子,bj就是倒格子基矢， Kh具有平移对称性,对于正格子,有,如果选择一组b，使,倒格子矢量Kh,表示什么含义？是正交关系！即b1与a2和a3正交！,看a2和a3确定的平面，即a2a3矢量垂直于该平面,1-8 倒格子,则有b1与 平行,可设,利用正交关系有：,a3,a2,然后可得：,以它们为基矢构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置,倒格子基矢,倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数：,1-8 倒格子,二维倒格子,1-8 倒格子,a,b,二维倒格子,二维

23、正格子,正格子中一簇晶面 和 正交,可以证明得到,与晶面ABC正交,1-8 倒格子矢量与晶面对应关系,注意不是密勒指数(hkl)，而是面指数(h1h2h3)。意即该晶面族最靠近原点晶面的截距分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3,倒格子与晶格的几何关系,原点O引晶面族ABC的法线ON 截取一段OP= 使d=2（d是晶面间距） 每一个晶面族都有一个点P 以OP为该方向的周期进行平移 得到一个新的点阵，即为倒格子,-晶格的一族晶面化为倒格子中的一个点， 在处理晶格问题上很有意义,设晶面 面间距为d,得到,1-8 倒格矢长度与面间距对应关系,则OA在其面法线方向Kh的投影即为d,注意：面间距是

24、与晶面指数（对于原胞坐标）相关，而不是密勒指数（对于晶胞坐标）！倒格矢代表晶面的法线方向！,晶体结构,1.,1.,2.与晶体中的原子位置相对应,2.与晶体中的晶面族相对应,3.是与真实空间相联系的傅里叶空间（K空间）中点的周期性排列,3.是真实空间中点的周期性排列,5. 量纲为长度,5. 量纲为长度-1,1-8 正倒格子对应关系,4. W-S原胞,4. 布里渊区,简立方晶格的倒格子仍然是简立方格子。,1-8 简单立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,体心立方晶格的倒格子是面心立方格子,1-8 体心立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,面心立方晶格的倒格子是体心立方格子,1-8 面心立方晶格,i

25、,j,k,正格子,倒格子,布里渊区：倒空间的W-S原胞,1-9 布里渊区,在倒空间中以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为布里渊区,简单立方晶格k空间的二维示意图,第一布里渊区又称简约布里渊区。 其界面方程为：,简约布里渊区的意义： 1. 由于晶格的平移对称性， 和 （相差一个倒格矢） 所对应的两个状态在物理上是等价的 2. 简约布里渊区内的全部波矢 代表了晶体中所有的电子态， 区外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态点 3. 这样定义的布里渊区，它的边界面满足Bragg反射条件 4. 讨论固体性质时，可以只考虑第一布里渊区,为什么引入布里渊区？,1

26、-9 布里渊区,简立方倒格子还是简立方,第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体,1-9 简立方布里渊区,体心立方倒格子为面心立方,第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体,1-9 体立方布里渊区,面心立方倒格子为体心立方,1-9 面立方布里渊区,第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体,1901诺贝尔物理学奖,W.C.伦琴 (德国) 发现伦琴射线(X射线),从X射线衍射引出倒格矢概念,M.V.劳厄 发现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波长，证明了晶

27、体的原子点阵结构,1914诺贝尔物理学奖,W.H.布拉格 W.L.布拉格 用X射线分析晶体结构,1915诺贝尔物理学奖,入射线与反射线之间的光程差： =SA+A T=2d sin ,把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射,1-9 布拉格定律,布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小 部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大 只有入射的10-310-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的 原子面参与反射,满足衍射方程： 2dh1h2h3 sin =n ,可见光可以发生布拉格衍射吗？为什么？ 如入射束全部反射了， 还有没有衍射图像？,CO= -Rl S0 OD= Rl S 衍射加强： Rl （ SS0 ）=n 由：ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S k即X射线的波矢 得：Rl （ kk0 ）= 2 n 因为： Rl Kh=2 n,物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢） 时，满足衍射加强条件，